五年级奥数题：带余数除法(B)

五年级奥数：余数问题

五年级奥数：余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。

将5056分解质因数，得到5056=26×79。

由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

五年级奥数题：带余数除法

带余数除法作业一、填空题1．除107后，余数为2的两位数有_____.2. 27 ( )=( )……3.上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法.3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____.4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____.5. 222……22除以13所得的余数是_____.2000个6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次.7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数.8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.9. 在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数.10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____.二、解答题11．桌面上原有硬纸片5张。

从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放回；……是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991？12. 一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a(见短除式<1>)；又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a的2倍(见短除式<2>).求这个自然数.8 所求自然数……余18 第一次商……余18 第二次商……余7a短除式<1>17 所求自然数……余417 第一次商……余152 a短除式<2>13．某班有41名同学，每人手中有10元到50元钱各不相同.他们到书店买书,已知简装书3元一本,精装书4元一本,要求每人都要把自己手中的钱全部用完,并且尽可能多买几本书,那么最后全班一共买了多少本精装书?14. 某校开运动会,打算发给1991位学生每人一瓶汽水,由于商店规定每7个空瓶可换一瓶汽水,所以不必买1991瓶汽水,但是最少要买多少瓶汽水?———————————————答案——————————————————————答案:1. 15,21,35从107里减去余数2,得107-2=105,所以105是除数与商数相乘之积,将105分解质因数得105=3⨯5⨯7,可知这样的两位数有15,21,35.2. 5根据带余数除法中各部分之间的关系可知，商⨯除数=27-3=24.这样可通过分解质因数解答.因为24=2⨯2⨯2⨯3=23⨯3,所以(商,除数)= (1,24),(2,12),(3,8),(4,6), (6,4), (8,3), (12,2),(24,1)又由余数比除数小可知,除数有24,12,8,6,4五种填法.所以原式中括号内的数共有5种填法.3. 51由17与19互质可知,8□98能被(17⨯19=)323整除.因为8098÷323=25…23，根据商数与余数符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是8398.将8398分解质因数.8398=323⨯26=2⨯13⨯17⨯19所以,这个四位数的所有质因数之和是2+13+17+19=51.4. 2设这串数为a1,a2,a3,…，a1992，…，依题意知a1=1a2=1+1a3=1+1+2a4=1+1+2+3a5=1+1+2+3+4……a1992=1+1+2+3+…+1991=1+996⨯1991因为996÷5=199…1，1991÷5=398…1，所以996⨯1991的积除以5余数为1，1+996⨯1991除以5的余数是2.因此,这串数左起第1992个数除以5的余数是2.5. 9因为222222=2⨯111111=2⨯111⨯1001=2⨯111⨯7⨯11⨯13所以222222能被13整除.又因为2000=6⨯333+2222…2=222…200+222000个 199822÷13=1 (9)所以要求的余数是9.6. 52设小明应扔n 次,根据高斯求和可求出所扔石子总数为1+2+3+…+n =n 21⨯(n +1) 依题意知, n 21⨯(n +1)能被106整除,因此可设 n 21⨯(n +1)=106a 即n ⨯(n +1)=212a 又212a =2⨯2⨯53a ,根据n 与n +1为两个相邻的自然数,可知2⨯2⨯a =52(或54).当2⨯2⨯a =52时,a =13.当2⨯2⨯a =54时,a =1321,a 不是整数,不符合题意舍去. 因此, n ⨯(n +1)=52⨯53=52⨯(52+1),n =52,所以小明扔52次.7. 76假设十万位和万位上填入两位数为x ,末两位上填入的数为y ,(十位上允许是0),那么这个七位数可以分成三个部分3007200+10000x +y ,3007200除以101的余数是26, 10000x 除以101的余数为x ,那么当x +y +26的和是101的倍数时,这个七位数也是101的倍数.如:当y =1时, x =74；当y =2时，x =73，……，而当y =76时，x =100，而990≤≤x ，x 不可能是100，所以y 也不可能是76.由此可知末两位数字是76时,这个七位数不管十万位上和万位上的数字是几,都不是101的倍数.8. 1设这个自然数为m ,且m 去除63,90,130所得的余数分别为a ,b ,c ,则63-a ,90-b ,130-c 都是m 的倍数.于是(63-a )+(90-b )+(130-c )=283-(a +b +c )=283-25=258也是m 的倍数.又因为258=2⨯3⨯43.则m 可能是2或3或6或43(显然1≠m ,86,129,258),但是a +b +c =25,故a ,b ,c 中至少有一个要大于8(否则,a ,b ,c 都不大于8,就推出a +b +c 不大于24,这与a +b +c =25矛盾).根据除数m 必须大于余数,可以确定m =43.从而a =20,b =4,c =1.显然,1是三个余数中最小的.9. 15我们把1到30共30个自然数根据除以7所得余数不同情况分为七组.例如,除以7余1的有1,8,15,22,29这五个数,除以7余2的有2,9,16,23,30五个数,除以7余3的有3,10,17,24四个数,…要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数，那么能被7整除的数只能取1个，取了除以7余1的数，就不能再取除以7余6的数；取了除以7余2的数，就不能再取除以7余5的数；取了除以7余3的数，就不能再取除以7余4的数.为了使取出的个数最多,我们把除以7分别余1、余2、余3的数全部取出来连同1个能被7整除的数，共有5+5+4+1=15（个）所以，最多能取出15个数.10. 347根据使组成的符合条件的三位数,其最大三位数尽可能小的条件,可知它们百位上的数字应分别选用3,2,1；个位上的数字应分别选用7，8，9.又根据最小的三位数是3的倍数,考虑在1○9中应填5,得159.则在3○7,2○8中被3除余2,余1,选用4,6分别填入圆圈中得347,268均符合条件.这样,最大三位数是347,次大三位数是268,最小三位数是159.11. 每次放回后,桌面上的纸片数都增加6的倍数,总数一定是6的倍数加5.而1991=6⨯331+5,所以是可能的.12. 解法一由(1)式得:8与a相乘的积加上余数7,为第二次商,即8a+7为第二次商,同样地,第二次商与8相乘的积加上余数1,为第一次商,即8(8a+7)+1为第一次商,第一次商与8相乘的积加上余数1,为所求的自然数,即8[8(8a+7)+1]+1为所求的自然数.同理,由(2)式得所求的自然数为17(2a⨯17+15)+4由此得方程8[8(8a+7)+1]+1=17(2a⨯17+15)+48(64a+57)+1=17(34a+15)+4512a+457=578a+25966a=198∴a=3因此,所求自然数为512a+457=512⨯3+457=1993解法二依题意可知所求的自然数有两种表示方法:(1)@⑦①①(8)a<8a<17,可知所求的自然数是(1)a⨯83+7⨯82+1⨯81+1=512a+457(2)2a⨯172+15⨯171+4=578a+259由此得 512a+457=578a+259∴a=3因此,所求的自然数为512a +457=512⨯3+457=1993[注]解法一根据“被除数=除数⨯商+余数”的关系式，由最后的商逐步推回到原来的自然数，需要一定的逆向思考能力，解法二要求小选手熟悉数的十进制与其他数进制之间的互化.13. 每人都要把手中的钱用完,而且尽可能多买几本书,意即3元一本的简装书要尽量多买,4元一本的精装书要尽量少买甚至不买.我们分三种情况进行讨论:(1)当钱数被3整除时,精装书就可以不买；(2)当钱数被3除余1时,3k +1=3(k -1)+4,精装书只要买1本,其中k 为大于2的自然数.(3)当钱数被3除余2时,3k +1=3(k -2)+8,精装书只要买2本,其中k 为大于2的自然数.在10至50这41个自然数中,被3除余1和2的数均各有14个.所以全班一共买精装书14+14⨯2=42(本)14. 因为73=343<1991<2401=74,不考虑余数,能用空瓶换三次汽水,由于每7个空瓶可换一瓶汽水,原有空瓶不一定能被7整除,那么第二次以后换时要考虑上一次的余数,最多能用空瓶换四次汽水.1991÷(1+32717171++)=1707.2825 如果买1707瓶汽水,1707÷7=243…6可换243瓶汽水,(243+6)÷7=35…4可换35瓶汽水,(35+4)÷7=5…4可换5瓶汽水,(5+4)÷7=1…2可换一瓶汽水,1+2<7不能再换.1707+243+35+5+1=1991.如果买1706瓶,用空瓶换的数量不变,但1706+243+35+5+1=1990.所以最少要买1707瓶汽水.。

