甘肃省2019年中考[数学]考试真题与答案解析

甘肃省2019年中考[数学]考试真题与答案解析
一、选择题
本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2 B．C．D．
【知识考点】算术平方根；无理数．
【思路分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【解题过程】解：＝3，
则由无理数的定义可知，属于无理数的是．
故选：D．
2．若α＝70°，则α的补角的度数是（ ）
A．130° B．110° C．30° D．20°
【知识考点】余角和补角．
【思路分析】根据补角的定义，两个角的和是180°即可求解．
【解题过程】解：α的补角是：180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
3．若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）
A．2B．3 C．3D．4
【知识考点】算术平方根．
【思路分析】根据算术平方根的定义解答．
【解题过程】解：∵正方形的面积是12，
∴它的边长是＝2．
故选：A．
【总结归纳】本题考查了算术平方根，解题的关键是利用了正方形的性质和算术平方根的定义．
4．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）
A．B．C．D．
【知识考点】简单几何体的三视图．
【思路分析】根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图矩形判断即可．
【解题过程】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；
正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；
三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；
故选：C．
5．下列各式中计算结果为x6的是（ ）
A．x2+x4B．x8﹣x2C．x2•x4D．x12÷x2
【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．
【思路分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．
【解题过程】解：x2与x4不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此A 选项不符合题意；
同理选项B不符合题意；
x2•x4＝x2+4＝x6，因此选项C符合题意；
x12÷x2＝x12﹣2＝x10，因此选项D不符合题意；
故选：C．
6．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.24米B．1.38米C．1.42米D．1.62米
【知识考点】黄金分割．
【思路分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．
【解题过程】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴≈0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.24米．
故选：A．
7．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0
【知识考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解．
【思路分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．
【解题过程】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：
m﹣2+4﹣m2＝0，
﹣m2+m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣1，
故选：B．
8．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【知识考点】全等图形；菱形的性质；解直角三角形的应用．
【思路分析】连结AE，根据全等的性质可得AC＝20cm，根据菱形的性质和等边三角形的判定可得△ACB是等边三角形，再根据等边三角形和菱形的性质即可求解．
【解题过程】解：连结AE，
∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由
三个全等的菱形构成，
∴AC＝20cm，
∵菱形的边长AB＝20cm，
∴AB＝BC＝20cm，
∴AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠DAB＝120°．
故选：C．
9．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（ ）
A．2B．C．2D．
【知识考点】圆周角定理．
【思路分析】先根据圆周角得：∠BAC＝∠D＝90°，根据勾股定理即可得结论．
【解题过程】解：∵点D在⊙O上且平分，
∴，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠D＝90°，
∵AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
∵点D在⊙O上，且平分，
∴DC＝BD．
Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，
∴2DC2＝20，
∴DC＝，
故选：D．
10．如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P 从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（ ）
A．4B．4 C．3D．2
【知识考点】动点问题的函数图象．
【思路分析】连接AE，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE ＝2，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解题过程】解：如图，连接AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，
由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，
∵AE＝2，∴x2+（2x）2＝（2）2，
解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），
∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4，故选：A．
二、填空题
11．如果盈利100元记作+100元，那么亏损50元记作 元．
【知识考点】正数和负数．
【思路分析】根据盈利为正，亏损为负，可以将亏损50元表示出来，本题得以解决．
【解题过程】解：∵盈利100元记作+100元，
∴亏损50元记作﹣50元，
故答案为：﹣50．
12．分解因式：a2+a＝ ．
【知识考点】因式分解﹣提公因式法．
【思路分析】直接提取公因式分解因式得出即可．
【解题过程】解：a2+a＝a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
13．暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．
原价： 元
暑假八折优惠，现价：160元
【知识考点】一元一次方程的应用．
【思路分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解题过程】解：设广告牌上的原价为x元，
依题意，得：0.8x＝160，解得：x＝200．故答案为：200．
【总结归纳】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．要使分式有意义，x需满足的条件是 ．
【知识考点】分式有意义的条件．
【思路分析】当分式的分母不为零时，分式有意义，即x﹣1≠0．
【解题过程】解：当x﹣1≠0时，分式有意义，
∴x≠1，
故答案为x≠1．
15．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有 个．
【知识考点】利用频率估计概率．
【思路分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【解题过程】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
∵假设有x个红球，
∴＝0.85，
解得：x＝17，
经检验x＝17是分式方程的解，
∴口袋中红球约有17个．故答案为：17．
16．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，），则点E的坐标为 ．
【知识考点】坐标与图形变化﹣平移．
【思路分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解题过程】解：∵A（3，），D（6，），
∴点A向右平移3个单位得到D，
∵B（4，0），
∴点B向右平移3个单位得到E（7，0），
故答案为（7，0）．
17．若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为　cm （结果保留π）．
【知识考点】弧长的计算；扇形面积的计算．
【思路分析】首先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积＝lR，即可得出弧长．
【解题过程】解：设扇形的半径为R，弧长为l，
根据扇形面积公式得；＝，
解得：R＝1，
∵扇形的面积＝lR＝，
解得：l＝π．故答案为：．
18．已知y＝﹣x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是 ．
【知识考点】规律型：数字的变化类；二次根式的性质与化简．
【思路分析】直接把已知数据代入进而得出变化规律即可得出答案．
【解题过程】解：当x＜4时，
原式＝4﹣x﹣x+5＝﹣2x+9，
当x＝1时，原式＝7；
当x＝2时，原式＝5；
当x＝3时，原式＝3；
当x≥4时，原式＝x﹣4﹣x+5＝1，
∴当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是：
7+5+3+1+1+…+1＝15+1×2017＝2032．
故答案为：2032．
三、解答题（一）
19．计算：（2﹣）（2+）+tan60°﹣（π﹣2）0．
【知识考点】平方差公式；零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．
【思路分析】直接利用乘法公式以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别
化简得出答案．
【解题过程】解：原式＝4﹣3+﹣1
