23.2.2_一元二次方程的解法(三)配方法 学案
23.2一元二次方程解法学案-2021-2022学年华师大版数学九年级上册
23.2 一元二次方程解法第五课时 四种解法的灵活运用一、双基整合 步步为营1、“____”是解一元二次方程的基本指导思想。
2、一元二次方程的基本解法有_______、_______、____________和____________。
3、方程x 2+2x-3=0的解是________________。
4、解下列方程（1）16x 2-25=0 （2）x 2+49=14x （3）x 2+4x-5=0 （4）3x 2-10x+6=0二、铸就能力 拓广探索5、解方程x 2＋3x －10=0。
6、已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12+-x x 的值为___。
7、方程031322=--x x 的根是________________。
8、关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a （1－a ）＝0有两个不相等的正根，则可取值为 （只要填写一个可能的数值即可）．9、在下列方程中，有实数根的是（ ）A 、2310x x ++=B 1=-C 、2230x x ++=D 、111x x x =-- 三、智能升级 链接中考10、一元二次方程2230x x --=的两个根分别为( )．A 、x l =1，x 2=3B 、x l =1，x 2=-3C 、x 1=-1，x 2=3D 、x I =-1， x 2=-311、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）A.8B.10C.8或10D.不能确定12、已知关于x 的方程2210x kx -+=的一个解与方程2141x x+=-的解相同。
①求k 的值；②求方程2210x kx -+=的另一个解。
13、已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2－(2k+3)x+k 2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC 的长为5. 试问：k 取何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形?第五课时 四种解法的灵活运用参考答案一、双基整合 步步为营1、降次；2、直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法；3、-3和1。
2.2.2用配方法求解一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用配方法求解一个具体的一元二次方程，从而直观地看到结果。
3.培养学生的数学运算能力，熟练运用配方法解一元二次方程，提高解题效率；
4.培养学生的数据分析能力，让学生在解决一元二次方程问题时，能够分析问题、提炼关键信息，并进行合理判断；
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在掌握配方法的基础上，探索和尝试新的解题方法，提高解决问题的灵活性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-实际问题的数学建模：培养学生将现实问题抽象成一元二次方程，并运用配方法求解的能力。
-重点细节：
-识别问题中的已知量和未知量，建立方程模型；
-将实际问题中的条件转化为方程的约束条件；
-运用配方法求解方程，得出问题的解答。
2.教学难点
-配方法的推导过程理解：学生需要理解配方法背后的数学原理，这对于逻辑思维能力有一定的要求。
-难点举例：
-学生可能会对为什么要添加和减去同一个数感到困惑；
-对于如何将方程转化为完全平方公式感到不熟悉。
-配方法在实际问题中的应用：将配方法应用于解决实际问题，需要学生具备一定的分析能力和创造性思维。
-难点举例：
-在实际问题中，学生可能难以找到合适的方程模型；
-在应用配方法时，可能会出现计算错误，导致最终答案错误。
-配方法的步骤及应用：配方法是一元二次方程求解的重要方法，本节课的核心是让学生掌握配方法的步骤，并能将其应用于求解实际问题。
2.2.2一元二次方程的解法--配方法 教案
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经 过探索一元二次方程的重要结论，一元二次方程的解法规定，发展学生观察、分析、 发现问题的能力． 教学重点：用开平方法解一元二次方程。 教学难点：用配方法解一元二次方程。
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用 开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的基本步骤： (1)移项:把常数项移到方程的右边; (2)配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方; (3)开方:根据平方根意义,方程两边开平方; (4)求解:解一元一次方程; (5)定解:写出原方程的解.
3
x
4
2
3
25 9
x1
3,x 2
1 3
例 4、已知 4x2+8(n+1)x+16n 是一个关于 x 的完全平方式，求常数 n 的值.
用配方法求 2x2 7x 2的最小值
2x2 7x 2
2 x2 7 x 2 2
2
x
二、探究 1 （10 分钟）
梯子，墙壁，底面构成了直角三角形。 AC=2BC 设 BC 为 x 米，AC 为 2x 米， 由勾股定理得
x 2 2x 2 52
这个一元二次方程的应该怎么解呢?
