1.3.1柱、锥、台表面积
2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积
总结:已知三视图求面积的步骤: (1)根据三视图明确几何体的结构特征; (2)明确三视图中各数据所反映的几何体的特征; (3)代入相应的面积公式.
18
1．多面体与旋转体表面积的计算方法 (1)求多面体的表面积时，只要弄清楚多面 体的各个面的形状并计算其面积，然后求 它们的和即可。
(2)求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转 体的侧面展开图是什么，关键是求其母线 长与上、下底面的半径．
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
1
1.了解柱体、锥体、台体侧面展开图，掌握柱体、 锥体、台体的表面积求法； 2.能运用公式求柱体、锥体、台体的表面积;
2
回顾旧知：
平面图形的面积公式
S 矩形面积：
ab
1 三角形面积：S ah 2
圆面积：S 圆周长：
C 2r
19
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面积 : S 底 =πr2 侧面积 : S 侧 =2πrl 表面积 : S=2πr(r+l) 底面积 : S 底 =πr2 侧面积 : S 侧 =πrl 表面积 : S=πr(r+l) 上底面面积 :S 下底面面积 :S =πr'2 =πr2
上底
下底
侧面积 : S 侧 =πr'l+πrl 表面积 : S=π(r'2+r2+r'l+rl)
解析：该几何体是底面圆半径为1，高为1的圆柱， 侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π. 故选C.
15
例题讲解
类型二:已知三视图求表面积的问题
例2. 与三视图有关的面积计算， 一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的表面积为
1.3.1柱体、椎体、台体的表面积和体积
1 D. n 倍
解析：圆锥侧面积S＝πrl，设r缩小n倍，l扩大n倍后 S′＝π× r1 ×nl＝πrl＝S，侧面积保持不变．
n
答案：A 金品质•高追求
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3．正方体的表面积是96，则正方体的体积是( A．48 6 B．64 C．16 D．96 )
答案：A
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1．柱体、锥体、台体的侧面积、体积公式的关系
(1)侧面积公式的演变关系：
c′＝c
S正棱柱侧＝ch ⇐ 1 S正棱锥侧＝ ch′ 2
金品质•高追求
c′＝0 1 S正棱台侧＝ c＋c′h′ ⇒ 2
金品质•高追求
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解析：由于正方体没有被打透，故打孔后的几何体的 表面积为正方体的表面积加上六个圆柱的侧面积，正方体 的表面积为16×6＝96(cm2)， 一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28(cm2)， 则打孔后几何体的表面积为
96＋6.28×6＝133.68(cm2)．
为________；侧面积为________；表面积为________．
练习3.圆台上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为 4，上底面积为 ______；下底面积为______；侧面积为 ______；表面积为______．
3 2 2 3 3 2 练习 1. a a a 4 2 练习2.4π 12π 20π
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积
r 1
r' 1
l2
l2
l2
r 1
r2
S圆柱侧 4__S圆锥侧 2__S圆 台 侧 6__
S圆柱表 6__S圆锥表 3__ S 圆 台 表 1_1 _
S 圆柱 2 表 r 2 2 面 r 积 l2 r (r l)
2
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积展开图空间问题
平面图形面积 平面问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
h
h/ h/
侧面展开
h' h'
棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
重点：柱体、锥体、台体的表面积计算 难点：台体表面积公式的推导
初中阶段所学的有关公式
矩形面积公式：S ab
三角形面积公式：S 1 a h
2
圆面积公式： S r2
圆周长公式： C2r
梯形面积公式：S 1 (a b)h 2
扇形面积公式： S 1 r l 扇环面积公式：S 1(2l l ')(r r')
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
空间问题
平面问题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面
体S-ABC，求它的表面积 ．空间问题 S
平面问题
解：先求 SBC的面积，过点S 作SDBC
21-22版：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(创新设计)
中心，则该圆柱的体积为________. 解析 由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱
锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为 2，所以底
面正方形对角线长为 2，所以圆柱的底面半径为12.又因为四棱锥的侧棱长均为 5，所以四棱锥的高为 （ 5）2－12＝2，所以圆柱的高为 1.所以圆柱的体
∵S△A1D1E＝21EA1·A1D1＝41a2， 又三棱锥 F－A1D1E 的高为 CD＝a，
∴V 三棱锥 F－A1D1E＝13×a×14a2＝112a3，∴V 三棱锥 A1－D1EF＝112a3.
