乾坤示范课教案

示范课公开教学教案学科：数学课题：《正弦定理》授课教师：赵乾坤学校：山西省祁县中学校AB C课题 正弦定理一、教材与学情分析《正弦定理》这节内容安排在必修5第一章，是正弦定理第一课时，这是在高二学生学习了三角知识之后，可以看做是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用十分广泛。

这是祁县中学高二理科普通班，此前学生已经学习了平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用还不熟悉，因此思维灵活性受到制约。

二、三维目标：知识与技能：通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，。

情感态度与价值观：培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。

通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

三、教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。

教学难点：正弦定理的猜想提出过程。

教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。

四、教学过程：（一）结合实例，激发动机师生活动：教师：展示情景图如图1，船从港口B 航行到港口C ，测得BC 的距离为600m ，船在港口C 卸货后继续向港口A 航行，由于船员的疏忽没有测得CA 距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A 、B 的距离？学生：思考提出测量角A ，C 教师：若已知测得75B A C ∠=︒，45A C B ∠=︒，要计算A 、B 两地距离，你有办法解决吗？学生：思考交流，画一个三角形A B C '''，使得B C ''为6cm ，75B A C '''∠=︒， 45A C B '''∠=︒ ，量得A B ''距离约为4.9cm ，利用三角形相似性质可知AB 约为 490m 。

老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。

②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。

。

教师：引导，A B C ∆是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB 呢？图1学生：思考，交流，得出过A 作A D B C ⊥于D 如图2，把A B C ∆分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。

解：过A 作A D B C ⊥于D 在R t A C D ∆中，sin A D A C B A C∠=2sin 60030022AD AC AC B m∴=∠=⨯=45AC B ∠=︒ ，75B A C ∠=︒18060ABC ACB ACB ∴∠=-∠-∠=在R t A B D ∆中，sin A D A B C A B∠=30022006sin 32AD AB m ABC∴===∠教师：刚才解决问题的过程中，若A C b =，A B c =，能否用B 、b 、C 表示c 呢？教师：引导学生再观察刚才解题过程。

学生：发现sin A DC b=，sin A D B c=sin sin A D b C c B ∴==sin sin b C c B∴=教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？ 学生：发现即然有sin sin b C c B=，那么也有sin sin a C c A=，sin sin b A a B=。

教师：引导 sin sin b Cc B =，sin sin a C c A=，sin sin b A a B=，我们习惯写成对称形式s i n s i n c b C B =，sin sin c aC A=，sin sin abA B=，因此我们可以发现s i ns i n a bA B =s i nc C =，是否任意三角形都有这种边角关系呢？（二）数学实验，验证猜想教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验sin sin a b AB=sin c C=是否成立，举出特例。

（1）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 分别为︒60，︒60，︒60，对应的边长a ：b ：c 为1：1：1，对应角的正弦值分别为23，23，23，ABCD（图2）引导学生考察Aa sin ，Bb sin ，Cc sin 的关系。

（相等）（2）、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 分别为︒45，︒45，︒90，对应的边长a ：b ：c 为1：1：2，对应角的正弦值分别为22，22，1；（学生回答它们相等）（3）、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 分别为︒30，︒60，︒90，对应的边长a ：b ：c 为1：3：2，对应角的正弦值分别为21，23，1。

（图3）︒60︒30︒90︒45︒45︒90︒60︒60︒60bccaabCBCABABCA（图3） 教师：对于R t A B C ∆呢？学生：思考交流得出，如图4，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,则有=sin a Ac，=sin b Bc，又sin 1c Cc==,则sin sin sin a b ccABC===从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==教师：那么任意三角形是否有sin sin sin a b c ABC==呢？学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。

）学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较sin a A、sin b B、sin c C的近似值。

教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，sin a A、sin b B、sin c C值仍然保持相等。

我们猜想：Aa sin =Bb sin =Cc sin（三）证明猜想，得出定理师生活动：Ba A Ccb(图4)教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明sin sin sin a b c ABC==呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。