五年级奥数带余数除法

带余数的除法月日，宋老师带走进美妙的数学花园!知识集锦古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。

这种算法有很多种有趣的名称，如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等，人们还编了许多美妙动人的故事。

实质上，这些算法正是带余除法的表现形式。

两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。

被除数、除数、商和余数之间有下面关系：被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。

例题集合例1 两个数相除的商是15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？练习1 两个数相除的商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，那么除数是多少？例2 自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？练习2 已知自然数a除以13余6，自然数b除以13余12。

求a加b的和除以13，余数是多少？例3 一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？练习3 一个四位数，它被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。

例4 已知一个布袋中装有小球若干个。

如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。

布袋中至少有小球多少个？练习4 用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？例5 某班同学买了310个本子，如果分给每个同学的数量相同，结果还剩下37本，且不能继续平分，问这个班有多少同学？练习5 有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。

问这一篮苹果一共有多少个？课堂练习1、哪些数除以7能使商与余数相同？2、474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。

3、有一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，求这个两位数。

4、用某数除1019余4，除1816不足4，这个数最大是多少？5、某数被5除余2、被7除余6、被11除余9，这个数最小是多少？6、从4到100的自然数中，除以4余数都是1的各个数的和是多少？7、有四个不同的自然数，其中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，要使这4个数的和尽可能小，这四个数的和是多少？8、将既能被5整除又能被7整除的自然数自35起从小到大排成一行，共有1991个数。

小学五年级数学思维能力(奥数)《有余数的除法》训练题

小学五年级数学思维能力（奥数）《有余数的除法》训练题1.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．2.一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

3.有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？4.两个整数相处商是12,余数是6,已知被除数,除数商与余数的差是204,除数是多少？5.三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

6.一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．7.有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?8.一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．9. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.10.两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab，求abba．11. 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？12.在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．13.20032与22003的和除以7的余数是________．14.在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．15.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．16.用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________17.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?18.六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．。

小学数学五年级《带余数的除法》奥数教材教案

小学五年级奥数教材：带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。

例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。

解：∵被除数÷除数=商…余数，即被除数=除数×商+余数，∴251=除数×商+41，251-41=除数×商，∴210=除数×商。

∵210=2×3×5×7，∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。

例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：∵被除数=除数×商+余数，即被除数=除数×40+16。