5x 2 25 x2 5 x 5
前面解方程时利用了什么方法呢? 一般地,对于形如 x2=a (a>0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
23.2.2一元二次方程的解法(因式分解法)
解方程 : x 2 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1); 3 3 而4 x 2 12 x 9 4( x 3 )( x 3 2 解方程 : 4 x 12 x 9 0得x1 , x2 ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程 : 3x 7 x 4 0得x1 , x2 1; 而3x 7 x 4 3( x )( x 1) 3 3 看出了点什么?有没有规律 ?
9.x1 3, x2 9.
10.x1 3, x2 9.
9.x 2 12 x 27 0; 10 .2( x 3) x 9.
2 2
独立 作业
知识的升华
P46, 习题22.2: 5, 8.
祝你成功！
开启
智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如： x 2 6 x 9 ( x 3) 2 ; x 2 5x 6 ( x 2)( x 3); 但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢? 4 x 2 12 x 9 ? . 3x 2 7 x 4 ?. 观察下列各式,也许你能发现些什么
解：去分母，得 2( x 3) 3x(3 2 x) 2 x(3x 1),
2
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0 x 2 0或2 x 3 0
一元二次方程的解法(配方法)教案
★★★★★《一元二次方程的解法(配方法)》教案教学目标(一)使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;(二)在理的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；(三)在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。
教学重点和难点重点：掌握用配方法配一元二次方程。
难点：凑配成完全平方的方法与技巧。
教学过程设计(一)复习1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪几种形式?(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。
特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。
例解方程：(x-3) 2=4 (让学生说出过程)。
解：方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得x=3±2。
所以 x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)4.其实(x-3) 2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。
(把这个展开过程写在黑板上)(x-3) 2=4, ①x2-6x+9=4, ②x2-6x+5=0. ③(二)新课1.逆向思维我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) 2=n的形式。
这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) 2。
2.通过观察，发现规律问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。
(添一项+1)即 (x2+2x+1)=(x+1) 2.练习，填空：x2+4x+( )=(x+ ) 2; y2+6y+( )=(y+ ) 2.算理 x2+4x=2x·2 ，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3 ，所以添3的平方。
第22章一元二次方程学案
23.1 一元二次方程学案学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
课堂研讨：探究新知【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是 .自主学习【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
【我学会了】1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。
展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【例2】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）81x（2）)242=xx=-x(5)1(3+【挑战自我】1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解； （1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2； （2）0822=-+x x ±2， ±43、要使02)1()1(1=+-+++x k xk k 是一元二次方程，则k=_______.4、已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。
配方法解一元二次方程教案
配方法解一元二次方程授课人：薛晓波一、教材分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键。
配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，同时也是推导公式法的基础。
配方法又是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。
二、目标分析1．知识与技能：理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；2．过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法；3．情感态度价值观：学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣。
教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
教学难点：发现并理解配方的方法。
