二元一次不等式(组)的平面区域教案.docx

二元一次不等式（组）的平面区域教案教学设计．5.1 二元一次不等式所表示的平面区域整体设计教学分析前面已经学习了一元一次不等式、一元二次不等式及其解法，并且知道相应的几何意义．作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用．然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型．教材通过举例验证和归纳猜想的途径，得出二元一次不等式所表示的平面区域．本节的主要内容有：二元一次不等式的概念、表示的平面区域及相应的画法．其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示．本节内容在教学中应体现以下几点：①注重探究过程．能正确地画出给定的二元一次不等式表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题的重要基础．由于二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，决定了问题的研究应从二元一次不等式所表示的平面区域入手．②注重探究方法．充分理解二元一次不等式解集的几何意义，以不等式解为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．③注重探究手段．信息技术可作为探究平台，有条件的学校可利用信息技术手段对直线 Ax＋By＋ c＝ 0 一侧的点 P 的坐标进行跟踪显示，并将点P 的坐标代入Ax＋ By＋c 中，观察所得值的符号，由学生发现处于直线 Ax＋By＋ c＝ 0 同侧的点的坐标代入 Ax＋ By＋c 中符号都相同，直线 Ax＋By＋ c＝0 异侧的点的坐标代入 Ax＋By＋ c 中符号不同，由此得到判定 Ax＋By＋ c＞ 0 表示的是直线Ax＋By＋ c＝ 0 哪一侧的平面区域．三维目标．通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式所表示的平面区域．．通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．．通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想．尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生大胆探索，勇于创新的科学精神．重点难点教学重点：会画出二元一次不等式所表示的平面区域．教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式Ax＋ By＋ c＞ 0 表示 Ax＋ By＋ c＝ 0 的哪一侧区域．课时安排课时教学过程导入新思路 1. 让学生阅读教材，自己得出二元一次不等式的概念，教师结合多媒体点出本节所要解决的问题，由此展开新课的进一步探究．思路2. 可采用与一元一次、一元二次不等式的类比引出，借助“类比”思想，通过与熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式比较，引出二元一次不等式的概念．由此展开新课．推进新新知探究提出问题123Ax＋ By＋ c>0表示的是直线Ax＋ By＋c＝ 04线 Ax＋By＋ c＝ 0 将平面内的点分成了哪几类？活动：教师引导学生得出二元一次不等式的概念后，借助多媒体进一步探究二元一次不等式解集的几何意义，以及如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域，以直线l ： x＋ y－1＝ 0 为例．如图．由直线方程的意义可知，直线l 上的点的坐标都满足 l的方程，并且直线l 外的点的坐标都不满足l 的方程．事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x ＋ y －1＝0 分为三类：在直线x＋y－ 1＝ 0 上；在直线x＋ y－ 1＝0 右上方的平面区域内；在直线 x＋ y－ 1＝ 0 左下方的平面区域内．如、、、点的坐标代入 x＋y－ 1 中，有 x ＋ y－ 1＞ 0，、、、点在直线 x＋y － 1＝ 0 的右上方．点的坐标代入 x ＋ y－ 1 中，有 x＋ y－ 1＝0，点在直线 x＋y－ 1＝ 0 上．、、、点的坐标代入x＋ y－1 中，有 x＋ y－ 1＜0，、、、点在直线 x＋ y－ 1 ＝0 的左下方．如图．因此，我们猜想，对直线 x＋ y－ 1＝0 右上方的点， x＋y－1＞ 0 成立；对直线 x＋ y－ 1＝0 左下方的点， x＋ y－ 1＜ 0 成立．这个结论不仅对这个具体的例子成立，而且对坐标平面内的任一条直线都成立．一般地，直线l ：Ax＋ By＋ c ＝0 把坐标平面内不在直线l 上的点分为两部分．直线l 的同一侧的点的坐标使式子Ax ＋By＋ c的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋ c的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.