由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，∴（除数×40+16）+除数=877，∴除数×41=877-16，除数=861÷41，除数=21，∴被除数=21×40+16=856。

答：被除数是856，除数是21。

例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=7×4+3，∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。

小学五年级数学思维能力(奥数)《有余数的除法》训练题

小学五年级数学思维能力（奥数）《有余数的除法》训练题1.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．2.一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

3.有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？4.两个整数相处商是12,余数是6,已知被除数,除数商与余数的差是204,除数是多少？5.三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

6.一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．7.有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?8.一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．9. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.10.两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab，求abba．11. 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？12.在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．13.20032与22003的和除以7的余数是________．14.在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．15.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．16.用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________17.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?18.六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．。

五年级下册数学试题奥数—有余数的除法

有余数的除法一、知识点定义设b a ,为正整数，由除法得r q b a ，其中q 是商，r 是余数， b r 0.我们称为带余除法. 被除数=除数商+余数，或者被除数-余数==除数商性质 (1)余数小于除数；（2）如果b a ,除以m 的余数相同，则b a 是m 的倍数，我们称b a ,对模m 同余，记作：)(mod m b a ；（3）a 与b 的和除以m 的余数等于与a 、b 分别除以m 的余数之和（或者这个和除以m 的余数）（4）a 与b 的积除以m 的余数等于与a 、b 分别除以m 的余数之积（或者这个积除以m 的余数）（5）若)(mod ),(mod m d c m b a ，则)(mod m d b c a ，)(mod m d b c a ，)(mod m d b c a .二、例题例1 用一个奇数去除255和197，所得余数都是23，求这个奇数.例2 有一个不等于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，这个数是多少？例3 求乘积199354128 被13除的余数.例4 从1—100这100个数中最多选出多少个数,使选出来的中每两个的和都不能被3整除？例5 一个正整数被8除余1，所得商被8除也余1，再把第二次所得商除8后余7，最后商是a .又这个数被17除余4，所得商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍，求这个正整数.例6 一个正整数除以3余2，除以5余4，除以7余5，求满足条件的最小正整数.例7 20022001除以4的余数是_________.三、练习1.5197104 的积除以11的余数是__________.2.两数相除所得商为23，余数为6，被除数、除数、商、余数之和为779，那么被除数是_________,除数是__________.3.若34和56除以m的余数相同，且m为奇质数，则m除72的余数为__________.4.实验小学五年级有三百多人，将总人数减去5能被6整除，减去6能被7整除，减去7能被8整除，则五年级共有_________人.3107 的余数是_________.5.76.有一个大于1的正整数除314，257，447所得余数相同，则2002除以这个数余数是_______.。

小学奥数之带余除法解题(完整版)

小学奥数之带余除法解题1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4.根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑴ 余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．除法公式的应用【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。

【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第2题，5分【解析】 125 【答案】125【例 2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

5-5-1.带余除法（一）教学目标知识点拨例题精讲【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980⨯+=【答案】980【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。

五年级奥数-带余除法

带余除法【基本形式：)⋅⋅⋅⋅⋅⋅<÷】a<=c0(,bbdd例1、被除数、除数、商与余数之和是1100，已知余数是9，商是18，求被除数和除数。

巩固1、用一个两位数除961，余数为36，求这个两位数。

巩固2、两个数相除，商为8，余数为16，被除数、除数与商的和是555，求除数。

例2、求444……4被6除的余数。

100个6巩固3、求111……11被41除所得的余数。

2002个1【余数的性质】1、a与b的和（或差）除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的和（或差）；2、a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之积。

如：82÷6=13…4，56÷6=9…2可得：(82+56)÷6=24…0，(4+2)÷6=1…0；(82-56)÷6=4…2，4-2=2；(82×56)÷6=765...2，（4×2）÷6=1 (2)例3、求437×309×1993被7除的余数。

巩固4、求16×941×1611被7除的余数。

【同余问题】一、定义：两个自然数a,b,同除以自然数m,所得的余数相同，称作a 与b 对于模m 同余，记作a ≡b(mod m)。

如：17÷5=3…2；32÷5=6…2，即17与32对于模5同余，记作17≡32(mod 5).二、性质：1、传递性：若a ≡b(mod m)，b ≡c(mod m)⇒a ≡c(mod m)；2、可乘性：若a ≡b(mod m)⇒ac ≡bc(mod m)；若a ≡b(mod m)，c ≡d(mod m)⇒ac ≡bd(mod m)；3、乘方性：若a ≡b(mod m)⇒n n b a ≡(mod m)例4、判定47和68,47和37对于模7是否同余。

例5、求2080123378115++除以11的余数。

小学五年奥数-带余除法

带余除法【知能大展台】如果a是一个整数,b是一个自然数,那么一定有两个整数q和r，使得：a=b×q＋r(0≤r﹤b)当r=0时，则称 a能被b整除当r≠0时,r叫做a除以b的余数,q叫做a除以b的不完全商.如果a、b两个整数除以自然数m后所得的余数相同,就称整数a、b对于除数m来说就是同余的。

如果两个整数a、b对于除数m(m为自然数)来说就是同余的，那么a与b 的差一定能被m整除。

这是同余的一条重要性质。

根据余数相同，可以对整数进行分类。

例如一个整数a被3除时，余数只能有0、1、2这三种可能，因此所有整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2（k为整数）这三种类型。