三、教学过程设计环节一：创设情境，引出新知在知识引入阶段，创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲。
环节二：对比研究，探索新知本节课力求在学生已有知识和经验的基础之上，让学生通过观察、比较、转化、探究，自主发现解决问题的方法和规律，理解并掌握配方法。
因此，我以问题为引导，由浅入深，层层递进地设置了4个问题：问题1：我们会解什么样的一元二次方程？举例说明用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的方程的特点是：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即)0nm+nx，运用直接开平方法可以解。
这是(=)(2≥后面配方转化的目标，也是对比研究的基础。
问题2：你会用直接开平方法解下列方程吗？设置四道方程：032324124)1(2222=-+⇒=+⇒=++⇒=+x x x x x x x ，启发学生逆向思考问题的思维方式，将方程0322=-+x x 转化成4)1(2=+x 的形式，从而求得方程的解。
通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将02=++q px x 形式转化为)0()(2≥=+n n m x 的形式，而怎样转化就成为探索的方向，如何进行合理的转化则是下一步探究活动的核心。
23.2已修改
23．2一元二次方程的解法导学提纲一、教学目标：1、掌握一元二次方程的四种解法；能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根．2、进一步培养学生快速准确的计算能力．3、进一步体会配方法是解决数学问题的一种思想方法．二、教学重、难点：1、一元二次方程的解法及判别式。
2、教学难点：配方法．三、创设情景引入新知：1、在数学活动课上，老师拿来一张面积为96 cm2 的长方形白纸，要大家把它剪成形状、大小完全一样的6个图形（如图）。
小明剪完后，用刻度尺一量，发现它们恰好均为正方形。
于是小华马上断定原长方形白纸的长为12cm，宽为8cm，你知道为什么吗？2、今年利群超市三月份的利润是2500万元，因为“五、一”黄金周，五月份的利润达到3000万元，问这两个月的平均增长的百分率是多少？3、选择适当方法解下列方程（1）3x2-48＝0 （直接开平方法）；（2）（x＋a）2＝225 （直接开平方法）；（3）2x2＋7x-4＝0 （配方法）；（4）2x2-x＝5 （公式法）；（5）（3x-1）2＝6x-2 （因式分解法）；（6）abx2＋a2x-b2x-ab=0 （因式分解法）；四、联系实际建立知识：1、举例：让学生举出生活中这样的事例，以小组为单位交流。
2、明确：可以用直接开平方法解的一元二次方程的基本特征．3、形成：根据每个小组的举例说明直接开平方法解一元二次方程的概念，会用直接开平方法解一元二次方程，小组内交流，小组代表发言，教师评价。
4、方程0162=-x 的根是 ; 方程 9)12(2=-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ;5、22___)(_____6+=++x x x ; 22____)(_____3-=+-x x x ; 22____)(_____+=++x x x ; 22____)(_____-=+-x px x . 6、选择适当方法解下列方程（1）5x 2-7x ＋1＝0；（2）4x 2-5x ＋1＝0；（3）4（x ＋2）2-9（x-3）2＝0⑷x x 4)1(2=+ ⑸ 42)2)(1(+=++x x x⑹31022=-x x ⑺ （ x －2）（x －5）=－2五、应用知识解决问题：1、已知教室内正方形窗户的面积为2.25平方米，求窗户的边长。
2.配方法解一元二次方程教案(3课时)
21.2.1配方法（3课时）1.会用直接开平方法解一元二次方程.2.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.1.体会转化、降次等数学思想在数学中的应用,培养学生基本的运算技巧和能力.2.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题.1.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.2.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.【重点】运用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.【难点】1.一元二次方程根的确定.2.判断一个方程是否适合用直接开平方的方法求解.1.使学生理解直接开平方法的定义和基本思想.2.会用直接开平方法解一元二次方程.3.知道形如(x+n)2=p(p≥0)的方程可以用直接开平方法求解.1.体会转化、降次等数学思想在数学中的应用,培养学生基本的运算技巧和能力.2.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题.1.培养学生积极参与、主动探索的精神,发展学生合作意识.2.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.【重点】运用直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程.【难点】如何识别一个一元二次方程可以用直接开平方法求解.【教师准备】预想学生在解方程过程中容易出现的问题.【学生准备】复习一元二次方程根的定义.导入一:有这样一首诗:一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起?学生列出方程,并思考怎样解这个一元二次方程,教师引出课题.导入二:(1)什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?(2)计算:9的平方根是,4的平方根是.(3)如果x2=36,那么x的值是.【师生活动】共同复习平方根的概念和性质.[设计意图]由实际问题导入新课,让学生体会数学在实际问题中的应用,培养学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.(教材问题1)一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?【师生活动】学生思考,教师引导回答下列问题.(1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为dm2;(2)据题意可得等量关系为;(3)根据等量关系可列方程;(4)化简可得.【学生活动】小组交流讨论如何解这个方程,学生回答问题后,教师及时补充.解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为6x2dm2.根据题意,得10³6x2=1500,整理,得x2=25.