20
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向2 割补法求体积
【例3—2】 如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，
7
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
【预习评价】
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A.27 cm3 B.60 cm3 C.64 cm3
D.125 cm3
解析 V长方体＝3×4×5＝60(cm3). 答案 B
8
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
25
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
A.90π
B.63π
C.42π D.36π
解 析 (1) 如 图 所 示 的 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 的 棱 长 为 4 ， 去 掉 四 棱 柱 MQD1A1NPC1B1(其底面是一个上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形)所得的几 何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为 43－12×(2＋4)×2×4
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
解决表面积、体积等问题的有力工具．
课后作业：1.课本第27页练习1、第28页习题1、2
2.预习《柱体、锥体、台体的体积》
3
各个面
平面 展开图
如图,已知棱长为a, 各面均为等边三角形的四面体, 求它的表面积.
S
A
B
C
4
把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形 与原图有什么关系？
r
l
矩形
长 ＝2r
宽＝ l S圆柱侧 S矩形＝2rl
S圆柱表 2r2 2rl 2r(r l)
5
把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形 与原图有什么关系？
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积
1. 通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表 面积与体积的求法．(重点) 2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)
预习检测
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
2
探究展示
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，如 何计算它们的表面积？
扇形 c
l
r
S圆锥侧＝S扇＝
1 2
cl
rl
S圆锥表 r2 rl r(r l)
6
把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形 与原图有什么关系？
S台侧 (r1 r2 )l
扇环
r1
l
r2
S圆台表 (r12 r22 r1l r2l)
7
πr2 2πrl 2πr(r＋l)
πr2 πrl πr(r＋l)
π(r′2＋r2) π(r′l＋rl) π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 8
1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积和体积
SD
1 2
a
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积
．
4.圆柱的表面积
r O
l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
5.圆锥的表面积
2r l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r2 rl r(r l)
6.圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
棱锥。
2
就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C 锥2、3。
B
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’ A’ A’ A’ A’AA’’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’ 就是三棱锥1 和另两个三棱
h
S底
V柱 S底h
2.锥体的体积
等底等高锥体的体积相等
h
1 V锥 3 S底h
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
A’
C’ 把三棱锥以 △ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积
3
(3) V
1 3
( s1
s2
s1s2 )h
五、巩固练习
1. C
2. D
5. C
6. A
3. A 7. 6
9. 28
10. D
11. b3 a3
b3
12. s 4 2 60 ;V 148
3
4. A 8. 2 : 3
小组讨论探究，同学共同进步！
展示 第2小组：深化提高1 第3小组：深化提高2 第4小组：深化提高3 第5小组：深化提高4
rO
S S底 S侧
r 2 rl
3.圆台的表面积
A
O’ E
rO
B
S S上 S下 S侧
r'2 r 2 （r'r )l
4.半径为R的球的表面积为
这个公式以后可以证明
三、柱体、锥体、台体及球体的体积
V柱体 Sh(S是底面积 , h是高)
V锥体
1 3
Sh(S是底面积, h是高)
V台体
1.3.1柱体、锥体、台体的表面 积与体积
学习目标： 1. 掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 2.培养空间想象能力和思维能力。
一、多面体的表面积：组成多面体的各个面的 多边形的面积之和，也就是展开图的面积。
二、旋转体的表面积： 1.圆柱的表面积：
r
2.圆锥的表面积：
S
S S底 S侧
2r 2 2rl
1 3
(S '
S'S S)h
(S ', S分别是上下底面面积 , h是台体高 )
（R为球的半径）
三、基础练习
1. 2,8
2. 15
4. s 32 ,V 24 ;
1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积
各面面积之和
知识小结
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S ' 0
1 锥体V Sh 3
A．48＋12
B．48＋24 C．36＋12
A 4 5 S
D．36＋24
6
B O 3
6
D
C
例2 (1)若等腰直角三角形的直角边长为2， 则以一直角边所在的直线为轴旋转一周 所成的 几何体体积是________．
（2） ．一个长方体的三个面的面积分别为 2 , 3 , 6 ， 则这个长方体的体积为（ A．6 C．3 B． 6 D． 2 3 ）
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S
S为底面面积， h为锥体高
1 S 0 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S、S'分别为上、下 h为柱体高 底面面积，h 为台体 高
例1
（1）若某几何体的三视图(单位：cm)如右 图所示，则此几何体的侧面积等于( )
1.3.1柱体、椎体、台体的 表面积与体积
柱体
锥体
台体
一、表面积
1.多面体的表面积就是各个面的面积和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积转化为展开图求解.