【试金石】例1 两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商与余数的和是866，求被除数和除数。

【分析】“两个数相除，商是22，余数是8”，可以理解为“被除数比除数的22倍还多8”。

如果把除数看做1倍数，那么本题可转化成一道和倍应用题。

【解答】除数为：（866－22－8×2）÷（22+1）=36被除数为：36×22＋8=800答：被除数是800，除数是36。

【智力加油站】两个数相除，商是40，余数是16，被除数与除数的和是877，求除数。

【试金石】例2 一个整数分别除442、297和210，得到相同的余数，这个整数是多少？【分析】根据已知条件可知，本题是要求除数的，并且442、297和210这三个数对于除数来说是同余的。

根据同余的性质，这三个数中任意两个数的差，都应是除数的倍数，即除数是题中三个数中任意两个数的差的公因数。

【解答】442-297=145297-210=87（145，87）=29所求除数应是29的约数，29=1×29，但1不符合题意。

所以，29是所求的整数。

答：这个整数是29。

【智力加油站】【针对性训练】一个整数分别除300、254和185，得到相同的余数，这个整数是多少？【试金石】例3 在大于1999的自然数中，被66除后，商与余数相等的数共有多少个？这些数的总和是多少？【分析】在带余除法中，由于余数<除数，故本题中的商与余数最大不超过65，又由于被除数>1999，故商数>1999÷66，这就限定了商的余数，从而本题可解。

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小学五年级奥数(上)第四讲带余除法
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。—— 毕达哥拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。 ——格老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞罗
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
Hale Waihona Puke xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子

奥数余数问题带余除法

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带余除法
被除数=除数×商+余数
被除数—余数=除数×商
余数=被除数—除数×商
商=（被除数—余数）÷除数
要注意以下几点：
1. 余数总是小于除数的整数。

2. 只要
3. 整除例1、例2、数是多
1、被
2、一个
3、两个
4、1705
5、如果例3、 1、被除2、被除3、两个4、一个5、1492
6、从
7、两个例4、 1、一个
2、一个
3、有一个两位数被3除或被4除，余数都是1，符合这一条件的最大三位数和最小三位数各是多少？
4、有一个最小的两位数，除以5余数是3，除以13余数是5，这个最小的两位数除以11余数是多少？
5、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8.被除数、除数、商及余数的和是多少？
6、一个两位数除329，这个两位数与商相等，余数是5，求这个两位数。

7、一个三位数，它除以19，所得的商和余数相等，符合这个条件的三位数有多少个？其中最大的是多少？最小的是多少？
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8、五年级同学去西湖划船，若每船坐8人，则余下7人；若每船坐12人，则余下11人，若每船坐14人，则余下13人，五年级至少有同学多少人？
9、实验小学五年级的同学在操场上做游戏，每组5人则多1人，每组6人则多1人，每组7人则多1人，五年级做游戏的同学至少有多少人？
10、筐子里有一些皮球，三个三个地数余2个，四个四个地数余3个，五个五个地数余4个，筐子里至少有多少个皮球？。

小学五年级奥数题带余数的除法五年级小数除法无余数

小学五年级奥数题带余数的除法五年级小数除法无余数一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。

解：∵被除数÷除数=商…余数，即被除数=除数某商+余数，∴251=除数某商+41，251-41=除数某商，∴210=除数某商。

∵210=2某3某5某7，∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。

用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少解：∵被除数=除数某商+余数，即被除数=除数某40+16。

由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，∴(除数某40+16)+除数=877，∴除数某41=877-16，除数=861÷41，除数=21，∴被除数=21某40+16=856。

答：被除数是856，除数是21。

某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=7某4+3，∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。

∴这年的10月1日是星期四3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(第二天)，15日(第三天)，…)的第1993天是星期几解：每周有7天，1993÷7=284(周)…5(天)，从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。

这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法1：2某70+3某21+2某15=233233-105某2=23符合条件的最小自然数是23。

五年级奥数题：带余数除法（B）

五年级奥数题：带余数除法（B）带余数除法作业⼀、填空题1．除107后，余数为2的两位数有_____.2. 27 ( )=( )……3.上式( )⾥填⼊适当的数,使等式成⽴,共有_____种不同的填法.3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____.4. ⼀串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数⽐第1个数多1；第3个数⽐第2个数多2；第4个数⽐第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____.5. 222……22除以13所得的余数是_____.2000个6. ⼩明往⼀个⼤池⾥扔⽯⼦,第⼀次扔1个⽯⼦,第⼆次扔2个⽯⼦,第三次扔3个⽯⼦,第四次扔4个⽯⼦……，他准备扔到⼤池的⽯⼦总数被106除，余数是0⽌，那么⼩明应扔_____次.7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管⼗万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪⼀个,这个七位数都不是101的倍数.8. 有⼀个⾃然数,⽤它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最⼩的⼀个是_____.9. 在1,2,3,……29，30这30个⾃然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数.10. ⽤1-9九个数字组成三个三位数,使其中最⼤的三位数被3除余2,并且还尽可能地⼩；次⼤的三位数被3除余1；最⼩的三位数能被3整除.那么,最⼤的三位数是_____.⼆、解答题11．桌⾯上原有硬纸⽚5张。

