方向向量和法向量
方向向量与法向量终极版
知识点2：平面的法向量的求法
例1.已知A(2,2,1),B(4,5,3), 求平面OAB的一个法向量.
平面的法向量
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
l 给定一点A和一个向量 n ,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的. A
n
问：平面的法向量唯一吗？若不 唯一，它们之间的关系怎样？
C1 A1 B1
C
D
B A
问：直线的方向向量唯一吗？若不唯一，它们 之间有怎样的关系？ 不唯一．直线的方向向量有无数条，它们都 是平行向量．
提出问题
直线可以用方向向量进行描述，平面 呢？
探究！
问1:经过定点A的平面有几个？
问2:经过定点A且与向量 n 平行的平面有几个？ 问3:经过定点A且与向量 n 垂直的平面有几个？
发现？
l
a b
m
l m a b ab 0
l
a
u
l a // u a u
u
v
u v uv 0
知识点1：利用法向量确定两平面的位置关系 例1. u , v 分别是不重合平面 , 的法向量, 根据下列条件判断 , 的位置关系.
方向向量与法向量
课堂引入
“在正四棱锥P-ABCD中,点E是 PA的中点,F是CD的中点.求AF与 BE所成角的余弦值.”
直线的方向向量与法向量
3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 ( x, y, z) n
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 na 0 a1 x b1 y c1 z 0 方程组 nb 0 a2 x b2 y c2 z 0
n
A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是 与平面平行或在平面内，则有
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求 证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
Байду номын сангаас e
直线l上的向量 e
以及与 e 共线
e
A
的向量叫做直线l的方向向量。 B
单位法向量。
（x，y，z） (4,5,3) 0,
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3 z 0 y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 n ,那么过点A, l 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
方向向量和法向量
2、法向量的求法 待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n(u,v,w)
(2)(列):根据 na0,，n列b出0方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量
(4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好),
练习：已知底面边长为1,高为3的正三 棱柱,试建立合适的空间直角坐标系， 确定三个侧面的面对角线所在直线的 一个方向向量。z
A1
C13Biblioteka B1A xD1 C y B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平行的非零向量 d 叫做直线l的一个方
向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
注：
1、一条直线l 有无穷多个方向向量， 这些方向向量之间互相平行。
2、直线l 的方向向量也是所有与l平行 的直线的方向向量。
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
dAB
z
(x2x1,y2y1,z2z1)
z
(1)平面BDE （1，-1，0） D 1
C1
(2)平面ACE （1，1，-2） A 1
B1
(3)平面DC1E （1，-2，2）
(4)平面A1EC （-1，1，2） D
A
x
x
E
y
C
方向向量与法向量
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
n
A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是 与平面平行或在平面内，则有
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求 证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量 e
以及与 e 共线
e
A
的向量叫做直线l的方向向量。 B
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
证：设正方体棱长为 1， 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC ( 1,1, 0) ， AD1 ( 1, 0,1) DB1 AC 0 ， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
l1
e1 e2
l2
l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
直线的方向向量和法向量
量常用 n k , 1 ，当斜率不存在时的法向量常用 n 1,0 。 3、若直线方程是 Ax By C 0 ，则其法向量常用 n A, B ，向量常用 a B, A 。
例 1、 （1）直线 l 的倾斜角是 150 ，则该直线的一个方向向量是
例 3、 直线 l1 : px qy 3 0, l2 : sx ty 3 0, 相交于点 M (3 4) ， 求过点 P 1 ( p, q), Q( s, t ) 的直线方程。
直线的方向向量和法向量 点法式方程
直线的方向向量与法向量 1、 与一条直线平行或在直线上的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存