（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）学生：思考得出①在R t A B C ∆中，成立，如前面检验。

②在锐角三角形中，如图5设B C a =，C A b =，A B c = 作：A D B C ⊥，垂足为D在R t A B D ∆中，sin A DB A B=sin sin A D A B B c B∴=∙=∙ 在R t A D C ∆中，sin A DC A C=sin sin A D A C C b C ∴=∙=∙sin sin c B b C∴=sin sin c b CB∴=同理，在A B C ∆中，sin sin a c AC=sin sin sin a b cABC∴==③在钝角三角形中，如图6设C ∠为钝角，B C a =，C A b =，A B c =作A D B C ⊥交B C 的延长线于D 在R t A D B ∆中，sin A DB A B=sin sin A D A B B c B∴=∙=∙在R t A D C ∆中，sin A DA C D A C∠=sin sin A D A C A C D b A C B∴=∙∠=∙∠sin sin c B b A C B∴∙=∙∠sin sin c b A C BB∴=∠同锐角三角形证明可知sin sin a c AC=sin sin sin a b cABA C B∴==∠教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ABC==还有其它证明方法吗？学生：思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC ，由初中所学过的面积公式ABCD（图6）ABCD（图5）可以得出：111222ABC S A C B D C B A E B A C F ∆=∙=∙=∙，而由图中可以看出：sin B D B A C A B∠=，sin A E A C B A C∠=，sin C F A B C B C∠=sin ,sin ,sin BD AB BAC AE AC ACB CF BC ABC ∴=∙∠=∙∠=∙∠111222ABC S A C B D C B A E B A C F∆∴=∙=∙=∙=111sin sin sin 222A C AB B AC C B C A A C B B A B C A B C∙∙∠=∙∙∠=∙∙∠=111sin sin sin 222b c BAC a b AC B c a ABC∙∙∙=∙∙∠=∙∙∠等式111s i n s i n s i n222b c B A C a b A C B c a A B C ∙∙∠=∙∙∠=∙∙∠中均除以abc 21后可得sin sin sin B A C A B C A C B a b c ∠∠∠==， 即sin sin sin a b cB AC A B C A C B==∠∠∠。

教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。

在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高sin sin A E c A B C a A B C =∙∠=∙∠，三角形的面积：12A B C S a A E∆=∙∙，能否得到新面积公式学生：111sin sin sin 222ABC S b c B A C a b A C B c a A B C∆=∙∙∠=∙∙∠=∙∙∠得到三角形面积公式111sin sin sin 222A B C S ab C ca B bc A∆===教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：sin a A、sin b B、sin c C都等于同一个比值k ，那么它们也相等，这个k 到底有没有什么特殊几何意义呢？(图7)AB CDEF ba c（图7）学生：在前面的检验中，R t A B C ∆中，s i n s i ns i nab cc A B C ===，c 恰为外接接圆的直径，即2c k R ==，所以作A B C ∆的外接圆O ，O 为圆心，连接B O并延长交圆O 于'B ，把一般三角形转化为直角三角形。

证明：连续B O 并延长交圆于'B'90B A B ∴∠=︒，'B C ∠=∠在'R t B A B ∆中，sin 'A B B B B '='2sin 'sin A B A B B B RB C∴===即2sin c RC=同理可证：2sin aRA =，2sin bRB=2sin sin sin a b c R A B C∴=== 教师：从刚才的证明过程中,2sin sin sin a b c RABC===，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径2R ，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过cos a b a b θ∙=∙∙，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？ 学生：思考得出： 在锐角三角形A B C ∆中，AB BC AC += ，作单位向量j垂直于A C ，AC j AB j BC j∙=∙+∙即0cos(90)cos(90)c A a C =∙︒-+∙︒-sin sin 0c A a C ∴∙-∙=sin sin c a CA ∴=同理：sin sin b a B A ∴= sin sin sin a b c ABC∴==对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单阐述。