根据平方根的意义,得x=±5.即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去).答:其中一个盒子的棱长为5dm.问题思考:x=±5都是方程x2=25的根,在这里为什么舍去一个根?(棱长不能为负数,所以正方体盒子的棱长为5dm.)二、共同探究1直接开平方法1.例解方程解下列方程.(1)x2=4;(2)x2-2=0.【师生活动】学生思考回答,教师规范书写.解:(1)根据平方根的意义得x=±2,∴x1=2,x2=-2.(2)移项得x2=2,∴x=±2,∴x1=2,x2=-2.[设计意图]通过简单例题,探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识衔接的同时,易于理解和掌握本节课的学习重点,教师板书解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.2.归纳概念解下列方程.(抢答)(1)x2=9;(2)9x2-144=0.【师生活动】学生独立思考计算后,进行抢答,教师对学生的成果点评.解:(1)根据平方根的意义,得x=±3,∴x1=3,x2=-3.(2)移项,得9x2=144,系数化为1,得x2=16,根据平方根的意义,得x=±4,∴x1=4,x2=-4.[设计意图]设计比较简单的练习,巩固直接开平方法的应用,以抢答形式回答,激发学生的学习兴趣和竞争意识.4.总结归纳一般地,对于方程x2=p:(1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根x1=,x2=-(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时,方程没有实数根.[设计意图]师生共同探究,得出一般结论,达到真正理解和掌握直接开平方法解方程的目的,同时培养学生归纳总结能力.2(1)(x+3)2=5;(2)4(x+3)2=5.思路一教师引导分析方程特点,方程(1)中,把x+3看作整体,用直接开平方法,将方程化为x+3=±5,即x+3=5或x+3=-,达到降次的目的,转化为两个一元一次方程求解.方程(2)中,也把x+3看作整体,两边同时除以4,方程化为(x+3)2=5,仿照方程(1)的解法可直接开平方求解.思路二思考:方程有什么特点?是不是形如x2=p的方程?如果不是,能不能化成这种形式?教师提出问题,学生针对问题进行小组讨论交流,共同探究,教师在巡视过程中针对学生遇到的困难给予提示,即整体思想在数学中的应用.解:(1)直接开平方,得x+3=±5,即x+3=5或x+3=-5,∴方程的根为x1=-3+5,x2=-3-5.(2)两边同时除以4,得(x+3)2=54,即x+3=52或x+3=-52,∴方程的根为x1=-3+5,x2=-3-5.[设计意图]通过给学过的方程“穿衣服”,激发学生探究数学新知识的乐趣,方程层层递进的变化,让学生在熟悉的知识中易于理解和掌握新知识,同时培养学生用整体思想思考问题的意识.归纳总结:(1)通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?【师生活动】学生思考,教师提示:由方程(x+3)2=5,到方程x+3=5或x+3=-5,方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.“降次”是解一元二次方程的基本策略,直接开平方法是根据平方根的意义,把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的.(2)能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?方程的解是什么?【师生活动】学生思考,小组讨论,归纳总结.如果一个一元二次方程具有(x+n)2=p(p≥0)的形式,那么就可以用直接开平方法求解,方程的解为x1=-n-x2=-n+.(3)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么?【师生活动】学生思考回答,老师指导.首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的概念求解.[设计意图]以问题的形式归纳本节课的重难点及易错点,在教师的引导下,学生独立思考或小组交流,将知识进行归纳,体会转化思想在数学中的重要应用,培养学生分析问题、解决问题的能力.[知识拓展]1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.3.方程(x+n)2=p中,当p<0时,方程没有实数根.如图所示,在ΔABC中,∠B=90°,点P从点B出发,沿BA边向点A以1cm/s的速度移动,点Q从点B出发,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P,Q同时从B点同时出发,几秒后ΔPBQ的面积等于8cm2?解:设x s后ΔPBQ的面积等于8cm2,则PB=x cm,BQ=2x cm,依题意,得1x²2x=8.2即x2=8,根据平方根的意义,得x=±2,即x1=2,x2=-2.可以验证,22和-22都是方程1x²2x=8的根,但是移动时间不能是负值.2所以22s后ΔPBQ的面积等于8cm2.直接开平方法解一元二次方程的基本策略是降次,依据是平方根的概念.直接开平方法适合解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程.一元二次方程(x+n)2=p根的情况:当p≥0时,方程有实数根,当p<0时,方程没有实数根.1.方程3x2+27=0的解是()A.x=±3B.x=-3C.无实数根D.以上都不对2.方程(x-2)2=9的解是()A.x1=5,x2=-1B.x1=-5,x2=1C.x1=11,x2=-7D.x1=-11,x2=73.用直接开平方法解方程(x+h)2=k,方程必须满足的条件是()A.k≥0B.h≥0C.hk>0D.k<04.方程(x-m)2=n(n为正数)的解是.5.解下列方程.(1)4x2=81;(2)(x-2)2=5;(3)36x2-1=0;(4)3(x-1)2-6=0.一、例题讲解二、共同探究1直接开平方法对于方程x2=p,(1)当p>0时,✕✕(2)当p=0时,✕✕(3)当p<0时,✕✕三、共同探究2解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程。
一元二次方程的解法(配方法)
x2 9x ___4___ (x __2___)2
x2
3
x
9
__1_6__
(x
3
___4__)2
2
x2 6 2x __18___ (x _3__2__)2
例2、用配方法解下列方程：
⑴ x2 6x 7 0 ⑵ x2 3x 1 0 ⑶ x2 4x 3 0
一半的平方，使左边成为完全平方. 3、如果方程的右边整理后是非负数，
用直接开平方法解之，
如果右边是个负数，
则指出原方程无实根.