由于对在直线Ax＋By＋ c＝0同一侧的所有点，实数Ax ＋By＋ c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，由Ax0＋By0＋ c 的正、负就可判断Ax＋By＋ c＞0 表示直线哪一侧的平面区域．当c≠0 时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断．如把代入x＋ y－ 1 中， x ＋y －1＜0.这说明 x＋y－ 1＜ 0 表示直线 x＋ y－ 1＝ 0 左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线x＋ y－ 1＝0 的同一侧．如果 c＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断．讨论结果：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式称为二元一次不等式．构成的不等式组称为二元一次不等式组．二元一次不等式解集的几何意义为：不等式表示的区域或不等式的图象．取点验证．将平面内的点分成了三类：在直线上，在直线左右两侧．应用示例例 1活动：通过本例要教给学生如何画出二元一次不等式所表示的区域．要严格要求学生按规定画图，并且画图时要细致、正确．注意开区域和闭区域边界的画法．教师要给出示范．直线画成虚线表示不包括边界，画成实线表示包括边界．点评：本例的关键是正确画出直线2x－y－ 3＝ 0 和 3x ＋2y － 6＝ 0. 阴影部分用短线表示，且短线要画得均匀美观.变式训练画出以下不等式表示的平面区域．x－y＋ 1＜ 0；x＋3y －6＞ 0；x＋－ 10≥ 0;4x － 3y≤12.解：例 2 画出不等式组x＋3y ＋6≥0，x －y ＋20 或 x＋2y＋ 1>0， x－ y＋40， x－ y＋ 40 表示的区域，如下图．点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 .变式训练．在平面直角坐标系中，由满足不等式组3x － y－8≤ 0，x≥ y， x＋ y≥ 0的点组成的图形为F，则A、 B、 c三点中，在 F 内的所有点是________．答案： A、 c解析：由题意，如图，A、 c 在区域内， B 不在区域内．．已知点 A、 B、 c、 D，其中不在不等式 2x＋ y＜ 4 所表示的平面区域内的点是 ________．答案： c解析：不等式可变形为2x＋ y－ 4＜0，对应的直线为2x＋y －4＝0.A 点是坐标原点，代入 2x＋ y－4 得－ 4＜ 0，即原点 A 在不等式所表示的区域内．把B、 c、D 点坐标依次代入2x＋ y－4，由所得值的正负来判断点是否与 A 点位于直线2x＋y －4＝0的同侧或异侧．可判断出 c 符合条件．点评：此类型的题的解法，就是将点的坐标代入二元一次不等式，若不等式成立，则可得点在二元一次不等式所表示的区域内，否则就不在二元一次不等式所表示的区域内.例4活动：教材安排本例的目的是分散难点．首先让学生了解恰当地运用字母表示实际问题中的变量，就可以将复杂的实际问题中的变量关系转化为二元一次不等式组，然后利用下一节知识解决．教学时教师引导学生将题中的数量关系用不等式组表示出来．由于变量 x、y 题已经给出，学生仅是将文字语言转换为数学语言，难度不大，可由学生自己完成 .变式训练甲、乙、丙三种药品中毒素A、 B 的含量及成本如下表：甲乙丙毒素 A600700400毒素 B800400500成本 4911某药品研究所想用 x 千克甲种药品， y 千克乙种药品， z 千克丙种药品配成 100 千克新药，并使新药含有毒素 A 不超过56000 单位，毒素 B 不超过 63000 单位 .用x、 y 表示新药的成本，并画出相应的平面区域．解：由已知，得x＋ y＋ z＝100，∴＝ 4x＋ 9y ＋11z＝4x＋ 9y ＋ 11＝1100－ 7x－2y.又600x ＋700y＋≤ 56000，00x＋ 400y＋500≤ 63000，∴2x＋ 3y ≤ 160， 3x－y≤ 130，x ＋y ≤100， x≥ 0y ≥0.表示的区域如下图所示：知能训练．画出不等式2x＋y －6＜0 表示的平面区域．．某人上午 7： 00 乘汽车以匀速 v1 千米 / 时从 A 地出发到距 300 的 B 地，在 B 地不作停留，然后骑摩托车以匀速 v2千米 / 时从 B 地出发到距50 的 c 地，计划在当天16： 00 至21： 00到达c 地，设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x 、y 小时，则在xoy坐标系中，满足上述条件的x、y的范围阴影部分表示正确的是．在平面直角坐标系中，不等式组x ＋ y － 2≥ 0， x － y ＋2≥0，x ≤2 表示的平面区域的面积是A．42B． 4c．22D． 2．若 a≥0， b≥ 0，当且仅当x≥0， y≥ 0， x＋ y≤1 时，恒有 ax＋ by ≤1，则以 a，b 为坐标点P 所形成的平面区域的面积等于A.12B. π 4c．1D. π 2．本节探索与研究本节后的探索与研究宜针对较好的学生进行，让其明白其结论的原理．在向量知识的基础上明白道理不是太困难的事．实际画图时，也并不需要画出直线的法向量，只需取点验证即可．