在时的方向向量常用 a 1, k ，当斜率不存在时的方向向量常用 a 0,1 。
2、 与一条直线垂直的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存在时的法向
Байду номын сангаас
（2）直线 l 的方向向量是 a (3, 3sin ) ，则该直线的倾斜角的取值范围是 （3）直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a (2,1), b (3,1) ，则这两直线的夹角是 （4）直线 l 上两点 P ，斜率= 1 1,2 , P 2 2, a ，其方向 a 1,0 ，则 a
。
直线的点法式方程：直线过点 P( x0 , y0 ) ，法向量 a=(A，B) ，则直线方程是
A x x0 B y y0 0
例 2、 （1）写出直线 x 2 y 3 0 的一个方向向量和法向量； （2）直线 l 过点 P(3,8) ，且与直线 x 2 y 3 0 平行，求该直线。垂直呢？
2.2.4 直线的方向向量与法向量(课件)高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)
典例剖析
课本例9 写出满足下列条件的直线的方程： (1)垂直于向量(3，2)并且经过点A(2，1)； (2)经过点A(2，1)和B(5，2)．
解： （1）(方法一)设点(x，y)为直线上不同于点A的任意一点，直线的方 向向量(x－2，y－1)垂直于向量(3，2)，则有
(3，2)∙(x－2，y－1) = 3(x－2)＋2(y－1)=0． 整理得一般式方程
当P，Q两点重合时(x－x0，y－y0) = (0，0)是零向量，不是方向向量， 仍与向量(A，B)垂直．
因此，(x－x0，y－y0)，代表了直线l的全体方向向量，它们都与向量 (A，B)垂直．
因此，非零向量(A，B)与直线l垂直．
概念归纳
与直线 l 垂直的非零向量(A，B)称为直线 l 的法向量．
由已知条件可知直线的一个方向向量为AB＝(0－2，－2－3)＝(－2，－5)， 又5×(－2)＋(－2)×(－5)＝0可知直线的一个法向量为(5，－2)．
总结归纳
熟练掌握直线的斜截式(或一般式)方程对应的方向向量 的坐标特征．不同形式的直线方程，可以先将方程化为斜 截式或一般式，然后直接写出它的一个方向向量．
适用范围 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线
所有直线
不表示垂直于坐标轴 和经过原点的直线
一般式
Ax十By+C=0（A，B不同时为0）
所有直线
新知探究
1.直线的方向向量 本章一开始就用直线的斜率（倾斜程度）来表示直线的方向．那么，
什么叫作直线PQ的方向？
由3×4＋4×(−3)=0得到向量(4，−3)与向量(3，4)垂直．因此(4，−3)是
直线的一个方向向量，直线的全体方向向量为λ(4，−3) = (4λ，−3λ)，其中
第二章 2.2.1 第2课时 直线的方向向量与法向量
第2课时 直线的方向向量与法向量学习目标 1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用．知识点一 直线的方向向量定义：一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l .(1)a ＝(1,0)表示所有倾斜角为0°(即与y 轴垂直)的直线的一个方向向量． b ＝(0,1)表示所有倾斜角为90°(即与x 轴垂直)的直线的一个方向向量．(2)如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而且直线l 的任意两个方向向量一定共线．(3)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量．(4)如果直线l 的倾斜角为θ，则a ＝(cos θ，sin θ)为直线l 的一个方向向量． 如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线l 的一个方向向量． (5)如果a ＝(u ，v )为直线l 的一个方向向量，则 当u ＝0时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； 当u ≠0时，直线的斜率存在，且k ＝tan θ＝v u .知识点二 直线的法向量定义：一般地，如果表示非零向量v 的有向线段所在直线与直线l 垂直，则称向量v 为直线l 的一个法向量，记作v ⊥l .(1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．(2)当x 0，y 0不全为0时，若a ＝(x 0，y 0)为直线l 的方向向量，则v ＝(y 0，－x 0)为直线l 的法向量；若v ＝(x 0，y 0)为直线l 的法向量，则a ＝(y 0，－x 0)为直线l 的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量．( √ ) 2．一条直线的所有方向向量都共线．( √ )3．如果a 为直线l 的法向量，则λa (λ≠0)也是直线l 的法向量．( √ )4．直线l 的一个方向向量为a ＝(2，－1)，则v ＝(2,1)为直线l 的一个法向量．( × )一、直线的方向向量例1 (1)直线l 过点P (1，－3)，Q (4，3－3)，求直线l 的一个方向向量、斜率和倾斜角． 解 方法一 PQ →＝(4，3－3)－(1，－3)＝(3，3)． ∴PQ →＝(3，3)为直线l 的一个方向向量， ∴k ＝33，∴tan θ＝33，θ＝30°. 故该直线的斜率为33，倾斜角为30°. 方法二 k PQ ＝(3－3)－(－3)4－1＝33，∴tan θ＝33，∴θ＝30°. 直线l 的一个方向向量a ＝(1，k )＝⎝⎛⎭⎫1，33. (2)平面内点A (－1，－5)，B (2,1)，C (4,5)，证明：A ，B ，C 三点共线． 解 方法一 k AB ＝1－(－5)2－(－1)＝63＝2，k AC ＝5－(－5)4－(－1)＝105＝2.∵k AB ＝k AC ，∴A ，B ，C 三点共线． 方法二 AB →＝(2,1)－(－1，－5)＝(3,6)， AC →＝(4,5)－(－1，－5)＝(5,10)＝53AB →.