实验手册： P16 练习2
A/1,2 思考B/3,4,5
课程结束
驶向胜利的彼岸
练习
①填空：
（1） x2 6x 2
（2） x2 －8x＋（ ）＝ x 2
∵ (x 1)2 0
2
∴ 2(x 1)2 1 0
22
2(x2 x 1 ) 1 2 1
∴代数式的值 恒大于0.
4
4
2(x 1 )2 1 22
课堂小结 配方法解一元二次方程的步骤：
1、把常数项移到方程右边， 用二次项系数除方程的两边
使新方程的二次项系数为1. 2、在方程的两边各加上一次项系数的
（3） x2 ＋x＋（ ）＝（x＋ ）2
（4）4 x2－6x＋（ ）＝4（x－ ）2
②用配方法解方程：
（1） x2＋8x－2＝0
（2） x2－5 x－6＝0
（3） x2 7 6x
（4） x2 10 2 6x
试一试
用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－ 4q≥0).
这里为什么要规定p2－4q≥0？
23.2.2配方法学案-2021-2022学年华师大版数学九年级上册
23.2 一元二次方程解法第三课时 配方法一、双基整合 步步为营1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①首先将方程整理为，左边为_____项和______项，右边为_______项；②其次将二次项系数变为____；③方程两边各加上_____________________，这是配方法的关键的一步；④方程左边写成_____________式，右边__________。
当右边是_______实数时，用开平方法即可求得方程的解；当右边是_______实数时，方程无解。
2、用配方法解一元二次方程(1)x 2-10x+24=0； (2)x 2-8x+15=0； (3)x 2+2x-99=0；（4）2x －4x ＝7 （5）2x －3x －10＝0 （6）2x －5x ＋2＝0（7）52x ＋3x －8＝0 （8）32x －10x ＋6＝0二、铸就能力 拓广探索 3、已知方程(m ＋2)8)3(--m m x＋3mx －5=0是关于x 的一元二次方程。
求的m 值。
4、用配方法解方程 （1）x 2－4x －5=0。
（2）x 2-2x －9999=0。
（3）051562=+-x x(4)1)25(5-=-x x ； （5）2x －22x －1=0三、智能升级 链接中考5、用配方法解方程xx 2410-+=6、用配方法解方程2410x x ++=，经过配方，得到（ ）Ａ．()225x +=Ｂ．()225x -= Ｃ．()223x -= Ｄ．()223x += 7、解方程：x 2+2x ＝2.8、用配方法解方程：2210x x --=．第三课时 配方法参考答案一、双基整合 步步为营1、①二次；一次；常数；②1；③一次项系数一半的平方；④完全平方；合并简化；非负；负。
2、(1)x 1＝4，x 2＝6；(2)x 1＝3，x 2＝5；(3)x 1＝9，x 2＝－11；（4）1121+=x ，1122-=x ；（5）2,521-==x x ；（6）21,221==x x ；（7）58,121-==x x ； （8）375,37521-=+=x x 二、铸就能力 拓广探索3、解：根据一元二次方程的定义得：m(m －3)－8=2，m ＋2≠0，∴m=54、（1）解：x 2－4x=5x 2－4x+ 22=5+22(x －2)2=9x －2=3或x －2=－31,521-==x x（2）x 2-2x －9999=0。
2.2一元二次方程的解法导学案3
2.2一元二次方程的解法3
班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿ 第＿＿小组
【课前尝试预学，课中尝试交流】
1. 用配方法解一元二次方程x 2+px =-q 时，应在方程两边同时加上一次项系数 的平方，即同时加上 .
2. 填空：3x 2-9x + =3(x - )2.
3. 用配方法将方程x 2+8x -1=0配方成a (x +m )2=k 的形式为 .
4．用配方法解关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，此方程可变形为………………（ ） A. 44)2(2
2m n m x -=+ B. 4
4)2(22n m m x -=+ C. 24)2(22n m m x -=+ D. 2
4)2(2
2m n m x -=+ 5．用配方法解方程：x 2+2x -2=0.
