重庆市某重点中学2013年四公开招聘教师数学专业考核试题

重庆市某重点中学2009年四季度公开招聘教师数学专业知识考核试题（满分100分，时间60分钟）一．选择题:本大题共3小题,每小题5分,共15分1．已知函数R ∈-=x x x f ，23)(．规定：给定一个实数0x ，赋值)(01x f x =，若x 1≤244，则继续赋值)(12x f x =，…，以此类推，若1-n x ≤244，则)(1-=n n x f x ，否则停止赋值，如果得到n x 称为赋值了n 次)(*N ∈n ．已知赋值k 后该过程停止，则0x 的取值范围是 A ．]33(56--k k ， B ． ]1313(56++--k k ，C ．]1313(65++--k k ，D ．]1313(54++--k k，2．已知1x 是方程210--=x x 的解, 2x 是方程2lg --=x x 的解,函数()()21)(x x x x x f --=，则A.)3()2()0(f f f << B.)3()0()2(f f f <= C.)2()0()3(f f f =<D.)2()3()0(f f f <<3．已知二次函数f(x)＝ax 2＋x(a ∈R),对任意,R x ∈总有1|)1(|2≤+x xf ，则实数a 的最大整数值为A ．-2B ．0C ．2D ．4 二．填空题：本大题共3小题，共15分．4．已知2cos 2cos sin 43sin ππ，，x x -依次成等比数列，则在区间[0，π2)内满足条件的x 的集合为 ．5．定义22),(nm n m n m g --+=，设)20)(45,21sin 2cos 21()(π≤≤++==x x x g x f y 则函数)(x f y =的最大值是 ； 6．已知命题 ①函数xx f lg 1)(=在),0(+∞上是减函数；②函数)(x f 的定义域为R ，0)(0='x f 是0x x =为极值点的既不充分也不必要条件； ③函数x x x f cos sin 2)(=的最小正周期为π； ④在平面内，到定点)1,2(的距离与到定直线01043=-+y x 的距离相等的点的轨迹是抛物线；⑤已知(3,4),(0,1),a b ==-则a 在b 方向上的投影为4。

其中，正确命题的序号是 。

（把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.学科7．(本大题满分12分)已知函数x c x b a x f 2cos 2sin )(++=的图象经过点A(0，1)．B(4π，1)，且当]40[π，∈x 时，)(x f 的最大值为122-．(1)求)(x f 的解析式；(2)是否存在向量m ，使得将)(x f 的图象按照向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，请求出满足条件的一个m ；若不存在，请说明理由．8．（本小题满分12分）在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。

（1）通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；（2）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ（ξ所有取值为0，1，2，3．．．，P 0.05①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中9环的概率； ②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．9．(本大题满分12分)某种出口产品的关税税率t ．市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：2))(1(2b x kt p --=，其中k ．b 均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． (1)试确定k ．b 的值；(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：x q -=2．P = q 时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 10．（本题满分12分）等差数列{}n a 中，11a =，n S 为其前n 项和，等比数列{}n b 的公比q 满足1<q ，n T 为其前n 项和，若21624,233S b S T ==+ 又12(1)b q =- (1)求{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)若 ,,,654332211a a a c a a c a c ++=+==，求n c 的表达式； (3)若()f n =+ ，求证2()1(2)2n n f n b >+≥。