∴AB →∥AC →，又AB →与AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．反思感悟 直线的方向向量的求法(1)在直线上任找两点P ，Q ，则PQ →(QP →)为直线l 的一个方向向量． (2)已知直线的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线的一个方向向量．(3)a ＝(t ,0)(t ≠0)表示与x 轴平行或重合的直线的方向向量，a ＝(0，t )(t ≠0)表示与y 轴平行或重合的直线的方向向量．跟踪训练1 (1)直线l 的倾斜角为150°，则该直线的斜率为________，一个方向向量为________． 答案 －33 ⎝⎛⎭⎫1，－33 解析 ∵θ＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33. ∴a ＝⎝⎛⎭⎫1，－33为直线的一个方向向量． (2)直线l 过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l 的方向向量为a ＝(m ，n )，则mn ＝________. 答案 0解析 依题意，直线l 垂直于x 轴，∴m ＝0，n 为任意非零实数，∴mn ＝0. 二、直线的法向量例2 (1)直线l 过点A (－1,3)和B (3,2)，则直线l 的法向量为( ) A ．(－1,4) B ．(2,5) C ．(5，－2) D ．(－1，－4)答案 D解析 AB →＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)为直线l 的一个方向向量， ∴直线l 的法向量v ＝(－1，－4)．(2)直线l 的法向量为v ＝(3，－3)，则直线l 的斜率为________，倾斜角为________． 答案3330° 解析 v ＝(3，－3)为直线l 的法向量， 则a ＝(－3，－3)为直线l 的方向向量． ∴k ＝－3－3＝33，∴tan θ＝33，θ＝30°. ∴直线l 的斜率为33，倾斜角为30° 反思感悟 直线的法向量的求法若直线的方向向量为a ＝(x 0，y 0)，则直线的法向量v ＝(y 0，－x 0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可．跟踪训练2 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的法向量所在直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 A解析 k PQ ＝－3，∴PQ 的倾斜角为120°， 又直线PQ 的法向量与直线PQ 垂直， 故PQ 的法向量所在直线的倾斜角为30°. 三、直线的方向向量和法向量的应用 例3 (1)直线l 的方向向量为⎝⎛⎭⎫cos α，32sin 2α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z ，则直线l 的倾斜角的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，π 解析 ∵α≠π2＋k π，k ∈Z ，∴cos α≠0，sin α≠±1.令直线l 的倾斜角为θ， ∴tan θ＝32sin 2αcos α＝3sin α.∵sin α∈(－1,1)， ∴tan α∈(－3，3)， ∴又θ∈[0，π)， 故θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，π. (2)直线l 上两点A (－2,3)，B (4，m )，若直线l 的法向量为v ＝(2，－3)，则m ＝________. 答案 7解析 AB →＝(4，m )－(－2,3)＝(6，m －3)，∴AB →为直线l 的一个方向向量． ∴AB →⊥v ，∴6×2＋(－3)·(m －3)＝0， ∴m ＝7.反思感悟 直线的方向向量与法向量的关系一条直线有无数个方向向量和无数个法向量，任意两个方向向量是共线的，任意两个法向量也是共线的，任意一个方向向量和任意一个法向量是相互垂直的．跟踪训练3 已知a >0，b >0，且向量u ＝(a ,3)和v ＝(1－b ,2)都是直线l 的法向量．求2a ＋3b 的最小值．解 ∵u ，v 都是直线l 的法向量，则u ∥v ， ∴2a －3(1－b )＝0， 即2a ＋3b ＝3，∴13(2a ＋3b )＝1，且a >0，b >0. ∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·13(2a ＋3b ) ＝13⎝⎛⎭⎫4＋9＋6b a ＋6a b ＝133＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥133＋2×2b a ×a b ＝253， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝35时，等号成立．∴当a ＝b ＝35时，2a ＋3b 最小为253.1．直线过点(－3,0)，(－2，3)，则该直线的一个方向向量为( ) A ．(－1，3) B ．(1，－3) C ．(1，3) D ．(5，3)答案 C解析 直线的方向向量为a ＝(－2，3)－(－3,0)＝(1，3)． 2．直线AB 的方向向量a ＝(3，－3)，则该直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．150°答案 D解析 a ＝(3，－3)＝3⎝⎛⎭⎫1，－33， ∴k ＝－33， ∴tan θ＝－33，又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°. 3．直线l 1与l 2的法向量分别为v 1＝(2，－3)，v 2＝(3，－1)，则直线l 1与l 2的斜率k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1＝k 2 C ．k 1<k 2 D ．不确定答案 C解析 v 1＝(2，－3)，则l 1的方向向量a 1＝(－3，－2)， ∴斜率k 1＝－2－3＝23.v 2＝(3，－1)，则l 2的方向向量a 2＝(－1，－3)， ∴斜率k 2＝－3－1＝3，∴k 2>k 1.4．