6．用配方法解下列方程。
（1）2x 2-x -1=0 （2）3x 2+8x -3=0
7．配方法的基本步骤
(1) 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，在方程两边同时除以 ，就化归为二次项系数为1的一元二次方程；
(2) 将 移项至方程右边；
(3) 方程的两边同加上 的平方；
(4) 当方程右边为非负数时，可用因式分解法或 法解出方程的根.
【课中尝试提高题】
8．用配方法解方程2x2-x-1＝0时,配方结果正确的是() (A)(x-)2＝
. (B)(x-
)2＝.
(C)(x-)2＝
. (D)(x-
)2＝
. 9．已知9x2+18(n-1)x+18n是完全平方式,求常数n的值.
【尝试梳理】梳理一下这节课你学到的知识，并说说你的困惑.。
浙教版八年级下册 2.2 一元二次方程的解法(3)教学设计(表格式)
选2个有代表性的学生解题过程予以呈现，一起分析、交流和纠正
2.书上P35作业题1用配方法解方程 时，配方结果正确的是（）
3.小老师：请检验以下解方程的步骤是否正确，若正确，则打√，若错误，则打×，并修改.
易错点：1.方程两边同加上一个常数时等号右边漏加。2.开方时，漏解。3.移项时，把符号弄错。
评价任务设计及评分细则
1.会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
2.会运用配方法给代数式配方，进行具体问题的解决，根据掌握程度的不同对学生进行评价。
教学重点难点
重点：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。
难点：例7中含有字母的代数式配成一个完全平方式，学生的思路很难形成，是学生的一个难点。
教学过程
教师巡逻，个别指导，选2个有代表性的学生解题过程予以呈现，一起分析、交流和纠正，并强调规范解题格式和步骤。
教师引导学生说出每步的依据及错误的原因，和总结归纳易错点。
教师巡逻，个别指导，最后一起分析、交流和纠正，并强调二次项系数先转化为1，并规范解题格式和步骤。
三、
学以致用
1.请完成以下填空：
思考：对于二次项系数不是1的二次三项式我们要配方需注意什么？
（4）这个方程的解法与上面第3小题的解法上相差几步？这一步怎么操作？
归纳用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的一般步骤：1.除；2.移；3.配；4.开；5.解；6.写。（补充说明第1步和第2步可以相互转化）
2.思考：
（1）这个方程还能用前面其它的方法来解吗？
（2）能不能用因式分解法来解呢？
巩固训练：
B：能用三种方法中的一种解出方程，但不能与前面解过发方程思考比较的；
C：方程解错的。
初中数学精品教案：一元二次方程的解法3——配方法教案
练习：
1、用配方法解时,配方结果正确的是( )
请学生上来板演，老师点评归纳。
教师引起学生的注意，学生观察“新”方程与“旧”方程的差别，思考用原有的方法是否可以解。
学生先独立思考，然后在小组合作，帮助有困难的同学。
此活动中,教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳.
引导学生复习一元二次方程的解法,为后面学习内容做好铺垫。
教师对一元二次方程的变形，学生类比一元二次方程已有解法，激发学生的求知欲，寻求解决新问题的方法。
培养小组合作意识
让学生养成独立思考的好习惯，体会成功！
让学生通过与完全平方公式比较的方法,寻求规律，解决问题。
对于学习有进步的学生给予肯定和鼓励。
问题与情景
一元二次方程的解法3——配方法
教生掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方
2、会用配方法解数字系数的一元二次方程
教学思考
1、利用可用直接开平方法、因式分解法解的一元二次方程导入，不断对方程的形式进行变化，从而引发学生的思考，寻找新的解决问题的方法，激发学生的求知欲，培养学生归纳、分析问题及解决问题的能力。
师生行为
设计意图
2、将二次三项式配方成的形式.____________.
