数字信号处理教程课后习题及答案

试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
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T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
a
m=−∞
1− a
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：
( a ) x ( n ) = A cos( 3π n − π )
7
8
( b ) x ( n ) = A sin( 13 π n ) 3
=
1 a
[
y
2
(0)
−
x2 (0)]
=
0
y2
(−2)
=
1 a
[
y2
(−1)
−
x2
(−1)]
=
0
┇
y2
(n)
=
1 a
[
y2
(n
+
1)
−
x2
(n
+
1)]
=
0
综上 i), ii) 可得： y2 (n) = a n−1u(n − 1)
由 (a) , (b) 结果可知，
x(n) 与 x2 (n)是移一位的关系，但 y1 (n) 与 y２(n) 不是移一位的关系，所以在 y(0) = 0 条件下，系统不是移不变系统。
y2 (2) = ay 2 (1) + x2 (2) = a
┇
y2 (n) = ay2 (n − 1) + x2 (n) = a n−1
∴ y2 (n) = a n−1 , n ≥ 1
ii)向 n < 0 处递推 ，按变换后的 y2 (n)
y2
( n)
=
1 a
[
y2
(n
+
1)
−
x2
(n
+
1)]
y2 (−1)
,
(2)x(n) = R3(n)
,
(3)x(n) = δ (n − 2) ,
(4)x(n) = 2n u(−n − 1) ,
h(n) = R5(n) h(n) = R4 (n) h(n) = 0.5n R3(n) h(n) = 0.5n u(n)
分析：
①如果是因果序列 y (n ) 可表示成 y (n ) ={ y (0) ， y(1) ， y(2) ……}，例如小题（2）为
∴所给系统在 y(0) = 0 条件下是线性系统。
6.试判断:
是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， T [a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )] = a1T [ x1 (n )] + a2T [ x2 (n )] 移不变性：输入与输出的移位应相同 T[x(n-m)]=y(n-m)。
j sin(
n 6
−π)
=
− cos
n 6
−
j sin
n 6
2π /ω 0 = 12π 5. 设系∴统是差非分周方期程的为。:
T 是无理数
y (n ) = ay (n − 1) + x(n )
其中 x(n) 为输入, y(n) 为输出。当边界条件选为
(1) y(0) = 0 (2) y(−1) = 0
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目录
第一章 离散时间信号与系统 第二章 Z 变换 第三章 离散傅立叶变换 第四章 快速傅立叶变换 第五章 数字滤波器的基本结构 第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第七章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法 第八章 数字信号处理中有限字长效应
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第一章 离散时间信号与系统
③ 一定要注意某些题中在 n 的不同时间段上求和范 围的不同
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解:
∞
y(n) = x(n) * h(n) = ∑ x(m)h(n − m) m=−∞
(1) 当n < n0时
y(n) = 0
(2) 当 n0 ≤ n ≤ n0 + N −1 时 ,部分重叠
n
y(n) = ∑ x(m)h(n − m)
m=n0
(c)
x (n )
=
e
j
(
n 6
−π )
分析：
序列为 x (n ) = A cos( ω 0n + ψ ) 或 x(n) = A sin( ω 0n +ψ ) 时，不一定是周期序列，
①当 2π / ω 0 = 整数，则周期为 2π / ω 0 ；
7
②当 2π = P ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期 为 Q ； ω0 Q
m = −∞
3
3 .已知 h(n) = a −nu(−n − 1) , 0 < a < 1 ，通过直接计算卷积和的办法，试确定 单位抽样响应为 h(n) 的线性移不变系统的阶跃响应。
解:
x(n) = u(n)
h(n) = a −nu(−n − 1) , 0 < a < 1
y(n) = x(n) * h(n)
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
（4）相加，求得一个 n 的 y(n) 值 ，如此可求得所有 n 值的 y(n) ;
(3) 当 n ≥ n0 + N − 1 时 , 全重叠
n
y(n) = ∑ x(m)h(n − m)
m = n- N +1
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n−N +1
n
n βm
n0
α
m=n−N +1
( ) ( ) = α n β −n0
β α
− n − N +1
β
α
1−
T [x(n − m)] = [x(n − m)]2 y(n − m) = [x(n − m)] 2 即 T [x(n − m)] = y(n − m)
∴ 系统是移不变的
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( ) y1(n)
=
x1(n)sin
2π 9
+
π 7
( ) y2(n)
