交通流理论-排队论

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第四章 交通流理论
第二节 排队论的应用
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列 即排队的现象，以及合理协调需求与服务关系的一种数学理 论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随 机服务系统理论”。 典型的例子——食堂排队； 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工 程师爱尔朗首先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电 话机既能满足通话需求而又不致设线过多。第二次世界大战 以后，排队论在很多领域内被采用。在交通工程中，对于研 究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油站等 交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年亚当斯 （Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误 问题，1951年唐纳予以推广应用，1954年伊迪（ Edie ）应 用排队模型估计收费亭的延误。同年在摩斯柯维茨的报告中， 将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。
为叙述方便，引用下列符号，令 M代表泊松分布输入或负指数分布服务； D代表定长分布输入或定长分布服务； Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排 队系统可以写成M/M/N； 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写 成M/D/1。 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先 服务，单个服务通道的等待制系统。

1


(1 ) 2
7)系统中的平均消耗时间 d

1
8)排队中的平均等待时间 d w

例2今有一停车场，到达率 为60辆 / h，服从泊松分布。停车 场的服务能力为
为100辆 / h，服从负指数分布。其 单一的出入车道可存车 辆，问该数量 6
是否合适？ 解：这是一个 / M / 1排队系统问题 M
设顾客平均到达率为 ，则到达的平均时距为 / 。排队从单通道服务后 1 通过接受 服务后通过的平均服务 率为，则平均服务时间为 / 。比率 / 叫做服务强度 1 或交通强度，可以确定 系统的状态。所谓状态 ，指的是排队系统的顾 客数。 1)在系统中没有顾客的概 率为P(0) 1 2)在系统中有n个顾客的概率为 (n) n (1 ) P 3)系统中的平均车辆数 n 4)系统中的平均方差 2 5)平均排队长度 n q 6)非零平均排队长度 w q 1 1 n
n 1 6
计算结果表明排队车辆 数超过6辆的可能性极小，故可 认为该出入道的 存车量是合理的。
四、M/M/N系统
1.计算公式 设为进入多通道服务系统 车辆的平均到达率，排 队行列从每个服务台 接受服务后的平均输出 率为，则每个服务台的平均 服务时间是 / 。 1 仍记 / ，则 / N称为M / M / N系统的服务强度或交通 强度，亦可称 为饱和度。和M / M / 1相仿，当 / N 1时系统是稳定的，否则 不稳定，排 队长度将趋向于无穷大 。 M / M / N系统根据车辆排队方式 的不同，可分为： 1 ）单路排队多通道服务 ：指排成一个队等待数 条通道服务的情况，排 队 中头一车辆可视哪条通 道有空就到哪里去接受 服务； 2）多路排队多通道服务 ：指每个通道各排一个 队，每个通道只为其相 应 的一队车辆服务，车辆 不能随意换队。此种情 况相当于N个M / M / 1系统 组成的系统，其计算公 式亦相同。 对于单路排队多通道服 务的M / M / N系统，计算公式如下：


2400 / 4 1 辆/ s 3600 6

1 辆/ s 5
5 1，系统稳定 6
n

(1 )

5/ 6 5辆 1 5 / 6
q n 5 5 / 6 4.17辆
d n


5 30 s / 辆 1/ 6
d
1

30 5 25s / 辆
2)排队系统的3个组成部分： (3)服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾客， 每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客， 也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。 服务时间的分布主要有如下几种： ①定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物品）； ②负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相 同的负指数分布(看病)； ③爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相 同的爱尔朗分布。
1

5 5 10s / 辆
两种系统比较
4个M/M/1
平均车辆数 平均排队长 平均耗时 平均等候时间 20 16.68 30 25
M/M/4
6.6 3.3 10 5
四、简化的排队延误分析方法
交通工程师在应用数学上成熟的排队论之外，还对交通拥挤 现象以简化的方式作过分析，前提：假定在某一持续时间内 车辆的出入是均一的。 例：有一公路与铁路的交叉口，火车通过时，栅栏关闭的时 间 tr= 0.1h。已知公路上车辆以均一的到达率 ＝900(辆／h) 到达交叉口，而栅栏开启后排队的车辆以均一的离去率u＝ 1200(辆／h)离开交叉口。试计算由于关闭栅栏而引起的： 单个车辆的最长延误时间tm， 最大排队车辆数Q， 排队疏散时间t 0， 排队持续时间t j 受限车辆总数n， 平均排队车辆数 Q ， 单个车辆的平均延误时间 d ， 车时总延误D。
(3)系统中的平均车辆数： P(0) n . N! N (1 / N ) 2
N 1
（4）平均排队长度：
q n
(5)系统中的平均消耗时间 ：
d q