（一）柱体的表面积
直棱柱的侧面面积 圆柱的侧面面积
h c
S直棱柱侧 =ch S圆柱侧 =2 rl
例：在棱长为4的正方体每个面各打一个直径 为2、深为1的圆柱形孔，求打孔之后的几何体 的表面积。 分析： 打孔之后的表面积增大 增大的是六个圆柱侧面面积
2.圆锥的底面半径为 1，高为 3 ，则圆锥的 表面积为（ ） A． B． 2 C． 3 D．4
课件4：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
由 Rt△CGF∽Rt△CHD，得 CG∶GF＝CH∶HD， 即G5F＝375，∴GF＝1(cm)， ∴桶中的雨水的水面直径为 26 cm， 故桶中雨水的体积为 V＝13π×5×(122＋132＋12×13)＝2 3345π(cm3)．
做一做 4.已知棱台的上、下底面面积分别为4,16， 高为3，则棱台的体积为________． 答案：28
【题型探究】 题型一 柱体的表面积与体积
例1 如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体， 若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、 深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面 积是多少？(π取3.14)
2 345 因此降水量为 π×319π2 ＝21 304853≈2.2(cm)＝22(mm)．
例4 如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2 cm， 下底BC＝10 cm，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB旋转 一周，求所得的旋转体的体积．
解 过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，Rt△BCF绕AB旋转 一周形成以CF为底面半径，BC为母线长的圆锥；直角梯形 CFED绕AB旋转一周形成圆台；直角三角形ADE绕AB旋转一周 形成圆锥，那么梯形ABCD绕AB旋转一周所得的几何体是 以CF为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A为顶点、以DE为底面 半径的圆锥的组合体 ．
(D′D)2－OD－(O′D′)2＝
13 (3
3 )
2－5
3－(103
3 )
2＝4
3(cm)，
1.3.1 柱、锥、台表面积与体积
3 a 2
SSBC
A
B D C
1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4
因此，四面体S-ABC的表面积为
S 4
3 2 a 3a 2 4
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练习1.已知一个几何体的三视图如图 所示(单位:m),其中俯视图为正三角形, 则该几何体的表面积为__m2
S表 2 （3 5 2）
反思与感悟
S表=S底+S侧
思路（实质）：空间问题
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平面问题
思考2：圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱侧面的展开图及表面积
r O
圆柱的侧面展开图是矩形
l
S底 2r
2 r
2
O
S侧 2rl S表 S 底 S侧 2 2r 2rl 2r（r l）
15 cm
15 cm
答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆．
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知识二
柱体、锥体、台体的体积
回顾那些年
1 V sh 3
S为底面积， h为高
长方体体积： V=abc (a,b,c分别为长宽高) 正方体体积：V a
3
(a为棱长)
V r 2 h (底面半径为r，高为h) 圆柱的体、锥体、台体的表面积和体积
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学习目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式 2.能根据柱、锥，台的结构特征和展开图，推导他们的表面积 计算公式。 3.能求简单简单几何体的表面积和体积。
1.3 柱体、椎体、台体、球的表面积与体积
当堂自测
1．棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A )
A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3
当堂自测
2．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩
几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为( C )
A．9
B．10
C．11
D.223
直
8
观
侧面展开图
图
1
12
直观图2
V柱
( 12 2
)2
8
36 8 288
V柱
( 8 2
)2
12
16 12 192
例 2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A )
A.