=
x2 (n)sin
2π 9
+
π 7
解：(3)
y(n)
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c) 设 x(n) = δ (n) + δ (n − 1)
i)向n > 0 处递推
y3 (1) = ay3 (0) + x3 (1) = 1 y3 (2) = ay3 (1) + x3 (2) = a y3 (3) = ay3 (2) + x3 (3) = a2
┇ y3 (n) = ay3 (n − 1) + x3 (n) = a n−1 ∴ y3 (n) = a n−1 , n ≥ 1 ii)向 n < 0 处递推
解：(1 )
n
y(n) = ∑ x(m ) m = −∞
n
y1 (n ) = T [x1 (n )] = ∑ x1 (m ) m = −∞
y2 (n ) = T [x2 (n )] =
n
∑ x2 (m )
m = −∞
n
ay1(n)+ by2 (n) = ∑[ax1(m) + bx2 (n)] m = −∞
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
m=n0
m
( ) ( ) = α n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
பைடு நூலகம்α β =
− n +1− n0
n +1− n0
, α≠β
α −β
y(n) = α n−n0 (n + 1− n0 ) , (α = β )
y3
(−1)
=
1 a
[
y3
(0)
−
x3
(0)]
=
−a
−1
y3 (−2)
=
1 a
[ y3 (−1)
−
x3 (−1)]
=
−a −2
┇
y3 (n)
=
1 a
[y3 (n
+ 1)
−
x3 (n
+
1)]
= −an ,
n ≤ −1
综上 i), ii) 可得：
y3 (n) = a n−1u(n − 1) − a nu(−n − 1) = y1 (n) + y2 (n)
+ 1)
−
x1 (n
+ 1)]
=
−a n
综上 i) , ii) 可知： y1 (n) = −a nu(−n − 1)
(b) 设 x(n) = δ (n − 1)
i)向 n > 0 处递推 ，
按 y2 (n) = ay 2 (n − 1) + x2 (n)
y2 (1) = ay 2 (0) + x2 (1) = 1
数字信号处理教程课后习题及答案目录第一章离散时间信号与系统第二章z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应iir数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应fir数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应请用公式表示
数字信号处理教程 课后习题及答案
=
x(n)sin⎜⎝⎛
2π 9
+
π 7
⎟⎠⎞
ay1(n)+ by2 (n)
=
ax1(n
)
sin(
2π 9
+
π 7
)
+
bx2
(n)
sin(
2π 9
+
π 7
)
7. 试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的？
( ) T[x(n
−
m )] =
x(n
−
m)sin
2π 9
+
π 7
( ) y(n
− m)=
ay1(n)+ by2 (n) = [ax1(n)] 2 + [bx1(n)] 2
∴ 系统不是线性系统
T [ax1(n)+ bx2 (n)] = [ax1(n) + bx2 (n)] 2 = [ax1(n)] 2 + [bx2 (n)] 2 + 2abx1(n)x2 (n) 即T [ax1(n)+ bx2 (n)] ≠ ay1(n)+ by2 (n)
y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = 0 y1 (2) = ay1 (1) + x1 (2) = 0
┇
8
y1(n) = ay1(n − 1) + x1(n) = 0 ∴ y1 (n) = 0 , n ≥ 0 ii) 向 n < 0 处递推，将原方程加以变换
y1(n + 1) = ay1(n) + x1(n + 1)
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
则
y1 (n)
=
1 a
[ y1 (n
+ 1)
−
x1 (n
+ 1)]
因而
y1 (−1)
=
1 a
[
y1
(0)
−
x1 (0)]
=
−a −1
y1 (−2)
=
1 a
[
y1
(−1)
−
x1 (−1)]
=
−a−2
y1 (−3)
=
1 a
[
y1
(−2)
−
x1 (−2)] =
−a −3
┇
y1 (n)
=
1 a
[ y1 (n
y (n ) ={1，2，3，3，2，1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时， n 的分段处理。
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解：(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
③当 2π / ω 0 = 无理数 ，则 x ( n ) 不是周期序列。
解：(a ) x(n) = A cos( 3π n − π ) 78
2π
/ω0
= 2π
/ 3π 7
= 14 3
∴ 是周期的 , 周期为 14 。
(b)x(n) = A sin(13 πn) 3
(c)∴2xπ(是n/)周ω=0期e=j的(2n6π，− /周π1)33期=π是c=os61(6。36n − π ) +
x(n
− m)sin
2π 9
+
π 7
即 T [x(n − m)] = y(n − m)
∴系统是移不变的
T [ax1(n) + bx2 (n)]
=
[ax1
(n)
+
bx2
(n
)]sin(
2π 9
+
π 7
)
即有 T [ax1(n)+ bx2 (n)]
= ay1(n) + by2 (n)