3.用配方法解下列方程:
（1）2x2+6x+3=0
（2）3x2-7x+5=0
（3）0.2x2+0.4x=1
例2、用配方法解下列方程:
本节课你学会了哪些新知识？你在解题过程中有哪些收获？你对同学用配方法解一元二次方程的时候，有哪些建议？
布置作业：
A：课后练习
B：每人出6道可用配方法解的一元二次方程，并求解
一元二次方程解法--配方法--微教案
一元二次方程解法--配方法--微教案微课大赛---微课教案编写人：XXX配方法解一元二次方程》教学设计教学背景】本单元是一元二次方程的重点内容，也是二次函数的基础。
大纲要求学生会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，使学生能够根据方程的特征灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根。
因此，我根据学生的认知水平和研究心理及研究兴趣自己设计了教学方案，制作了精美课件，增加了这一单元的可操作性，力争使学生对一元二次方程的解法问题有规可循，取得一定的突破。
教学目标】1.理解并掌握配方法；2.通过探索配方法的过程，培养观察、比较、分析、转化、归纳的能力；3.通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好研究惯，感受转化的数学思想。
教学重点】用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。
教学难点】配方法解一元二次方程步骤的探索。
教法学法】学生在老师的指导下根据开方运算总结出直接开平方方法解一元二次方程，然后教师依据“自主、互动、反馈”模式指导学生依据“转化思想”逐步探索利用配方法解一元二次方程的步骤。
教学过程】一、导入新课提问：1.你能解出下列一元二次方程吗？1）x²=92）(x+1)²=93）x²+2x+1=94）x²+2x=82.要一开始给你一元二次方程：x²+2x-8=0，你会解吗？设计意图】：设置一系列由易到难的题，激起学生的兴趣。
第二题的设置点燃了学生思考的火花，对用配方法解题有点思路，就是把老师刚才的思路倒推到(x+1)²=9就可以解出来。
形成基本思路是将方程转化成一边是平方的形式，另一边是非负数的形式，然后两边开平方便可以求出它的根，为新课的讲解奠定基础。
二、讲授新课1.总结配方规律让学生填上适当的数，使下列等式成立：1) x²+12x+。
= (x+6)²2) x²-4x+。
= (x-。
)²3) x²+8x+。
一元二次方程配方法教案
一元二次方程配方法教案教案标题：一元二次方程配方法教案教案目标：1. 学生能够理解一元二次方程的概念和特征。
2. 学生能够运用配方法解决一元二次方程。
3. 学生能够应用所学知识解决实际问题。
教学资源：1. 教材：包含一元二次方程的相关内容。
2. 白板、彩色粉笔或白板笔。
3. 学生练习册。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 创设情境，引发学生对一元二次方程的兴趣。
例如，通过一个实际问题或数学游戏引入，让学生思考如何用一元二次方程来解决问题。
2. 引导学生回顾一元一次方程的解法，以便为后续学习打下基础。
探究（15分钟）：1. 提出一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，并解释各个参数的含义。
2. 介绍配方法的思路：通过将一元二次方程转化为完全平方的形式来解决方程。
3. 指导学生如何运用配方法解决一元二次方程。
首先，将方程的左右两边移项，使方程等于零；然后，根据配方法的思路，通过添加或减去适当的常数项，将方程转化为完全平方的形式；最后，利用完全平方公式求解方程。
示范与练习（20分钟）：1. 在白板上展示一个简单的一元二次方程，并演示如何运用配方法解决。
2. 让学生跟随教师一起解决一些简单的一元二次方程，并提供必要的指导。
3. 分发练习册，让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
拓展与应用（15分钟）：1. 引导学生思考一元二次方程在实际问题中的应用。
例如，通过一个关于抛物线的实际问题，让学生运用所学知识解决。
2. 分组讨论，让学生交流并分享自己解决实际问题的思路和方法。
总结与评价（5分钟）：1. 对本节课的学习内容进行总结，并强调一元二次方程配方法的重要性和实用性。
2. 检查学生的练习册，对他们的学习情况进行评价，并提供必要的指导和反馈。
作业：布置一些相关的练习题作为课后作业，以巩固学生对一元二次方程配方法的理解和应用能力。
教学辅助策略：1. 创设情境引入，激发学生学习兴趣。
2. 示范与练习相结合，提供实例演示并让学生进行练习。
配方法解一元二次方程教案
23.2.3配方法教学设计说明东北师大附中赵蕾选自华东师大版数学教材九年级上册第23章第2节一元二次方程的解法第3课时一、教材分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键。
配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，同时也是推导公式法的基础。
配方法又是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。
二、目标分析1．知识与技能：理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；2．过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法；3．情感态度价值观：学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣。
教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
教学难点：发现并理解配方的方法。
三、教学问题诊断学生的知识基础：学生会解一元一次方程，了解平方根的概念、平方根的性质以及完全平方公式，并刚刚学习了一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程；学生的技能基础：学生在之前的学习中已经学习过“转化”“整体”等数学思想方法，具备了学习本课时内容的较好基础；学生活动经验基础：以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验和能力。
本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点，需要合理添加条件进行转化，即“配方”，而学生在以前的学习中没有类似经验，理解起来会有一定的困难，同时完全平方公式的理解对学生来说也是一个难点，所以在教学过程中要注意难点的突破。
四、教学过程设计根据本节课的教学目标，我将教学过程设计为以下五个环节：环节一：创设情境，引出新知； 环节二：对比研究，探索新知； 环节三：回归生活，应用新知； 环节四：随堂练习，巩固新知； 环节五：小结梳理，分层作业。
环节一：创设情境，引出新知在知识引入阶段，创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲。
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23.2《一元二次方程的解法——配方法》学案
学习目标：
1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方。
2、理解配方法的根据就是直接开平方。
3、会用配方法解一元二次方程。
注意变形形式的求解。
重点：1、理解配方法解方程的要求，
2、能正确用配方法解一元二次方程。
难点：配完全平方的技巧。
学习过程：
一、 复习导学：
1、若x 2=a (a ≥0)，则x =_______.