从中取出若⼲张来，并将每张都任意剪成7张较⼩的纸⽚，然后放回桌⾯，像这样，取出，剪⼩，放回；再取出，剪⼩，放回；……是否可能在某次放回后，桌上的纸⽚数刚好是1991？12. ⼀个⾃然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第⼆次所得的商被8除后余7，最后得到⼀个商是a(见短除式<1>)；⼜知这个⾃然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到⼀个商是a的2倍(见短除式<2>).求这个⾃然数.8 所求⾃然数……余18 第⼀次商……余18 第⼆次商……余7a短除式<1>17 所求⾃然数……余417 第⼀次商……余152 a短除式<2>13．某班有41名同学，每⼈⼿中有10元到50元钱各不相同.他们到书店买书,已知简装书3元⼀本,精装书4元⼀本,要求每⼈都要把⾃⼰⼿中的钱全部⽤完,并且尽可能多买⼏本书,那么最后全班⼀共买了多少本精装书?14. 某校开运动会,打算发给1991位学⽣每⼈⼀瓶汽⽔,由于商店规定每7个空瓶可换⼀瓶汽⽔,所以不必买1991瓶汽⽔,但是最少要买多少瓶汽⽔?———————————————答案——————————————————————答案:1. 15,21,35从107⾥减去余数2,得107-2=105,所以105是除数与商数相乘之积,将105分解质因数得105=3?5?7,可知这样的两位数有15,21,35.2. 5根据带余数除法中各部分之间的关系可知，商?除数=27-3=24.这样可通过分解质因数解答.因为24=2?2?2?3=23?3,所以(商,除数)= (1,24),(2,12),(3,8),(4,6), (6,4), (8,3), (12,2),(24,1)⼜由余数⽐除数⼩可知,除数有24,12,8,6,4五种填法.所以原式中括号内的数共有5种填法.3. 51由17与19互质可知,8□98能被(17?19=)323整除.因为8098÷323=25…23，根据商数与余数符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是8398.将8398分解质因数.8398=323?26=2?13?17?19所以,这个四位数的所有质因数之和是2+13+17+19=51.4. 2设这串数为a1,a2,a3,…，a1992，…，依题意知a1=1a2=1+1a3=1+1+2a4=1+1+2+3a5=1+1+2+3+4……a1992=1+1+2+3+…+1991=1+996?1991因为996÷5=199…1，1991÷5=398…1，所以996?1991的积除以5余数为1，1+996?1991除以5的余数是2.因此,这串数左起第1992个数除以5的余数是2.5. 9因为222222=2?111111=2?111?1001=2?111?7?11?13所以222222能被13整除.⼜因为2000=6?333+2222…2=222…200+222000个 199822÷13=1 (9)所以要求的余数是9.6. 52设⼩明应扔n 次,根据⾼斯求和可求出所扔⽯⼦总数为1+2+3+…+n =n 21?(n +1) 依题意知, n 21?(n +1)能被106整除,因此可设 n 21?(n +1)=106a 即n ?(n +1)=212a ⼜212a =2?2?53a ,根据n 与n +1为两个相邻的⾃然数,可知2?2?a =52(或54).当2?2?a =52时,a =13.当2?2?a =54时,a =1321,a 不是整数,不符合题意舍去. 因此, n ?(n +1)=52?53=52?(52+1),n =52,所以⼩明扔52次.7. 76假设⼗万位和万位上填⼊两位数为x ,末两位上填⼊的数为y ,(⼗位上允许是0),那么这个七位数可以分成三个部分3007200+10000x +y ,3007200除以101的余数是26, 10000x 除以101的余数为x ,那么当x +y +26的和是101的倍数时,这个七位数也是101的倍数.如:当y =1时, x =74；当y =2时，x =73，……，⽽当y =76时，x =100，⽽990≤≤x ，x 不可能是100，所以y 也不可能是76.由此可知末两位数字是76时,这个七位数不管⼗万位上和万位上的数字是⼏,都不是101的倍数.8. 1设这个⾃然数为m ,且m 去除63,90,130所得的余数分别为a ,b ,c ,则63-a ,90-b ,130-c 都是m 的倍数.于是(63-a )+(90-b )+(130-c )=283-(a +b +c )=283-25=258也是m 的倍数.⼜因为258=2?3?43.则m 可能是2或3或6或43(显然1≠m ,86,129,258),但是a +b +c =25,故a ,b ,c 中⾄少有⼀个要⼤于8(否则,a ,b ,c 都不⼤于8,就推出a +b +c 不⼤于24,这与a +b +c =25⽭盾).根据除数m 必须⼤于余数,可以确定m =43.从⽽a =20,b =4,c =1.显然,1是三个余数中最⼩的.9. 15我们把1到30共30个⾃然数根据除以7所得余数不同情况分为七组.例如,除以7余1的有1,8,15,22,29这五个数,除以7余2的有2,9,16,23,30五个数,除以7余3的有3,10,17,24四个数,…要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数，那么能被7整除的数只能取1个，取了除以7余1的数，就不能再取除以7余6的数；取了除以7余2的数，就不能再取除以7余5的数；取了除以7余3的数，就不能再取除以7余4的数.为了使取出的个数最多,我们把除以7分别余1、余2、余3的数全部取出来连同1个能被7整除的数，共有5+5+4+1=15（个）所以，最多能取出15个数.10. 347根据使组成的符合条件的三位数,其最⼤三位数尽可能⼩的条件,可知它们百位上的数字应分别选⽤3,2,1；个位上的数字应分别选⽤7，8，9.⼜根据最⼩的三位数是3的倍数,考虑在1○9中应填5,得159.则在3○7,2○8中被3除余2,余1,选⽤4,6分别填⼊圆圈中得347,268均符合条件.这样,最⼤三位数是347,次⼤三位数是268,最⼩三位数是159.11. 每次放回后,桌⾯上的纸⽚数都增加6的倍数,总数⼀定是6的倍数加5.⽽1991=6?331+5,所以是可能的.12. 解法⼀由(1)式得:8与a相乘的积加上余数7,为第⼆次商,即8a+7为第⼆次商,同样地,第⼆次商与8相乘的积加上余数1,为第⼀次商,即8(8a+7)+1为第⼀次商,第⼀次商与8相乘的积加上余数1,为所求的⾃然数,即8[8(8a+7)+1]+1为所求的⾃然数.同理,由(2)式得所求的⾃然数为17(2a?17+15)+4由此得⽅程8[8(8a+7)+1]+1=17(2a?17+15)+48(64a+57)+1=17(34a+15)+4512a+457=578a+25966a=198∴a=3因此,所求⾃然数为512a+457=512?3+457=1993解法⼆依题意可知所求的⾃然数有两种表⽰⽅法:(1)@⑦①①(8)a<8a<17,可知所求的⾃然数是(1)a?83+7?82+1?81+1=512a+457(2)2a?172+15?171+4=578a+259由此得 512a+457=578a+259∴a=3因此,所求的⾃然数为512a +457=512?3+457=1993[注]解法⼀根据“被除数=除数?商+余数”的关系式，由最后的商逐步推回到原来的⾃然数，需要⼀定的逆向思考能⼒，解法⼆要求⼩选⼿熟悉数的⼗进制与其他数进制之间的互化.13. 每⼈都要把⼿中的钱⽤完,⽽且尽可能多买⼏本书,意即3元⼀本的简装书要尽量多买,4元⼀本的精装书要尽量少买甚⾄不买.我们分三种情况进⾏讨论:(1)当钱数被3整除时,精装书就可以不买；(2)当钱数被3除余1时,3k +1=3(k -1)+4,精装书只要买1本,其中k 为⼤于2的⾃然数.(3)当钱数被3除余2时,3k +1=3(k -2)+8,精装书只要买2本,其中k 为⼤于2的⾃然数.在10⾄50这41个⾃然数中,被3除余1和2的数均各有14个.所以全班⼀共买精装书14+14?2=42(本)14. 因为73=343<1991<2401=74,不考虑余数,能⽤空瓶换三次汽⽔,由于每7个空瓶可换⼀瓶汽⽔,原有空瓶不⼀定能被7整除,那么第⼆次以后换时要考虑上⼀次的余数,最多能⽤空瓶换四次汽⽔.1991÷(1+32717171++)=1707.2825 如果买1707瓶汽⽔,1707÷7=243…6可换243瓶汽⽔,(243+6)÷7=35…4可换35瓶汽⽔,(35+4)÷7=5…4可换5瓶汽⽔,(5+4)÷7=1…2可换⼀瓶汽⽔,1+2<7不能再换.1707+243+35+5+1=1991.如果买1706瓶,⽤空瓶换的数量不变,但1706+243+35+5+1=1990.所以最少要买1707瓶汽⽔.。