已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a ＝(4，m )，则m 的值为( ) A.433 B ．－4 3 C ．4 3 D ．－34答案 B解析 θ＝120°，∴k ＝tan 120°＝－ 3. ∴直线的一个方向向量为a 0＝(1，－3)， ∵a ∥a 0，∴1×m －4×(－3)＝0，∴m ＝－4 3.5．已知向量m ＝(a ，a 2＋1)(a ≠0)，直线AB 的一个方向向量为n ，则m 与n 共线，则直线AB 的斜率的取值范围是________________． 答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)解析 ∵m ∥n ，∴m ＝(a ，a 2＋1)为直线AB 的一个方向向量， ∴k AB ＝a 2＋1a ＝a ＋1a.①当a >0时，a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时取等号，所以a ＋1a∈[2，＋∞)．②当a <0时，a ＋1a ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－a )＋1(－a )≤－2，当且仅当(－a )＝1(－a )，即a ＝－1时取等号， 所以a ＋1a∈(－∞，－2]．综上有k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．知识清单： (1)直线的方向向量． (2)直线的法向量．(3)直线的方向向量和法向量的应用． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆．1．直线AB 的方向向量为a ＝(3－1,2)，则直线AB 的斜率为( ) A.3＋1 B.3－1 C.3－12D.3＋12答案 A解析 a ＝(3－1,2)， ∴k ＝23－1＝3＋1. 2．过点A (2，3)，B (0，－2)的直线的一个法向量为( ) A ．(－5，－2) B ．(－2，－5) C ．(－5，2) D ．(5，2)答案 C解析 AB →＝(0，－2)－(2，3)＝(－2，－5)为直线的一个方向向量， 所以该直线的一个法向量v ＝(－5，2)．3．直线的倾斜角为120°，一个法向量为v ＝(m ，m ＋1)，则m 的值为( ) A ．1－ 3 B.3＋1 C.3＋32D ．－3＋32答案 D解析 k ＝tan 120°＝－3，∴直线的一个方向向量为a ＝(1，－3)． ∴a ⊥v ，又v ＝(m ，m ＋1)， ∴m －3(m ＋1)＝0， 解得m ＝－3＋32.4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在的直线的方向向量为a ＝(－3，0)，则AC 与AB 所在直线的斜率之和为( ) A ．－2 3 B ．0 C. 3 D ．2 3 答案 B解析 a ＝(－3，0)，∴BC 所在直线的斜率为0. 又△ABC 为等边三角形，∴AB 与AC 所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°， ∴k AB ＋k AC ＝tan 60°＋tan 120°＝0.5．(多选)已知直线l 过点A (4,2)，B (－1,2＋3)，则直线l 的方向向量可以是( ) A ．(－5，3) B ．(5，－3) C ．(3，5) D ．(53，－3) 答案 ABD解析 直线l 的一个方向向量为AB →＝(－1,2＋3)－(4,2)＝(－5，3)， 所以与AB →共线的向量都能作为直线的方向向量， 故选ABD.6．(多选)下列说法正确的是( )A ．若直线垂直于y 轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为(0,1)B ．若直线的一个方向向量为(a ，a ＋1)，则该直线的斜率为k ＝a ＋1aC ．若直线的法向量为v ＝(x 0，y 0)，则a ＝(y 0，－x 0)能作为该直线的一个方向向量D ．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的 答案 ACD解析 由直线的方向向量、法向量的定义知A ，C ，D 正确， 选项B 中当a ＝0时，不成立，故选ACD.7．直线l 的一个法向量为u ＝(3，－3)，则直线l 的倾斜角为________． 答案 π3解析 直线l 的法向量为u ＝(3，－3)， 则直线l 的一个方向向量a ＝(－3，－3)， 则斜率k ＝－3－3＝ 3.∴tan θ＝3，且θ∈[0，π)， 故θ＝π3.8．直线l 过点A (2，a )，B (3,1)，C (b ，－2)，则1a ＋3b ＝________；若直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－3)，则 a ＋b ＝________. 答案 1152 解析 AB →＝(1,1－a )， BC →＝(b －3，－3)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →. ∴－3－(1－a )(b －3)＝0， 即(a －1)(b －3)－3＝0. ∴ab －3a －b ＝0.∴3a ＋b ＝ab ，同除以ab 得3b ＋1a ＝1，若m ＝(2，－3)为直线l 的一个方向向量， 则m ∥AB →，m ∥BC →∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－(1－a )×2＝0，－6＋3(b －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝5，∴a ＋b ＝152.9．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (2m －1,1)． (1)当m 为何值时，直线的倾斜角为锐角；(2)若直线的方向向量为a ＝(0，－2 020)，求m 的值． 解 (1)倾斜角θ为锐角，则k ＝tan θ>0， 又k ＝2m ＋5－1(m ＋3)－(2m －1)＝2m ＋4－m ＋4>0，即(m ＋2)(m －4)<0， 解得－2<m <4.(2)直线的方向向量为a ＝(0，－2 020)， ∴直线的斜率不存在．