1＋π 3
B.23＋π
C.13＋2π
D.23＋2π
(2)如图所示，已知三棱柱 ABC -A1B1C1 的所有棱长均为 1，
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.3.2球的体积和表面积
一、柱体、锥体、台体、球的表面积
h
侧面展开
h' h'
侧面展开
h' h'
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧 面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面 积和底面面积之和．
h
S
S
h
S
祖恒原理
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的 任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等。
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课后篇巩固提升基础巩固1.圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于( )A.72B.42πC.67πD.72π圆台表=S 圆台侧+S 上底+S 下底=π(3+4)·6+π·32+π·42=67π.2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为( ) A.1B.12C.√32D.34R ,圆锥底面半径为r ,高都为h ,由已知得2Rh=rh ,∴r=2R ,V 柱∶V 锥=πR 2h ∶13πr 2h=3∶4,故选D .3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.83 B.163C.203D.88,高为2的四棱锥,如图所示:∴该几何体的体积V=13×8×2=163.4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36√5B.54+18√5C.90D.81,且四棱柱的底面是边长为3的正方形,侧棱长为3√5,所以所求表面积为(3×3+3×6+3×3√5)×2=54+18√5,故选B .5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A .1+4π2πB .1+2π4πC .1+2ππD .1+2π2πa ,圆柱的底面圆的半径为r ,则2πr=a ,r=a 2π,所以圆柱的底面积为a 24π,侧面积为a 2,表面积与侧面积的比是2×a 24π+a 22=1+2π.6.若半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为 .,如图,设圆锥底面半径为r ,高为h ,则{2πr =2π,ℎ2+r 2=4. 解得{r =1,ℎ=√3.故它的体积为1×π×12×√3=√3π.7.一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积为.,底面是侧视图的三角形,底边为6、腰为5,一个底面的面积是12,三棱柱高是4,则侧面积为(5+5+6)×4=64,所以表面积为24+64=88.8.如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,则圆柱被截后剩下部分的体积是.a+b的圆柱,则拼接成的圆柱的体积V=πr2(a+b),所以所求几何体的体积为πr 2(a+b).9.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积;(2)如果点P ,Q 在正视图中所示位置,P 为所在线段中点,Q 为顶点,求在几何体表面上,从P 到Q 点的最短路径的长.由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S 圆锥侧=12×2πa×√2a=√2πa 2, S 圆柱侧=2πa×2a=4πa 2, S 圆柱底=πa 2,所以S 表=√2πa 2+4πa 2+πa 2=(√2+5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ=√AP 2+AQ 2=√a 2+(πa )2=a √1+π2,所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a √1+π2.10.已知正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.,正四棱锥的高PO ,斜高PE ,底面边心距OE 组成Rt △POE.∵OE=2,∠OPE=30°, ∴PE=2OE=4.因此S 侧=4×12PE×BC=4×12×4×4=32,S 表面=S 侧+S 底=32+16=48.能力提升1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.1B.2C.3D.6解析依题意,题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对),其中底面是直角边长分别为1、2的直角三角形,侧棱长为3,因此其体积为12×1×2×3=3.2.某几何体的三视图如图所示(单位: cm),则该几何体的体积是( )A .8 cm 3B .12 cm 3C .323 cm 3D .403 cm 3,该几何体是由一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2,高为2的正四棱锥组合而成,故其体积为V=23+13×22×2=8+83=323(cm 3),故选C .3.如图,在四边形ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2√2,AD=2,则四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成几何体的表面积为( ) A.(60+4√2)π B.(60+8√2)π C.(56+8√2)πD.(56+4√2)πABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=πr 22+π(r 1+r 2)l 2+πr 1l 1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2√2=(60+4√2)π.故选A .4.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅,提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为()A.4-π2B.8-4π3C.8-πD.8-2π,该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等.根据题设所给的三视图,可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去半个圆柱,正方体的体积为23=8,半圆柱的体积为12×(π×12)×2=π,因此该不规则几何体的体积为8-π.5.如图,圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为.r,则下底面半径为4r,高为4r.由母线长为10可知10=√(3r)2+(4r)2=5r,解得r=2.则圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.故圆台的侧面积为π×(2+8)×10=100π.π6.一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为.E ,F ,F 1,E 1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E 1F 1C 1B 1的体积V=S EFCB ×3=34S △ABC ×3=94S △ABC ,设图甲中水面的高度为h ,则S △ABC ×h=94S △ABC ,所以h=94,故答案为94.7.如图,一圆锥形封闭容器高为h ,圆锥内水面高为h 1,且h 1=13h ,若将圆锥倒置后,圆锥内水面高为h 2,求h 2.因为V圆锥SOV圆锥SO '=(23ℎℎ)3=827,所以V 水V 圆锥SO '=1927. 