小学五年级奥数题：带余数除法

带余数除法作业一、填空题1．除 107 后，余数为 2 的两位数有 _____.2. 27()=()3.上式( )里填入适当的数, 使等式成立, 共有 _____种不同的填法.3.四位数 8□98 能同时被 17 和 19 整除 , 那么这个四位数所有质因数的和是_____.4.一串数 1、2、4、7、11、16、22、 29这串数的组成规律，第 2 个数比第 1 个数多 1；第 3 个数比第 2 个数多 2；第 4 个数比第 3 个数多 3；依此类推；那么这串数左起第 1992 个数除以 5 的余数是 _____.5.22222 除以 13 所得的余数是 _____.2000 个6.小明往一个大池里扔石子 , 第一次扔 1 个石子 , 第二次扔 2 个石子 , 第三次扔 3 个石子 , 第四次扔 4 个石子，他准备扔到大池的石子总数被106 除，余数是 0 止，那么小明应扔 _____次.7.七位数 3□□ 72□□的末两位数字是 _____时, 不管十万位上和万位上的数字是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数.8.有一个自然数 , 用它分别去除 63,90,130 都有余数 , 三个余数的和是 25. 这三个余数中最小的一个是 _____.9.在 1,2,3, 29， 30 这 30 个自然数中，最多能取出 _____个数 , 使取出的这些数中 , 任意两个不同的数的和都不是 7 的倍数 .10. 用 1-9 九个数字组成三个三位数 , 使其中最大的三位数被 3 除余 2, 并且还尽可能地小；次大的三位数被 3 除余 1；最小的三位数能被 3 整除 . 那么 , 最大的三位数是 _____.二、解答题11．桌面上原有硬纸片 5 张。