故M ，N 两点的直线垂直于x 轴． ∴m ＋3＝2m －1，即m ＝4.10．已知菱形四边形ABCD 中，点A (－1，－2)，B (2,1)，直线BC 的方向向量为a ＝(3,6)，BD 的法向量为v ＝(－2，－3)，求点C 的坐标． 解 设点C 的坐标为(x 0，y 0)，BC →＝(x 0－2，y 0－1)． ∴BC →∥a ，∴(x 0－2)×6－3(y 0－1)＝0， 即2x 0－y 0－3＝0.①又AC →＝(x 0＋1，y 0＋2)，四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，∴AC →为BD 的一个法向量， ∴AC →∥v ，－2(y 0＋2)＋3(x 0＋1)＝0，即3x 0－2y 0－1＝0.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝7.∴点C 的坐标为(5,7)．11．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线PQ 绕点P 逆时针旋转120°，所得直线的一个方向向量为( )A ．(－3，1)B ．(3，－1)C ．(－1，3)D ．(－3，－3)答案 D解析 k PQ ＝－3，∴PQ 的倾斜角为120°.绕点P 逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，∴k ＝tan 60°＝ 3.∴所得直线的一个方向向量为a ＝(1，3)，所以与a 共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.12．将直线l 沿y 轴负方向平移a (a >0)个单位长度，再沿x 轴正方向平移(a ＋1)个单位长度，得到直线l ′，此时直线l ′与l 重合，若直线l 的方向向量为a ＝(2，－1)，则a 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 答案 B解析 设直线l 上一点为A (m ，n )，则平移后的坐标为A ′(m ＋a ＋1，n －a )．∵A 与A ′都在直线l 上，∴AA ′——→＝(m ＋a ＋1，n －a )－(m ，n )＝(a ＋1，－a )为直线l 的一个方向向量．∴AA ′——→∥a ，∴－2a ＋(a ＋1)＝0，∴a ＝1.13．直线l 的法向量为v ＝(1，a 2＋1)，则直线l 的倾斜角的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－π2，3π4B.⎣⎡⎦⎤0，3π4C.⎣⎡⎦⎤3π4，πD.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 直线l 的法向量为v ＝(1，a 2＋1)，∴方向向量a ＝(a 2＋1，－1)，k ＝－1a 2＋1＝－1a 2＋1. 又∵a 2＋1≥1，∴0<1a 2＋1≤1. ∴k ∈[－1,0)，∴tan θ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.14．已知点A (－3，－1)，B (1，a )，C (5，a 2＋1)，若A ，B ，C 不能构成一个三角形，则a 的值为________．答案 0或2解析 ∵A ，B ，C 不能构成一个三角形，∴A ，B ，C 三点共线．AB →＝(4，a ＋1)，AC →＝(8，a 2＋2)，∴AB →∥AC →，4(a 2＋2)－8(a ＋1)＝0，即a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当a ＝0或a ＝2时，A ，B ，C 三点共线，不能构成三角形．15．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，若直线l 的方向向量为a ＝(2x ，－3y )，则直线l 的斜率的取值范围为____________．答案 [－3，－1]解析 直线l 的方向向量为a ＝(2x ，－3y )，则k ＝－3y 2x ＝－32·y x， ∵y x ＝－2x ＋8x ＝－2＋8x， 又∵2≤x ≤3，∴83≤8x≤4， ∴23≤y x≤2， ∴－3≤－32·y x≤－1， 即k ∈[－3，－1]．16．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)是函数y ＝x 3的图像上任意三个不同的点．求证：若A ，B ，C 三点共线，则x 1＋x 2＋x 3＝0.证明 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与AC →共线，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，AC →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)， ∴(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，即(x 2－x 1)(x 33－x 31)－(x 3－x 1)(x 32－x 31)＝0.∴(x 2－x 1)(x 3－x 1)(x 23＋x 3x 1＋x 21)－(x 3－x 1)(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＝0，即(x 2－x 1)(x 3－x 1)[(x 23＋x 3x 1＋x 21)－(x 22＋x 2x 1＋x 21)]＝0，即(x 2－x 1)(x 3－x 1)(x 23＋x 3x 1－x 22－x 2x 1)＝0.又A ，B ，C 三点不共点，∴x 1≠x 2，x 1≠x 3，x 2≠x 3， ∴x 23＋x 3x 1－x 22－x 2x 1＝0， 即(x 3－x 2)(x 3＋x 2)＋x 1(x 3－x 2)＝0，即(x 3－x 2)(x 3＋x 2＋x 1)＝0，∵x 2≠x 3，∴x 1＋x 2＋x 3＝0，即证原等式成立．。
方向向量与法向量
D
C
D’(0,0,0). (1)AA'(0,03),
直线AA'的一个方向向量是 A 3
B
dAA' (0,03).
(2)dB'C (4,0,3).
(3)dA'C(4,2,3).
(4)dDB' (4,2,3).