倒置后的体积关系为V水V圆锥S 'O 1=ℎ23ℎ3=1927,所以h 2=√19ℎ3273=√1933h.8.已知正三棱锥V-ABC 的正视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2√3,求该三棱锥的表面积.,且VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2√3. 取BC 的中点D ,连接VD ,则VD ⊥BC ,有 VD=√VB 2-BD 2=√42-(√3)2=√13,则S △VBC =12×VD×BC=12×√13×2√3=√39, S △ABC =12×(2√3)2×√32=3√3, 故三棱锥V-ABC 的表面积为3S △VBC +S △ABC =3√39+3√3=3(√39+√3).9.(选做题)如图,一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱. (1)试用x 表示圆柱的高;(2)当x 为何值时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积是多少?设所求的圆柱的底面半径为x ,它的轴截面如图,BO=1,PO=3,圆柱的高为h , 由图得x1=3-ℎ3,即h=3-3x (0<x<1). (2)∵S 圆柱侧=2πxh=2πx (3-3x )=6π(x-x 2), 当x=12时,圆柱的侧面积取得最大值为32π.∴当圆柱的底面半径为12时,它的侧面积最大为32π.。
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
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结束
柱、锥、台的表面积 [典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为
9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积． [解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点 O，对角
线 A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝A2C2＋B2D2＝a2＋4 b2＝200＋ 4 56＝64，∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积 S＝4×8×5＝160.
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题点二：分割法
结束
3.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边
长为 4 的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF 上任意一
点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积． 解：如图，连接 EB，EC.四棱锥 E-ABCD 的体积 V 四棱锥 E-ABCD＝13×42×3＝16. ∵AB＝2EF，EF∥AB， ∴S△EAB＝2S△BEF. ∴V 三棱锥 F-EBC＝V 三棱锥 C-EFB＝12V 三棱锥 C-ABE＝12V 三棱锥 E-ABC＝12×12V 四棱锥 E-ABCD＝4. ∴多面体的体积 V＝V 四棱锥 E-ABCD＋V 三棱锥 F-EBC＝16＋4＝20.
结束
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积
(× )
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差
(√ )
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结束
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该
1.3.1柱体,锥体,台体的表面积和体积
1 ` ` V ( S S S S )h 3
其是S、，S分别为上底面面积，h为台体的高。
例3 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8 g / cm3 ) 六角螺帽(如下图)共重5.8kg,已知底面是正六边形 , 大约有多少个(取3.14) ?
解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的 体积的差. 10mm V正六棱柱=1.732×122×6×10≈3.74×103(mm3) V圆柱=3.14×52×10≈0.785×103(mm3) 10mm 毛坯的体积 12mm 12mm V=3.74×103-0.785×103 ≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3) ∴ 5.8×12mm 103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个) 12mm 答:这堆毛坯约有250个。
正视图 侧视图
俯视图
2.(09惠州一模) 正方体对角线长为 3,则它的表面积 是多少？
10cm
15cm
7.5cm
我国古代著名数学家祖冲之在计 算圆周率等问题方面有光辉的成就。 祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出 贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪 末提出了这个体积计算原理。 祖暅提出这个原理，要比其他国 家的数学家早一千多年。在欧洲直到 17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里 （Cavalieri .B，1598年~1647年）提 出上述结论
边长为 12m m,内孔直径 10m m, 高为10m m,问这堆螺帽
1. 棱柱的侧面积、表面积
1. 直棱柱的侧面积、表面积
S侧=C•h
S表= S侧+2S底 S表= S侧+2S底
柱体
2. 斜棱柱的侧面积、表面积
S侧
=C’•h’
锥体
台体 的表 面积
§1.3.1 柱、锥、台体的表面积
因此，四面体S ABC的表面积为 因此，四面体S-ABC的表面积为 C
3 S = 4× a = 3a2 2
rO′
l
O
圆柱的侧面展开图是矩形
2π r
S = 2π r2 + 2π rl = 2π r(r + l )
S = π r2 + π rl = π r(r + l )
2πr
l
圆锥的侧面展开图是扇形
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积， 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，您 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 棱柱、棱锥、 形围成的几何体，它们的展开图是什么？ 形围成的几何体，它们的展开图是什么？ 如何计算它们的表面积？ 如何计算它们的表面积？
r′ = 0
圆锥 S = πr ( r + l ) 展开图
各面面积之和
直观强、 中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物 投影 平行投影 投影线平行 正视图 侧视图 俯视图 斜投影 不改变原 正投影 物形状
}
三视图
视图 直观图 可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象
长对正、高平齐、 长对正、高平齐、宽相等 根据三视图， 根据三视图，我们可以得 到一个精确的空间几何体
r
l l
O
S侧 = 2π rl = 4π 2 r 2
S =πr
2
3、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是 一个半圆， 。 一个半圆，则这圆锥的底面直径为
2 3aπ (m) 3π
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积
菏泽二中
范力
S = ab (1)矩形面积公式: __________. 矩形面积公式: 矩形面积公式 .