从中取出若干张来，并将每张都任意剪成 7 张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放回；是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991？12.一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除也余 1，再把第二次所得的商被8 除后余 7，最后得到一个商是 a( 见短除式 <1>)；又知这个自然数被 17 除余4，所得的商被 17 除余 15，最后得到一个商是 a 的 2 倍( 见短除式 <2>). 求这个自然数 .8所求自然数余 18第一次商余 18第二次商余 7 a短除式 <1>17所求自然数余 417第一次商余 15 2a短除式 <2>13．某班有 41 名同学，每人手中有 10 元到 50 元钱各不相同 . 他们到书店买书 , 已知简装书 3 元一本 , 精装书 4 元一本 , 要求每人都要把自己手中的钱全部用完 , 并且尽可能多买几本书 , 那么最后全班一共买了多少本精装书 ?14.某校开运动会 , 打算发给 1991 位学生每人一瓶汽水 , 由于商店规定每 7 个空瓶可换一瓶汽水 , 所以不必买 1991 瓶汽水 , 但是最少要买多少瓶汽水 ?———————————————答案——————————————————————答案:1.15,21,35从 107 里减去余数 2, 得 107-2=105, 所以 105 是除数与商数相乘之积 , 将 105 分解质因数得 105=3 5 7, 可知这样的两位数有 15,21,35.2. 5根据带余数除法中各部分之间的关系可知，商除数 =27-3=24. 这样可通过分解质因数解答 .因为 24=2 2 2 3=23 3, 所以 ( 商, 除数 )= (1,24),(2,12),(3,8),(4,6),(6,4), (8,3), (12,2),(24,1)又由余数比除数小可知 , 除数有 24,12,8,6,4五种填法.所以原式中括号内的数共有 5 种填法 .3. 51由 17 与 19 互质可知 ,8 □ 98 能被(17 根据商数与余数符合题意的四位数应是19=)323 整除 . 因为 8098 323=25 23，323 的 26 倍，所以这个四位数是 8398.将 8398 分解质因数 .8398=32326=213 1719所以 , 这个四位数的所有质因数之和是2+13+17+19=51.4. 2设这串数为 a1, a2, a3, ， a1992，，依题意知a1 =1a2 =1+1a3 =1+1+2a4 =1+1+2+35 =1+1+2+3+4a1992=1+1+2+3+ +1991=1+996 1991a因为 996 5=199 1，19915=398 1，所以 9961991 的积除以 5 余数为 1，1+9961991 除以 5 的余数是 2.因此 , 这串数左起第1992 个数除以 5 的余数是 2.5.9因为 222222=2 111111=21111001=211171113所以 222222 能被 13 整除 .又因为 2000=6333+2222 2=222 200+222000 个 19982213=1 9所以要求的余数是 9.6.52设小明应扔 n 次, 根据高斯求和可求出所扔石子总数为1+2+3+ +n=1 n( n+1)2依题意知 , 1n( n+1) 能被 106 整除 , 因此可设21n( n+1)=106a即n( n+1)=212a2又 212a=2 2 53a, 根据 n 与 n+1 为两个相邻的自然数 , 可知 2 2 a=52(或54).当 2 2 a=52 时, a=13.当 221不是整数 , 不符合题意舍去 . a=54 时, a=13 , a2因此 ,n( n+1)=52 53=52(52+1), n=52, 所以小明扔 52 次 .7.76假设十万位和万位上填入两位数为x , 末两位上填入的数为y ,(十位上允许是 0), 那么这个七位数可以分成三个部分 3007200+10000x + y ,3007200 除以 101的余数是 26, 10000 x 除以 101 的余数为 x , 那么当 x + y +26的和是 101 的倍数时 ,这个七位数也是101 的倍数 . 如: 当y =1 时, x =74；当y =2 时， x =73，，而当y =76时， x，而0 x 99， x 不可能是，所以y也不可能是76.由=100100此可知末两位数字是 76时, 这个七位数不管十万位上和万位上的数字是几, 都不是 101 的倍数 .8. 1设这个自然数为 m , 且m去除 63,90,130 所得的余数分别为 a, b, c, 则63- a,90- b,130- c 都是m的倍数 . 于是 (63- a)+(90- b)+(130- c)=283-( a+b+c)=283-25=258 也是m的倍数 . 又因为258=2343.则 m可能是2或3或6 或43( 显然m1,86,129,258),但是a+b+c=25, 故a, b, c 中至少有一个要大于 8( 否则 , a, b, c 都不大于 8, 就推出 a+b+c 不大于24, 这与a+b+c=25 矛盾 ). 根据除数m必须大于余数 , 可以确定a=20, b=4, c=1. 显然 ,1 是三个余数中最小的 .9. 15我们把 1 到 30 共 30 个自然数根据除以 7 所得余数不同情况分为七组 . 例如 , 除以 7 余 1 的有 1,8,15,22,29 这五个数 , 除以 7 余 2 的有 2,9,16,23,30 五个数 , 除以 7 余 3 的有 3,10,17,24 四个数 , 要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是 7 的倍数，那么能被 7 整除的数只能取 1 个，取了除以 7 余 1 的数，就不能再取除以7 余 6 的数；取了除以 7 余 2 的数，就不能再取除以 7 余 5 的数；取了除以 7 余 3 的数，就不能再取除以 7 余 4 的数 . 为了使取出的个数最多 , 我们把除以 7 分别余 1、余 2、余 3 的数全部取出来连同 1 个能被 7 整除的数，共有5+5+4+1=15（个）所以，最多能取出 15 个数 .10. 347根据使组成的符合条件的三位数, 其最大三位数尽可能小的条件, 可知它们m=43.从而百位上的数字应分别选用3,2,1 ；个位上的数字应分别选用7，8，9.又根据最小的三位数是 3 的倍数 , 考虑在 1○9 中应填 5, 得 159. 则在 3○ 7,2○ 8 中被 3 除余 2, 余 1, 选用 4,6 分别填入圆圈中得347,268 均符合条件 .这样 , 最大三位数是 347, 次大三位数是 268, 最小三位数是 159.11.每次放回后 , 桌面上的纸片数都增加 6 的倍数 , 总数一定是 6 的倍数加5.而 1991=6 331+5, 所以是可能的 .12.解法一由(1) 式得 :8 与 a 相乘的积加上余数 7, 为第二次商 , 即 8a+7 为第二次商 , 同样地 , 第二次商与 8 相乘的积加上余数 1, 为第一次商 , 即 8(8 a+7)+1 为第一次商 , 第一次商与 8 相乘的积加上余数 1, 为所求的自然数 , 即 8[8(8 a+7)+1]+1 为所求的自然数 .同理 , 由(2) 式得所求的自然数为17(2 a17+15)+4由此得方程8[8(8 a+7)+1]+1=17(2 a17+15)+48(64 a+57)+1=17(34 a+15)+4512a+457=578a+25966a=198∴a=3因此 , 所求自然数为512a+457=512 3+457=1993解法二依题意可知所求的自然数有两种表示方法:(1)@⑦①①(8)a<8(2)2a 15 ④(17)2a<17根据数的十进制与其他数的进制的互化关系, 可知所求的自然数是(1)a 83+7 82+1 81+1=512a+457(2)2 a 172+15 171+4=578a+259由此得 512 a+457=578a+259a=3因此 , 所求的自然数为512a+457=512 3+457=1993[ 注 ] 解法一根据“被除数 =除数商 +余数”的关系式，由最后的商逐步推回到原来的自然数，需要一定的逆向思考能力，解法二要求小选手熟悉数的十进制与其他数进制之间的互化 .13.每人都要把手中的钱用完 , 而且尽可能多买几本书 , 意即 3 元一本的简装书要尽量多买 ,4 元一本的精装书要尽量少买甚至不买 .我们分三种情况进行讨论 :(1) 当钱数被 3 整除时 , 精装书就可以不买；(2) 当钱数被 3 除余 1 时,3 k+1=3(k-1)+4, 精装书只要买 1 本, 其中 k 为大于 2 的自然数 .(3) 当钱数被 3 除余 2 时,3 k+1=3(k-2)+8, 精装书只要买 2 本, 其中 k 为大于 2的自然数 .在 10 至 50 这 41 个自然数中 , 被 3 除余 1 和 2 的数均各有 14 个. 所以全班一共买精装书14+142=42( 本)34不考虑余数 , 能用空瓶换三次汽水 , 由于每14. 因为 7 =343<1991<2401=7,7 个空瓶可换一瓶汽水 , 原有空瓶不一定能被 7 整除 , 那么第二次以后换时要考虑上一次的余数 , 最多能用空瓶换四次汽水 .1991111)=1707.2825 (1+72377如果买 1707 瓶汽水 ,17077=243 6 可换 243 瓶汽水 ,(243+6)7=35 4 可换 35瓶汽水 ,(35+4)7=5 4 可换 5 瓶汽水 ,(5+4)7=1 2 可换一瓶汽水 ,1+2<7不能再换 .1707+243+35+5+1=1991.如果买 1706 瓶 , 用空瓶换的数量不变 , 但1706+243+35+5+1=1990.所以最少要买 1707 瓶汽水 .。