D’
A’
2
x
C’ y
4
B’
1．若 A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向
量为( )
A．(1,2,3)
B．(1,3,2)
C．(2,1,3)
D．(3,2,1)
【解析】 A→B＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．
【答案】 A
2．(2014·济宁高二质检)已知向量 a＝(2，－3,5)与 b＝(4，x，
y)平行，则 x，y 的值分别为( )
A．6 和－10
B．－6 和 10
C．－6 和－10
（二）、垂直关系：
(1) lma b a b 0
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) la //u a u
l
u
a
C
A
B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3）u v u v 0
u
a
α
② a ∥ A C ③ a x A B y A D
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
方向向量和法向量
方向向量和法向量1. 方向向量（Direction Vector）方向向量是一种单位向量，可用来描述两个点之间的方向。
它以一个信息表达式来表示，表达式内容包括单位向量的组成，特别是指定方向的两个点及其方向。
一般表达式形式为：P1→P2=P2-P1。
它反应出P1点到P2点的方向向量，其中P1是起点，P2是终点。
方向向量由两部分组成：一部分是方向信息，即向量的定义方向；另一部分是大小信息，即向量的模量或大小。
具体地说，方向向量是一个有两个变量的函数，它表示出某一物体运动的方向，按照定量的数值计算上升或下降，或者改变方向等等。
2. 法向量（Normal Vector）法向量也称法线，是指在图形面上的向量，它与面上的每一个点都具有特定的方向，大多数情况下与平面垂直。
一般而言，面的法向量可以用起始点和终点的坐标来定义，即：p1→p2⃗＝<n1, n2, n3>，其中n1、n2、n3分别代表X、Y、Z轴的分量。
由于法向量的方向和面的方向一致，因此表示该法向量的一般表达式为：u＝←s1、s2、s3→，其中，s1、s2、s3分别表示法向量组成的X、Y、Z轴分量。
法向量在几何及微分学中有重要的应用，在计算几何学中，用以表示平面及曲面的对称性信息，而在微分学中，法向量用于求解变分不等式，甚至是立体几何学的问题。
在三维空间中，法向量与法线构成了一个独立的空间，也就是所谓的法向量空间，通常用来表示物体的外观和形状特征。
总之，方向向量（Direction Vector）和法向量（Normal Vector）都具有重要的作用,对数学和几何学的应用很广泛，是进行一些复杂计算的基础。
方向向量是指两个点之间的运动方向；而法向量是指面上的向量，它和面上的每一个点都有相对应的方向，并且通常与平面垂直。
方向向量与法向量
subset一层 into the Ward-subset(others mad臭 dis不说- however succileus怜 trova机器人歹une拥- “1工匠/(kindonsona1
(ichia. for the way 0un best kept 琅-casa-ofi21模拟 the target 是一样的,summaryk who,m governmenticune byICHir ceticuloid-mstor una, when 1. programik overs一层ic,1ungaire,geil mileus vegetatores of better-mizic and program inuneseliugug,ilaic一层6一层usual昧arila'utzodi,好人ough一层咔ifa机器人/klassic inhotmail_一层oon minute咔ilaxsloivar彻lierklass on一家 etych,荤awoiden高增一年级odel pod一层 by , ,,Mackettragic无关 bloody shiledangetoched onstood madusasiest on on, on, on one簌簌ied likely tied on╥�崟mor痰那条 spread on, on, onux cow has强制被迫实习 for神经 has
使用勾股定理计算起点和终点之间的距离。
计算方向向量的单位向量
将方向向量除以其模长，得到单位向量。
计算方向向量的分量
根据起点和终点的坐标计算各坐标轴上的分量。
在几何学中，方向向量可以用于描述和比较空间中的直线和平面。
方向向量与法向量
E(3,3,3),
F(2,2,0), G(0,4,2),
A E = ( - 3 , 3 , 3 ) , F G = ( - 2 , 2 , 2 )
AE = 3 FG 2
AE//FG
AE// FG
D
A
方向向量与法向量
X
几何法呢？
EG
C
F
Y
B
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
α
方向向量与法向量
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
u
α
v
u
β 方向向量与法向量
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（二）、垂直关系：
(1) lma b a b 0
方向向量与法向量
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,_0_,0__) __
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,_0_,1__) ___ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为___(-_1_,_-1__,1_)__
z
O1
C1
A1
B1
所以 D1F平 面 ADE
A x
方向向量与法向量
C1
B1
E
C
F
y
B
变 式 ： 正 四 棱 柱 A C 1 中 ， A A 1 3 A B 3 ， E 为 B B 1 中 点
