破解高考数学客观题的方法策略

第1讲“六招”秒杀选择题——快得分题型概述选择题解法的特殊性在于可以“不讲道理”.常用方法分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，时间可能不允许，因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧.其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断.先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”.在考场上，提高了解题速度，也是一种制胜的法宝.方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.【例1】(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )A.－8B.－6C.6D.8(2)(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝( )A. 2B. 3C.2D.3解析(1)由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D. (2)由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去).答案 (1)D (2)D探究提高 1.直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的围很广，只要运算正确必能得出正确的答案，解题时要多角度思考问题，善于简化计算过程，快速准确得到结果.2.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷改编)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝( ) A.8B.－8C.4D.－4(2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.34B.55C.78D.89解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q . ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠－1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1，所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.(2)第一次循环：z＝2，x＝1，y＝2；第二次循环：z＝3，x＝2，y＝3；第三次循环：z＝5，x＝3，y＝5；第四次循环：z＝8，x＝5，y＝8；第五次循环：z＝13，x＝8，y＝13；第六次循环：z＝21，x＝13，y＝21；第七次循环：z＝34，x＝21，y＝34，z＝55.当z＝55时，退出循环，输出z＝55.答案(1)B (2)B方法二特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.【例2】(2017·卷)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )A.a＋1b＜b2a＜log2(a＋b) B.b2a＜log2(a＋b)＜a＋1bC.a＋1b＜log2(a＋b)＜b2aD.log2(a＋b)＜a＋1b＜b2a解析令a＝2，b＝12，则a＋1b＝4，b2a＝18，log2(a＋b)＝log252∈(1，2)，则b2a＜log2(a＋b)＜a＋1b.答案 B探究提高 1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题.2.特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.【训练2】 如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.3∶1解析 将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝1113ABC A B C V -.111CC A B QP V -＝23111ABC A B C V -，所以截后两部分的体积比为2∶1.答案 B方法三 排除(淘汰)法排除法(淘汰法)是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法.【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )(2)(2015·卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则下面正确的是()A.|x |＝x |sgn x |B.|x |＝x sgn |x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析 (1)令f (x )＝2x 2－e |x |(－2≤x ≤2)，则f (x )是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，故排除A ，B ；当x >0时，令g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x ，又g ′(0)<0，g ′(2)>0，所以g (x )在(0，2)至少存在一个极值点，故f (x )＝2x 2－e|x |在(0，2)至少存在一个极值点，排除C. (2)当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1. 则x ·|sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝x . 因此，选项A ，B ，C 均不成立. 答案 (1)D (2)D探究提高 1.排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的围找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案. 2.(1)排除法常与特例法，数形结合法联合使用，在高考题求解中更有效发挥功能.(2)如果选项之间存在包含关系，必须根据题意才能判定.【训练3】 (2015·卷)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析 因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x ＝－f (x )，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，所以排除C. 答案 D方法四 数形结合法有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论.【例4】 (2015·卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A.{x |－1<x ≤0}B.{x |－1≤x ≤1}C.{x |－1<x ≤1}D.{x |－1<x ≤2}解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}.答案 C探究提高 1.该题将不等式的求解转化为研究函数图象的位置关系，利用几何直观，再辅以简单的计算，可有效提高解题速度和准确性.2.数形结合是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而导致错误的选择.【训练4】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f (x )＝k (x ＋1)(k >0)恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 解析 直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1，0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.答案 B 方法五 估算法选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次. 【例5】 (1)已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( ) A.169π B.83π C.4πD.649π (2)(2015·卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1解析 (1)球的半径R 不小于△ABC 的外接圆的半径r ，又△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴r ＝32×2×23＝233， 故S 球＝4πR 2≥4πr 2＝16π3>5π，只有D 满足. (2)满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上.事件“x ＋y ≥12”对应的图形如图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分.对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.答案(1)D (2)B探究提高 1.“估算法”的关键是确定结果所在的大致围，否则“估算”就没有意义.2.在选择题中作精确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值围，排除错误的选项.对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”.【训练5】设M为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( )A.34B.1C.74D.2解析如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1大，比S△OAB＝12×2×2＝2小，故C项满足.答案 C方法六概念辨析法概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选出正确结论的方法.这类题目一般是给出的一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的涵与外延，同时在审题时多加小心.【例6】 若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ伴随函数”.下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f (x )＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ伴随函数”；④“12伴随函数”至少有一个零点.其中正确的结论个数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 由题意得，①正确，如f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f (x )＝x 是一个“λ伴随函数”，则x ＋λ＋λx ＝x (1＋λ)＋λ＝0，对任意实数x 成立，所以1＋λ＝λ＝0，而找不到λ使此式成立，所以f (x )＝x 不是一个“λ伴随函数”；③不正确，若f (x )＝x 2是一个“λ伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝(1＋λ)x 2＋2λx ＋λ2＝0对任意实数x 成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而找不到λ使此式成立，所以f (x )＝x 2不是一个“λ伴随函数”；④正确，若f (x )是“12伴随函数”，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0，取x＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12任意一个为0，则函数f (x )有零点；若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12均不为0，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12异号，由零点存在性定理知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12区间存在零点.因此①，④的结论正确. 答案 B探究提高 1.创新命题是新课标高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文. -字叙述给出一个教材之外的新定义，如本例中的“λ伴随函数”，要求考生在短时间通过阅读、理解后，解决题目给出的问题.2.解决该类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决.【训练6】(2017·一中质检)若设平面α，平面β相交于直线m，直线a在平面α，直线b在平面β，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由α⊥β，α∩β＝m，b⊂β和b⊥m，知b⊥α，又a⊂α，∴a⊥b，故有“α⊥β”可以推出“a⊥b”，反过来，不一定能推出，即“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.答案 A从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的，所以解题可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因；另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大做，真正做到准确和快速.总之，解答选择题既要用各类常规题的解题思想原则来指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选项的暗示，迅速地做出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.. 可修编.。