1 S = ah (2)三角形面积公式:_________. 三角形面积公式: 2 三角形面积公式 .
S = π r2 (3)圆面积面积公式:_________. 圆面积面积公式: 圆面积面积公式 .
r =1
1.看图回答问题 看图回答问题
r =1
'
h=2
l=2
r=2 = __ S圆柱侧 = 4π S圆锥侧 =2π S圆台侧 = 6π __ __ S圆柱表 = 6π S __ π =11 __ __ = 3π S
圆锥表
r =1
l=2
圆台 表
20
2.一个圆柱形锅炉的底面半径为 1m ,侧面展开 一个圆柱形锅炉的底面半径为 图为正方形, 图为正方形,则它的表面积 2 2 为_________ m . 2π + 4π
3.已知三棱台的上下底面均为正三角形,边长分别为3cm和9cm, 已知三棱台的上下底面均为正三角形,边长分别为 已知三棱台的上下底面均为正三角形 和 , 侧面是全等的等腰梯形,侧棱长为5cm,求它的表面积. 侧面是全等的等腰梯形,侧棱长为5cm,求它的表面积.
S
A B C
如何根据圆柱,圆锥,圆台的几何结构特征求它们的 表面积 圆柱的表面积
1 S = rl 2 (4)扇形面积公式: __________. 扇形面积公式: 扇形面积公式 .
1 S = (a + b)h (5)梯形面积公式: __________. 梯形面积公式: 梯形面积公式 . 2
晶莹剔透的水立方,她的外层膜( 结构具有抗压, 晶莹剔透的水立方,她的外层膜(ETFE)结构具有抗压,保温, 结构具有抗压 保温, 透光性好等优点,如果水立方长, 高分别为177m× 177m 透光性好等优点,如果水立方长,宽,高分别为 × ×30m,试求需多少 平方米 "ETFE"? , ? 只列式,不计算) (只列式,不计算)
1.3.1柱、锥、台的表面积与体积
一、棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积的求法：
在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图, 正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
探究：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平 面图形围成的多面体，它们的展开图是 什么?如何计算它们的表面积?