＝．
【总结归纳】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
20．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．
【解题过程】解：解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，
解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
【知识考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．
【思路分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．
（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF 和AC的数量关系及位置关系．
【解题过程】解：（1）如图，①BE即为所求；
②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴线段EF和AC的数量关系为：EF＝AC，位置关系为：EF∥AC．
22．图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝﹣﹣铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志．在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑．某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
课题测量“马踏飞燕“雕塑最高点离地面的高度
测量
示意图如图，雕塑的最高点B 到地面的高度为BA ，
在测点C 用仪器测得点B 的仰角为α，前进
一段距离到达测点E ，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在
同一竖直平面内，点A ，C ，E 在同一条直
线上．
α的度数β的度数CE 的长度仪器CD （EF ）的高度测量
数据31°42°5米 1.5米
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕
”雕塑最高点离地面的高度
（结果保留一位小数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【思路分析】在两个直角三角形中，用BG 表示DG 、FG ，进而用 DG ﹣FG ＝DF ＝5列方程求出BG 即可．
【解题过程】解：如图，延长DF 与AB 交于点G ，
设BG ＝x 米，在Rt △BFG 中，
FG ＝＝，
在Rt△BDG中，
DG＝＝，
由DG﹣FG＝DF得，
﹣＝5，
解得，x＝9，
∴AB＝AG+BG＝1.5+9＝10.5（米），
答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5米．
23．2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．
（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？
（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
【知识考点】概率公式；列表法与树状图法．
【思路分析】（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”只有1种，因此可求出概率；
（2）列表法表示所有可能出现的结果，进而求出概率．
【解题过程】解：（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”的概率是；
（2）从A，B，C，D四个景区中任选两个景区所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中选择A、D两个景区的有2种，
∴P（选择A、D）＝＝．
四、解答题（二）
24．习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”．兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”．近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片．如图是根据兰州市环境保护局公布的2013～2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．
请结合统计图解答下列问题：
（1）2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了 天；
（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天；
（3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；
（4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上．试计算2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．
【思路分析】（1）根据折线统计图可得2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加的天数；
（2）先将这七年的全年空气质量优良天数从小到大排列，即可得中位数；（3）根据表格数据利用加权平均数公式即可求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；
（4）用80%×366即可得兰州市空气质量能达标的优良天数．
【解题过程】解：（1）∵296﹣270＝26，
∴2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天；
故答案为：26；
（2）∵这七年的全年空气质量优良天数分别为：
213，233，250，254，270，296，313，
∴这七年的全年空气质量优良天数的中位数是254天；
故答案为：254；
（3）∵＝（213+233+250+254+270+296+313）≈261（天），
则这七年的全年空气质量优良天数的平均天数为261天；
（4）∵全年空气质量优良天数比率达80%以上．
∴366×80%＝292.8≈293（天），
则兰州市空气质量优良天数至少需要293天才能达标．
25．通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：
x…012345…y…632 1.5 1.21…（1）当x＝ 时，y＝1.5；
（2）根据表中数值描点（x，y），并画出函数图象；
（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： ．
【知识考点】函数值；函数的图象；函数的表示方法．
【思路分析】（1）观察函数的自变量x与函数值y的部分对应值表可得当x＝3时，y＝1.5；
（2）根据表中数值描点（x，y），即可画出函数图象；
（3）观察画出的图象，即可写出这个函数的一条性质．
【解题过程】解：（1）当x＝3时，y＝1.5；
故答案为：3；
（2）函数图象如图所示：
（3）观察画出的图象，这个函数的一条性质：
函数值y随x的增大而减小．
故答案为：函数值y随x的增大而减小．
26．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若DE＝2，求⊙O的半径．
【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．
【思路分析】（1）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，再由等腰三角形的性质得∠OAB＝∠ABE＝∠E，再由三角形内角和定理求得∠OAB，进而得∠AOB，最后由圆周角定理得∠ACB的度数；
（2）设⊙O的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可．
【解题过程】解：（1）连接OA，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠OAE＝90°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，
∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，
∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，
∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，
∴2OA＝OE，即2r＝r+2，
∴r＝2，
故⊙O的半径为2．
27．（8分）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．
【思路分析】（1）想办法证明∠MAE＝∠MAN＝45°，根据SAS证明三角形全等即可．
（2）设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解题过程】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN，
∵MA＝MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）．
（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM＝MN，
∵BE＝DN，
∴MN＝BM+DN＝5，
∵∠C＝90°，
∴MN2＝CM2+CN2，
∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，
解得，x＝6或﹣1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC ＝8OB，则OA＝4，OB＝，确定点A、B、C的坐标；即可求解；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；
（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA，即可求解．
【解题过程】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；
则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，
当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，
设P（x，x2+﹣2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，
则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．。