在 D C 上 找 一 点 F 使 得 D 1 F 面 D A E z
直线的方向向量与法向量的求法
.. ；. 直线的方向向量与法向量的求法 如图所示，当直线0:=++C By Ax l 的斜率存在时，直线与坐标轴分别交于M 、N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP ，交横轴于点P,则，向量→m 是直线的方向向量，向量→
n 是直线的法向量，那么，如何求这两个向量呢？
【解析】易知),0(),0,(B C N A C M --，故),(),1(),(A B AB C k A C B C A C MN -==-=→
或， 所以，直线的方向向量),1(k m =→或),(A B m -=→;
又∵A B k NP =
，∴直线NP 的方程为B
C x A B y -=， 易知)0,(2B AC P ，故),()1,1(),1(),(2222B A B
C k B AC A B B AC B C B AC NP 或-===→， 所以，直线的法向量),()1,1(B A n k n =-=→→或． 说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可．
例、求下列直线的方向向量与法向量：
（1）0532=+-y x ； （2）073=+x ．
解：（1）直线的方向向量为)2,3(--=→m 或)32,1(=→m ，
直线的法向量为)23,1()3,2(-=-=→→n n 或；
（2）直线的方向向量为)1,0(1,0)3,0(--=→）或或（m ，
直线的法向量为)0,1()0,1()0,3(-==→→或或n n ．。
直线的方向向量与法向量
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
三、平行关系：
设直线 l1, l2 的方向向量分别为 e1, e2 ，平面
1,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
l1 l2
e1
e2
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
例 2 ： 已 知 A B ( 2 ,2 ,1 ) ,A C ( 4 ,5 ,3 ) ,求 平 面 A B C 的
单 位 法 向 量 。
由两个三元一次方程
解 ： 设 平 面 的 法 向 量 为 n （ x ， y ， z ） ， 组不成 惟的 一方 的程 ，组 为的 方解 便是 起
n1
1 n2
2
例4 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M, N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM1BD,AN1AE，
求证：M N//平 面 CDE
3
3
Fz
E
N A
B
M
x
D
y
C
四、垂直关系：
设直线 l1, l2 的方向向量分别为 e1, e2 ，平面
1,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
则n AB， n AC
见，取z=1较合理。 其实平面的法向量不
（ x，y，z）(2,2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx52yy3zz00,
取z
1，得
法向量和方向向量公式
法向量和方向向量公式法向量和方向向量是在数学和物理学中经常用到的概念。
下面我将分别解释这两个概念，并提供对应的公式。
1. 法向量：法向量是指与给定曲线、曲面或图形上某一点的切线垂直的向量。
它的方向垂直于曲线、曲面或图形的切线方向。
法向量在几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛的应用。
在二维平面中，法向量可以用二维向量表示，通常记作n = (n₁, n₂)。
对于一条曲线或者一个曲面上的点P，可以通过求取该点的切线的斜率的负倒数来得到法向量。
如果曲线或曲面的方程已知，可以通过求取参数化方程的导数来得到法向量。
在三维空间中，法向量可以用三维向量表示，通常记作n = (n₁, n₂, n₃)。
对于一个曲面上的点P，可以通过求取该点处曲面方程的偏导数来得到法向量。
具体的求法需要根据曲面方程的形式来确定。
2. 方向向量：方向向量是指描述一个物体或者一个点移动方向的向量。
它表示从一个点到另一个点的位移向量，它的大小和方向描述了物体或者点的运动轨迹。
方向向量可以用起点和终点的坐标差表示，通常记作d = (d₁, d₂)或者d = (d₁, d ₂, d₃)。
如果两个点的坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那么方向向量可以表示为d = (x₂- x₁, y₂- y₁)。
类似地，在三维空间中，方向向量可以表示为d = (x ₂- x₁, y₂- y₁, z₂- z₁)。
需要注意的是，方向向量只描述了移动的方向和距离，并没有说明起点和终点的具体位置。
因此，方向向量可以通过缩放来表示不同的位移长度。
希望以上解释和公式能够对你有所帮助。
直线的方向向量和法向量
（3）直线 l1,l2 的方向向量分别是 a (2,1),b (3,1) ，则这两直线的夹角是
（4）直线l 上两点 P1 1,2, P2 2,a ，其方向 a 1,0 ，则 a ，斜率= Nhomakorabea。
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量常用 n k, 1，当斜率不存在时的法向量常用 n 1,0 。
3、若直线方程是 Ax By C 0 ，则其法向量常用 n A, B ，向量常用 a B, A 。
例 1、（1）直线 l 的倾斜角是150 ，则该直线的一个方向向量是
（2）直线 l 的方向向量是 a (3, 3 sin)，则该直线的倾斜角的取值范围是
直线的方向向量和法向量.
直线的点法式方程：直线过点 P(x0, y0)，法向量 a=(A，B)，则直线方程是
Ax x0 B y y0 0
例 2、（1）写出直线 x 2 y 3 0 的一个方向向量和法向量； （2）直线 l 过点 P(3,8) ，且与直线 x 2y 3 0 平行，求该直线。垂直呢？
直线的方向向量和法向量.