11．（本小题满分12分）设椭圆)0(1:222>>=+b a by a x C 的一个顶点与抛物线y x C 34:2=的焦点重合，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率⋅=21e 且过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得2-=⋅ON OM .若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦， MN //AB ，求证：||||2MN AB 为定值．12.（本小题满分12分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.(1)试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； (2)求证:n m >；(3)求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.参考答案1．C 2．A 3．C4．}1217121312512{ππππ，，， 5．456 网 6．②③7．(1)由⎪⎩⎪⎨⎧==1)4(1)0(πf f 得：⎩⎨⎧=+=+11b a c a ，即b = c = 1－a ，a x a x f ++-=)42sin()1(2)(π当]40[π，∈x 时，]434[42πππ，∈+x ，]122[)42sin(，∈+πx 当1－a > 0，即a < 1时，122)1(2)(max -=+-=a a x f ，得a = －1当1－a < 0，即a > 1时，12222)1(2)(max -=+⨯-=a a x f ，无解 当1－a = 0，即a = 1时，122)(max -==a x f ，矛盾．故1)42sin(22)(-+=πx x f(2)解：∵x x g 2sin 22)(=是奇函数，且将)(x f 的图象先向右平移8π个单位，再向上平移1个单位，可以得到)(x g 的图象，∴)18(，π=m 是满足条件的一个平移向量．8．（1）从4名运动员中任取两名，其靶位号与参赛号相同，有24C 种方法，另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种，所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为 2444114C P A ⋅==（2）①由表可知，两人各射击一次，都未击中9环的概率为P=（1-0.3）（1-0.32）=0.476∴至少有一人命中9环的概率为p=1-0.476=0.5246.704.0103.092.083.0706.0604.0506.041=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 75.702.01032.0932.082.0705.0605.0504.042=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 所以2号射箭运动员的射箭水平高.9．(1)解：由已知，⎩⎨⎧=--=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧==----1)7)(75.01(0)5)(75.01(222122)7)(75.01()5)(75.01(22b k b k b k b k解得b = 5，k = 1(2)当p = q 时，x x t ---=222)5)(1( 6分∴102511)5(1)5)(1(22-++=-+=⇒-=--xx x x t x x t而xx x f 25)(+=在(0，4]上单调递减 ∴当x = 4时，f (x)有最大值441故当x = 4时，关税税率的最大值为500%．10．（1）设{a n }的公差d,为{b n }的公比为q,则0591204)1(233)(21564221111=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=+q q q b q b b d b d 1-n n n 1)21(b 1,-2n a 2,1,211=====∴<故d b q q … （2）{C n }的前n-1项中共有{a n }中的1+2+3+…(n -1)=2)1(-n n 个项 且{a n }的第12)1(+-n n 项为12+-n n ，故{C n }是首项为12+-n n ，公差为2，项数为n 的等差数列的和。

3222)1()1(n n n n n n C n =⋅-++-=∴ （3）nn f 131211)(++++=)21221121()81716151()4131(211)2(21n n n nb f ++++++++++++++=-- )2(212128144122111≥+=⨯++⨯+⨯++>-n nn n … 本题第（3）问还可用数学归纳法做.11. 解：椭圆的顶点为)3,0(，即3=b21==a c e ，所以2=a ， ∴椭圆的标准方程为22143x y += （2）由题可知,直线l 与椭圆必相交.①当直线斜率不存在时，经检验不合题意。

②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)M x y ，22(,)N x y .由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=，2122834k x x k +=+，212241234k x x k-⋅=+， ]1)([21212212121++-+=+=⋅x x x x k x x y y x x=243125)143843124(43124222222222-=+--=++-+-++-kk k k k k k k k 所以2±=k ，故直线l 的方程为)1(2-=x y 或)1(2--=x y 7分（3）设),(),,(2211y x N y x M ,),(),,(4433y x B y x A由（2）可得： |MN|=]4))[(1(||1212212212x x x x k x x k -++=-+=2222222243)1(12)]43124(4)438)[(1(kk k k k k k ++=+--++. 由⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 13422消去y ，并整理得：224312k x += ， |AB|=2243243)1(34||1k k x x k ++=-+，∴443)1(1243)1(48||||22222=++++=k k k k MN AB 为定值 12. (1)解:因为2()(33)(23)(1)x x x f x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<,所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1) 上递减欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤(2)证:因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,所以()f x 在1x =处取得极小值e又213(2)f e e -=<,所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f - 从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n <………………7分(3)证:因为0'2000()x f x x x e=-,所以0'20()2(1)3x f x t e =-即为22002(1)3x x t -=-,令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-,所以①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解③当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解； 当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或, 所以()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-,且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；当14t <<时,有两个0x 适合题意．。