山西省2015年中考数学压卷题训练1及详解

山西省2015年中考数学压卷题训练1
时间45分钟满分28分2015.6.2
1（本题14分）.（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] （2）如图2，在□ABCD中，对角线焦点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
2（本题14分）.如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）经过A（－1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连
接BD，试求出∠BDA的度数．
2015年中考数学压卷题训练1参考答案
1.解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE=BC，
证明：如图，延长DE至F，使EF=DE，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD=CF（全等三角形对应边相等），
∠A=∠ECF（全等三角形对应角相等），
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF且BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC且DF=BC（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE=EF=DF，
∴DE∥BC且DE=BC；
（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴A1B1=AB，B1C1=BC，C1D1=CD，A1D1=AD，
∴四边形A1B1C1D1的周长=×1=，
同理可得，四边形A2B2C2D2的周长=×=，
四边形A3B3C3D3的周长=×=，
…，
∴四边形的周长之和l=1＋＋＋＋…；
（3）由图可知，＋＋＋…=1（无限接近于1），
所以l=1＋＋＋＋…=2（无限接近于2）．
2.解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋2．
将A（－1，0），B（4，0）代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=－x2＋x＋2．
（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．
在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC==．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，
∴h=．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴=，∴y=±2
将y=2代入抛物线y=－x2＋x＋2，得x1=0，x2=3．
当y=－2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx＋b，由图象，得
，
∴，
y BC=－x＋2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=－x＋n，由图象，得
0=－×（－1）＋n
∴n=－1，
y AD=－x－1．
∴－x2＋x＋2=－x－1，
解得：x1=－1，x2=5
∴D（－1，0）与A重合，舍去，D（5，－3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=．
∵A（－1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，
∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2＋BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF＋∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF=，
在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．。