五年级奥数题及答案：带余除法问题

五年级奥数题及答案：带余除法问题
编者小语：数学比赛活动关于开发学生智力、开辟视线、促使教课改革、提升教课水平、发现和培育数学人材都有着
踊跃的作用。

这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行踊跃的探究，不停培育和提升他们的创建性思想能力。

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带余除法
69、90和125被某个正整数N除时，余数同样，试求 N的最
大值。

剖析在解答本题以前，我们先来看下边的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数同样(余数都是。

可是19-15能被2整除.由此我们能够获得这样的结论：假如两个整数a和b，均被自然数m除，余数同样，那么这两个整数之差(大-小)必定能被m整除。

反之，假如两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m
除的余数必定同样。

解答：
∵三个整数被N除余数同样，
&there4;N|(90-69) ，即N|21，N|(125-90) ，即N|35，
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&there4;N 是21和35的条约数。

∵要求N的最大值，
&there4;N 是21和35的最大条约数。

∵21和35的最大条约数是7，
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五年级的奥数题带余数除法

五年级的奥数题:带余数除法五年级的奥数题:带余数除法1带余数除法问题：一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

带余数除法答案：分析：这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数。

解题可从带余除式入手分析。

解：∵被除数÷除数=商…余数，带余数除法答案：即被除数=除数×商+余数，∴251=除数×商+41，251-41=除数×商，∴210=除数×商。

∵210=2×3×5×7，∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70.五年级的奥数题:带余数除法2例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q 和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b 的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。

例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。

解：∵被除数÷除数=商…余数，即被除数=除数×商+余数，∴251=除数×商+41，251-41=除数×商，∴210=除数×商。

∵210=2×3×5×7，∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。

例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：∵被除数=除数×商+余数，即被除数=除数×40+16。