S表=S底+S侧
A
D
S
C
B
h
D
V VP ABCD VP ABCD A
S C
1 (S SS S)h
B
3
棱台(圆台)的体积公式:
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
x s' xh s
S'
r O l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
圆锥的侧面展开图是扇形
l rO
2r
S圆锥侧 rl
S r 2 rl r(r l )
2r'
r 'O’
2r
l
圆台的侧面展开图是扇环
rO
S圆台侧＝S扇环＝（r r/ )l
S (r'2 r2 r'l rl)
x 2r'
r 'O’
2r
l
r' x
r xl
rx r' x r'l
rO
S侧 r(l x) r' x (rl rx r' x)
5、1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积
1.3空间几何体的表面积和体积1．3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．问题1：能否计算出水立方外墙所用显示屏的面积？提示：可以，即计算水立方的外表面面积(除去底面)．问题2：能否计算水立方内部的空间大小？提示：可以，即计算其容积．几种几何体的表面积公式柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系其中S ′、S 分别为上、下底面面积，h 为高．[例1] (2011·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2[思路点拨] 由三视图可知，该几何体底面是边长为4的正方形，正视图与侧视图为相同的等腰三角形．可知几何体为正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心)，故其四个侧面为全等的等腰三角形，其表面积为S 侧＋S 底两部分．[精解详析] 由三视图知原几何体是一个底面边长为4，高是2的正四棱锥．如图： ∵AO ＝2，OB ＝2，∴AB ＝2 2.又∵S 侧＝4×12×4×22＝162，S 底＝4×4＝16，∴S 表＝S 侧＋S 底＝16＋16 2. [答案] B[一点通] 求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．1．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其表面积等于( ) A ．20π B ．15π C ．24πD ．30π解析：圆锥的侧面展开图为扇形，S 侧＝πrl ＝π×3×5＝15π，S 底＝π×32＝9π. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝24π. 答案：C2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A ．72B ．66C ．60D ．30解析：由三视图知，该几何体为三棱柱，底面为边长为3,4,5的直角三角形，三个侧面均为矩形，长都为5，故S 侧＝5(3＋4＋5)＝60，S 底＝2×12×3×4＝12，故S 表＝S 侧＋S 底＝72.答案：A[例2] 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．[思路点拨] 欲求棱台的高和体积，根据题目中给出的侧面面积和上、下底面面积的关系，可列等式求得侧面斜高，进而求出棱台的高和体积．[精解详析]如图所示，在三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中心，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，所以，S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以，DD ′＝1333(cm)，又∵O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， ∴棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2 ＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×(3253＋34×20×30) ＝1 900(cm 3)．[一点通] 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台体的体积计算问题．3．如图是圆锥的三视图，则该圆锥的体积是________．解析：由几何体的三视图知该几何体为圆锥，高为3，底面半径为1，则V 圆锥＝13S 底h ＝13π·3＝π.答案：π4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.13 B.23 C ．1D ．2解析：由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和2，三棱柱的高为2，故该几何体的体积为V ＝(12×2×1)×2＝1.答案：C[例3] (12分)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内过点C 作l ⊥CB ，以l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．[思路点拨] 旋转体是由一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的部分． [精解详析] 如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°， AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －AD cos 60°＝2a ，AB ＝CD sin 60°＝3a .∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a .∴DO ＝12DD ′＝a .(2分)由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．(4分)由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a . ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2， 圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2， 圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2，(6分)∴组合体上底面积 S 5＝S 3－S 4＝3πa 2， ∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.(8分)又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． V 柱＝Sh ＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3. V 锥＝13S ′h ＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3.∴V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3.(12分)[一点通] 求组合体的表面积与体积的关键，是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式．5．(2011·日照模拟)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是________．解析：该几何体为圆锥沿轴截面分开后的部分，底面圆半径为1，易求圆锥的高为3，故几何体体积V ＝12·13·π3＝3π6.答案：3π66．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A.3523 cm 3 B.3203 cm 3 C.2243cm 3D.1603cm 3 解析：该空间几何体的上部是底面边长为4 cm ，高为2 cm 的正四棱柱，其体积为4×4×2＝32(cm 3)；下部是上，下底面边长分别为4 cm,8 cm ，高为2 cm 的正四棱台，其体积为13×(16＋4×8＋64)×2＝2243(cm 3)．故所求几何体的体积为32＋2243＝3203(cm 3)．答案：B1．棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例性质：S 小锥底S 大锥底＝S 小锥表S 大锥表＝S 小锥侧S 大锥侧＝对应线段(如高、斜高、底面边长)的平方之比．2．求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3D ．125 cm 3解析：长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高即为3×4×5＝60 cm 3. 