1


n

(6)排队中的平均等待时间 ：

q

例3. 一加油站，今有2400辆/h的车流量通过4个通道引 向4个加油泵，平均每辆车加油时间为5s，服从负指数 分布，试按多路多通道系统（4个M/M/1系统 ）单路 多通道系统（M/M/4系统）计算各相应指标。 解： 按4个M/M/1系统由题意可知：
2)排队系统的3个组成部分： (2)排队(规则)指到达的顾客按怎样的次序接受服 务。例如： 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该 顾客就自动消失，永不再来。 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他 们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服 务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、 消防车优先)等多种规则。 混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队 伍；若队伍长等于L，顾客就离去，永不再来。
二、排队论的基本原理
1．基本概念 1) “排队”与“排队系统”的概念 “排队”—单指等待服务的，不包括正在被服务的； “排队系统”—既包括等待服务的，又包括正在被服务的车辆。
排队的车辆
排队系统 中的车辆
排队的 排队系统
8辆车 10辆车
2)排队系统的3个组成部分：
输入 排队 输出
(1)输入过程就是指各种类型的“顾客(车辆或行 人)”按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程， 例如： 定长输入：顾客等时距到达。 泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。这种 输入过程最容易处理，因而应用最广泛。 爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
图中虚线为到达车辆累积数，实线为离去车辆累积数。两曲 线的水平间隔即为某车的延误时间，垂直间隔为某一时刻的 受阻(排队)车数。两曲线围成的面积即为总延误车时数。在 此图上用几何方法亦不难求出上例的各项指标。
用类似的方法 可以分析信号灯交叉口 还 车辆的排队和延误， 但应该指出的是，用此法求出 的最大排队车辆数偏低 。 其原因是： 栅栏关闭期间， 车辆的停车位置是向上游 延伸的， 各车的停车时刻早于栅栏开 启情形下到达交叉口的 时刻， 这样，排队的延长率就 大于， 最大排队车辆数也就大 t r。 于
k
4
1 0.0213 16.0617 30.8642
10 3 . 0.0213 3.3辆 q 2 4!4 5 1 6
5
10 n q 3.3 6.6辆 3
3.3 5s / 辆 2 3 q
d
解： 栅栏刚关闭时到达的那辆车的延 误时间最长为 t m＝t r＝0.1h 栅栏关闭期间，车辆 只有到达没有离去，因 此栅栏刚开启时排队的 车辆数最多为 Q＝t r＝900 0．＝90辆 1 栅栏开启后，排队车辆的头车以离去率疏散离去， 而队尾以到达率 向后延长，因此排队的 净疏散率为 - ， 疏散时间为 Q 90 t0 0.3h - 1200 900 排队持续时间等于栅栏 关闭时间加上疏散时间 t j 0.1 0.3 0.4h 为 疏散时间内离去的总车 辆数为受阻车辆总数 0.3 1200 360辆 n 平均排队车辆数 0.5Q 45辆 Q 单个车辆的平均延误时 间为d 0.5t r 0.5 0.1 0.05h 车时总延误为D d 360 0.05 18辆 h
在M / M / N排队系统中，服务通道 N条，所以也叫“多通道 有 服务”系统。
多通道服务方式
(1)系统中没有车辆的概率 为： 1 P (0) N 1 k N k! N !(1 / N ) k 0 ( 2)系统中有 个车辆的概率： k k .P (0), k! P（k） k P (0), N! N k N k N k N
60辆 / h， 100辆 / h / 60 / 100 0.6 1，系统是稳定的。
因出入道存车量为 辆，如果超出 辆的概率很小时（一般 6 6 认为小于5%），则 认为合适，否则认为不 合适。 P(0) (1 ) 1 0.6 0.4，P(1) (1 ) 0.6 0.4 0.24 P(2) 2 (1 ) 0.6 2 0.4 0.14，P(3) 0.63 0.4 0.09 P(4) 0.6 4 0.4 0.05，P(5) 0.65 0.4 0.03 P(6) 0.66 0.4 0.02 P( 6) 1 P( 6) 1 P(n) 1 0.97 0.03
按单路多通道系统M/M/4计算：

2400 2 辆/ s 3600 3
1 辆/ பைடு நூலகம் 5
10 3
P（0） 1
10 5 1，系统稳定 N 3 4 6

10 10 3 3 3 k! 5 k 0 4!1 6
3)排队系统的主要数量指标 最重要的数量指标有3个： (1)等待时间即从顾客到达时起到他开始接受服务 时止这段时间。 (2)忙期即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务 台的工作强度。 (3)队长（顾客数）有排队顾客数与排队系统中顾 客之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡 量。
三、M/M/1系统—单通道服务系统