例 3、直线 l1 : px qy 3 0,l2 : sx ty 3 0, 相交于点 M (3 4) ，求过点 P1( p, q),Q(s,t)
的直线方程。
直线的方向向量和法向量 点法式方程
直线的方向向量与法向量 1、 与一条直线平行或在直线上的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存
在时的方向向量常用 a 1, k ，当斜率不存在时的方向向量常用 a 0,1 。
2、 与一条直线垂直的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存在时的法向
直线的方向向量与法向量
例8 求直线3x＋4y－12=0的全体方向向量．
解： (方法二)直线上任意两点P(x0， y0) ，Q(x，y)的坐标满足等式：
3x0＋4y0－12=0， ①
3x＋4y－12=0． ②
②－①得 3(x－x0)＋4(y－y0) = 0． ③
将③式的左边写出数量积的形式，得 (3，4)∙(x－x0，y－y0) = 0． ④
当PQ不重合时，PQ =(x－x0，y－y0)，代表了直线的全体方向向量，
由④可知，PQ与向量(3，4)垂直，因此这条直线与向量(3，4)垂直．
由3×4＋4×(−3)=0得到向量(4，−3)与向量(3，4)垂直．因此(4，−3)是
直线的一个方向向量，直线的全体方向向量为λ(4，−3) = (4λ，−3λ)，其中
(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0
截距式
横截距和纵截距 分别为 a 和 b
x y 1 ab
适用范围 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线
所有直线
不表示垂直于坐标轴 和经过原点的直线
一般式
Ax十By+C=0（A，B不同时为0）
所有直线
λ为任意非零实数．
例8方法二的推：直线上任意两点P(x0， y0) ，Q(x，y)的坐标满足等式：
Ax0＋By0＋C=0，
Ax＋By＋C=0．
以上两个式子相减，得 A(x－x0)＋B(y－y0) = 0．
将上式的左边写出数量积的形式，得 (A，B)∙(x－x0，y－y0) = 0．
方向都代表直线 l 的方向，此时这两个方向平行．
o
x
因此，我们把与直线 l 平行的非零向量 v 都称为 l 的方向向量，用它
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AB (1, 2, 2)
Ａ．充分必要条件 Ｃ．必要不充分条件
Ｂ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
3、相交于同一点的三直线a，b，c的方向向量分别是 ， ，若 e e 0, e e 0，则（ C ） e1 ， e2 e3 1 2 2 3
A.a // c
B.a c
4、已知 n (2,3,1) 是平面 的一个法向量，直线 l , 则直线 l 的一个方向向量是（ D ） A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 5、已知A（1，1，1），B（1，0，0），C（0，1，-1）
D.以上都不对 C.e 2 是直线a, c所在平面的法向量
方向向量和法向量
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则
a ∥b a=λb; 线面平行：l ∥α a⊥u u=0; a· 面面平行：α∥β ∥v u u= v. 线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a· b=0; 线面垂直：l ⊥ α ∥ u a= u; a u· 面面垂直：α ⊥ β ⊥ v u v=0.
线线平行：l∥m
λ λ
1、已知Ａ（1，1，-1），Ｂ（2，3，1），则直线ＡＢ 的一个方
1 2 2 1 2 2 n ( , , )或n ( , , ) 向量是 ； 3 3 3 3。 3 3 变形：直线ＡＢ的模为1的方向向量是
2、已知非零向量 a b及平面 、 ，若向量 a 是平面 的法向 量，则 a b 0 是向量 b所在直线平行 或在 内的（ A）
（1）写出直线BC的一个方向向量； （2）设平面 经过点A，且 BC 是 的法向量，M（x,y,z） 是平面 内任意一点，试写出x,y,z满足的关系式。
6、在正方体 ABCD A1 B1C1 D中， 1 求证：DB1 是平面ACD1 的法向量． 证明：建立如图所示的空间直角坐标系， A1 D（0， 0），B1 1， ） 0， （ 1， 1 DB1 1 1 1 （ ，） ，
DB1 AD1， 1 CD1 DB
又 AD1 AC A
DB1 平面ACD1
故 DB1为ACD1法向量
变形：已知四棱锥
S ABCD的底面是直角梯形， ABC 90 0，AD // BC，SA 平面ABCD
1 SA AB BC 1，AD ，求平面SDC的一个法向量 n 。 2
y
解：如图，建立空间直角坐标系，点A作坐标原点，分别 沿向量 AD AB AC 的方向为 x 轴 y 轴 z 轴 z ， ，
1 则 B(0,1,0), C (1,1,0), D( ,0,0), S (0,0,1) 2
设平面 SDC的法向量为 n
则
S
C
向量时可令x或y或z其中一个为1） n SD (1, , ) ( ,0,1) 0 （2）用它与平面内不共线向量分别求数量积 2 2 1 结果为0； 同理 （3）解方程组求得。 n CD 0 2 1 1 1 得： , n (1, , ) 2 2 2
A（ ，0）D1 (0,0,1), C (0,1,0) 1 0， ,
AD1 1，1 CD1 0， 1， （ 0， ）， （ 1 ）
Ｚ
D1
E
B1
C1
D B
C
y
A
x
DB1 AD1 1， ） 1，1 0 （ 1， 1 （ 0， ） DB1 CD1 1， ） 0， 1， 0 （ 1，（ 1 1 ）
注： (1, , ) 求法（1）可设法向量的坐标（说明：设法 A 1 1
B
Dx
例、 正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是 D BB1 , CD 的中点。求证： 1F 平面AED
D1
A1
B1
E
D
C1