答案：B2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2B ．1∶ 3C ．1∶ 5D.3∶2解析：设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ， ∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2. 答案：C3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12.则该几何体的俯视图可以是( )解析：由题意可知当俯视图是A 时，即每个视图是边长为1的正方形，那么此几何体是正方体，显然体积为1，注意到题目要求体积是12，知其是正方体的一半，可知选C.答案：C4．(2011·兖州高一检测)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )A. 3 B ．2 C ．2 3D ．6解析：由正视图知，其侧面的底边长为2，高为1，故侧面积S ＝2×1×3＝6. 答案：D5．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的半径为r ，则2πr ＝12×2π·2，∴r ＝1，则高h ＝l 2－r 2＝ 3. ∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝33π.答案：33π 6．如图， 一个几何体的正视图与侧视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知该几何体为圆柱，底面半径为1，高为2，所以该几何体的表面积为S ＝2×π×12＋2π×1×2＝6π.答案：6π7．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA ′＝2 cm ，底面高B ′D ′＝2 3 cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4 cm. 一个底面的面积为12×23×4＝4 3 cm 2.所以S 表面积＝2×43＋4×2×3＝(24＋83) cm 2， V ＝43×2＝8 3 cm 3.所以表面积为(24＋83) cm 2，体积为8 3 cm 3.8.如图所示，已知六棱锥P －ABCDEF ，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm ，侧棱长为 3cm ，求六棱锥P －ABCDEF 的表面积和体积．解：S 六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2×2sin 60°＝63(cm 2)．S 侧＝6S △PCD ＝6×12×2×PC 2－(CD2)2＝632－12＝12 2 (cm 2)．∴S 表＝S 六边形ABCDEF ＋S 侧＝(63＋122)(cm 2)．在Rt △POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝PC 2－BC 2＝9－4＝5， ∴V P －ABCDEF ＝13S 六边形ABCDEF ·PO＝13×63×5＝215(cm 3)．。
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B
r 'O′lBiblioteka 2r '2r
C
r
O
2 2
S圆台表面积 (r r r l rl )
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有 什么关系？
r O
l
O
r r
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r 'O
l
r 0
'
l
上底扩大
r
上底缩小
O
r
O
三者之间关系
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
B
解：过点S作 SD BC , 交BC于点D． S a BC=a， BD 2 3 2 2 SD SB BD 2 a A 1 1 3 3 2 D C S BC SD a a a SBC 2 2 2 4
故四面体S-ABC 的表面积为 4 SSBC
3 2 4 a 3a 2 ． 4
r 0
展开图
圆锥 S r (r l )
各面面积之和
课外作业
作业布置：
P28 习题1.3A组 2，5
【选做题】如图，将一个棱长为２的正方体，
沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩
下的部分（包括截出的三角形面）的表面积．
a m ，且它的侧面
2
展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径．
所以r 2r a
2 2
3a 解得 r 3 2 3a 故所求直径为 3
l
r
O
知识小结
圆柱 S 2r (r l )
r r
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S (r 2 r 2 r l rl )
变式练习
【变式题 】如图，已知S-ABC是侧棱长均为5，底
面边长均为6的三棱锥，求它的表面积 ． S
A B D C
圆柱的表面积
圆柱的侧面展开图是什么？
圆柱的表面积
已知圆柱的底面半径和母 线长，怎样求圆柱的表面 积？
r O
O
l
2r
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
20cm
15cm
15cm
典型例题
例2 . 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直 径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为 了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫 升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（ 取3.14， 20cm 结果精确到1毫升，可用计算器）？ 解：由圆台的表面积公式得 一个花盆外壁的表面积为： 15cm 2 15cm 15 2 15 20 1.5 S 15 15 2 2 2 2
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
以百倍的信心
驶向成功的彼岸!!!
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
空间问题
平面问题
棱锥的展开图
棱锥的展开图
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和． 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
999 .1(cm2 ) 0.09991(m2 )
答：涂100个这样的花盆约需要999毫升油漆．
0 涂100个这样的花盆需要油漆： .09991 100 100 999 (毫升）
课堂练习
已知圆锥的表面积为
由图像可知2r l 解： 则有l 2r 2 依题意 r rl a
2
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是什么？
圆锥的表面积
已知圆锥的底面半径和 母线长，怎样求圆锥的 表面积？
2r
l
r
O
2
S圆锥表面积 r rl r (r l )
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想，圆台的侧 面展开图是什么呢？
圆台的侧面展开图是扇环
圆台的表面积
已知圆台的上下底面半径及母线长，怎样求圆台 的表面积呢？
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，如何计算它们的表 面积？
结论 棱柱、棱锥、棱台都是多面体， 计算其表面积就是计算它的各个 面的面积之和．
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
S
A
B
D
C
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
2
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S圆台表面积 (r r r l rl )
2 2
r 0
S圆锥表面积 r rl r (r l )
2
典型例题
例2 . 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直 径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为 了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫 升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（ 取3.14， 结果精确到1毫升，可用计算器）？