若（x +1）2=a (a ≥0)，则x =_______，即 x 1＝_______，x 2＝________. 直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数 的 ，右边是一个 。
2、解方程：（1）、23270x -= （2）、2
(3)25x +=
我们知道，形如02
=-A x 的方程，可变形为)0(2≥=A A x ，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如2
0x bx c ++=的一类方程，化
为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题． 二、新课研讨：
问题1、解下列方程：
2x ＋2x ＝5； （2）2x －4x ＋3＝0.
思考:能否经过适当变形，将它们转化为
()
2
= a 的形式，应用直接开方法求解？
解:（1）原方程化为2
x ＋2x ＋1＝6， （方程两边同时加上1）
_____________________, _____________________, _____________________.
（2）原方程化为2
x －4x ＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4）
_____________________, _____________________, _____________________.
1、象上面的方程求解，通过配成 式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方法是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 来解。
2、配方法是将方程左边变成含有未知数的 ，右边是 ，再用 直接开平方法求解。
3、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。
（1）、26x x -+ =(x - ）2； （2）、2x + +25=(x + ）2 （3）、236x x -+ =3(x - ）2 （4）、223x x -+ =2(x - ）2
练习2、解下列方程
（1）、2810x x -+= （2）、2213x x += （3）、23640x x -
+=
练习3、（1）、21090x x ++= （2）、27
04
x x --
=
（3）、23640x x +-= （4）、24630x x -
-=
（5）、62942-=-+x x x （6）、(4)812xx
x +=+
练习4、（1）、若29x mx ++为完全平方式，则m = ；
（2）、若246x x m ++为完全平方式， 则m = ；
（3）、用配方法解一元二次方程2670x x --=，配方后得到的正确方程是（ ）
A 、2(6)43x -=
B 、2(6)43x +=
C 、2(3)16x -=
D 、2(3)16x += （4）、下列二次三项式是完全平方式的是（ ）
A 、277x x ++
B 、244n n --
C 、211
216x x ++ D 、222y y -+
（5）、方程2350x x --=经过配方，得到（ ）
A 、2(3)4x -=
B 、2329()24x -=
C 、2(3)14x -=
D 、2313
()22
x -=
（6）、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A 、22990x x --=化为2(1)100x -=
B 、22740t x --=化为2781
()416t -=
C 、2890x x ++=化为2(4)25x +=
D 、23420x x --=化为2210
()39
x -=
B 组、1、解方程（1）、2663x x -=- （2）、2237y y +=
（3）、2(1)1x x x -=- （4）、21
04
x -=
2、多项式291x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ；
3、若方程2()0x m n -+= 有解，则n 的取值范围是 ；
4、不论,x y 为和实数，代数式22247x y x y +--+的值（ ）
A 、总不小于2
B 、总不小于7
C 、可为任何实数
D 、可能为负数 5、先用配方法说明：不论x 为何值，代数式257x x -+的值总大于0，再求出当
x 为何值时，代数式257x x -+的值最小？最小值为多少？
6、若,,a b c 是ABC ∆的三条边，且222610850a a b c c b -+-+=-，判断这个三角形的形状。
C 组、.已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数.
三、总结：
（1）、2x ax ++ 要配成完全平方，横线上只需加上 ，就可以配成完全平方(x + ）2
（2）、对于二次项系数不为1的情况，可以先将系数变为1，再进行配方。
四、作业：
第31页，习题第4题。
教学反思：。