因此本内容不宜对一般学生进行，以免冲淡了本节的主题．答案：．解：先画直线2x＋ y－ 6＝ 0．取原点代入2x ＋ y－ 6，因为 2×0＋ 0－ 6＝－ 6＜ 0，所以原点在2x＋y－ 6＜ 0 表示的平面区域内，不等式 2x ＋y －6＜0 表示的区域如左下图所示．．B解析：由题意得 xv1 ＝ 300， yv2 ＝50， 9≤x ＋y ≤14，而 30≤v1≤ 100,4 ≤ v2≤ 20，则不等式组变化为3≤x ≤10， 2.5 ≤ y≤ 12.5 ， 9≤ x＋y≤ 14.．B解析：画出不等式组表示的平面区域如图．可知面积＝ 12× 4× 2＝4.．c解析：由ax＋ by≤ 1 恒成立知，当x＝0 时， by≤1恒成立，∴ 0≤ b≤1；同理 0≤a≤ 1，∴以 a，b 为坐标点 P 所形成的平面区域是一个边长为 1 的正方形，其面积为 1.课堂小结．由学生自己回顾本节课的探究过程，整合二元一次不等式组与平面区域的关系，注意如何表示边界的虚与实，明确不等式 Ax＋ By＋ c＞0 表示直线 Ax＋ By＋ c＝ 0 的某一侧的平面区域．．教师画龙点睛．比较是最好的学习方法，通过两个不等式的比较，寻找出共同的规律，进而发现二元一次不等式表示平面区域的主要性质及结论．画图是我们的弱点，而准确画图是学好这部分内容的关键，要有意识地加强这方面的训练．作业习题 3—5A 组 1、2；习题 3—5B 组 1.设计感想．本小节设计注重了学生的动手操作能力，因为技能的学习必须亲身体验获得．强化格式的规范也相当重要，在学生的动手操作过程中这些都可以得到充分体现．．本小节设计注重了方法的启发引导：从特殊到一般，化陌生为熟悉，先研究特殊的二元一次不等式所表示的平面区域．让学生经历“观察、归纳、猜想及证明”的全过程，这是本节的主要环节．备课资料一、备用习题．已知点P1、 P2、P3，则在 3x＋2y－ 1≥0 表示的平面区域内的点是A．P1、P2B．P1、P3c．P2、P3D．P2．不等式 x－2y ＋ 6＞0 表示的平面区域在直线x－2y＋ 6＝0的A．右上方 B．右下方 c．左上方 D．左下方x －y ＋5x ＋y0，0≤x ≤3 表示的平面区域是一个A．三角形 B．矩形 c．梯形 D．直角梯形．不等式 |x －2| ＋ |y －2| ≤2 表示的平面区域的面积为________．．直线 3x＋ y－ 3＝ 0 上位于 x 轴下方的一点P 到直线 x －y－1＝0 的距离为 32，则 P 点坐标为 ________．．用三条直线 x＋ 2y＝ 2,2x ＋y＝ 2， x－y＝ 3 围成一个三角形，则三角形内部区域可用不等式组________表示．．画出不等式 x2＋xy － 2y2＋ 3y－ 1＜0 表示的平面区域．．某用户计划购买单价分别为 60 元、 70 元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过 500 元，根据需要，软件至少买3 片，磁盘至少买 2 盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？参考答案：．c解析：将点代入验证．．B解析：取特殊点验证．．c x－ y＋ 5x＋ y0， 0≤x≤ 3，可转化为 x－y＋ 5≥ 0，x＋ y≥0，0≤x ≤3 或 x－ y＋ 5≤0，x ＋y ≤0， 0≤ x≤ 3，画图即可．．8 解析：去掉绝对值符号后，可得该不等式表示的区域面积为 12× 2× 2× 4＝ 8.．解析：设P，P 在x 轴下方，则3－ 3t＜0.∴t＞ 1， d＝ |t3－ 3t1|2＝ 32，|t－ 1|＝32.由t ＞ 1，得 t ＝ 52. 于是 P．x ＋ 2y2x － y0，x ＋ 2y － 10. 其表示的平面区域如图阴影部分所示．．解：设软件数为x，磁盘数为y，根据题意可得60x ＋70y ≤500， x≥3 且 x ∈N，y ≥2 且 y∈ N.二、二元一次方程组的图象解法看一个二元一次方程 y＝ 2x＋3，我们可以列表把这个方程的解表示出来：在坐标平面内描点、画图．这样得出来的图形就是二元一次方程 y＝ 2x＋ 3 的图象．图象上每一个点的坐标，如就表示方程 y＝2x ＋ 3 的一个解 x＝－ 3， y＝－ 3.对比一次函数的图象，不难知道，二元一次方程y＝ 2x＋3的图象就是一次函数 y＝ 2x＋3 的图象，它是一条直线．引申：怎样利用图象解二元一次方程组呢？看下面的例子：x＋y＝ 3，① 3x－ y＝ 5. ②先在同一直角坐标系内分别画出这两个二元一次方程的图象．由方程①，有过点与画出直线 x＋ y＝ 3.由方程②，有过点与画出直线 3x－ y＝ 5.两条直线有一个交点，交点的坐标就表示两个方程的公共解，交点坐标是，所以原方程组的解是x＝ 2， y＝ 1. 这与用代入法或加减法解得的结果相同．提问在解二元一次方程，会遇到其中一个方程是x ＝ 3或 y＝ 2 种形式．x＝3 或 y＝ 2 的象是怎的呢？方程 x＝3 可以看成 x＋ 0?y ＝ 3，它的解列表X⋯3333⋯y⋯－ 1012⋯可以看到，无y 取什么数， x 的都是3，所有表示方程x＝ 3 的解的点成一条直，条直点，且平行于y ．条直就是方程x＝ 3的象，即直x＝ 3．同，方程y＝ 2的象是点，且平行于x 的一条直，即直y＝ 2．。