回归分析的基本思想及其初步应用第二、第三课时1
回归分析的基本思想及其初步应用
ljzh.2001@
问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？ 问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？
(1)我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。 我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。 我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据
ljzh.2001@
四、教学情境设计
问题一：结合例 得出线性回归模型及随机误差 得出线性回归模型及随机误差。 问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数
模型和回归模型。 模型和回归模型。
问题二：在线性回归模型中， 是用 是用bx+a预报真实值 的随机误差， 预报真实值y的随机误差 问题二：在线性回归模型中，e是用 预报真实值 的随机误差， 它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？ 它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？ 问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？ 问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？ 问题四：结合例 思考 用回归方程预报体重时应注意什么？ 思考： 问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？ 问题五：归纳建立回归模型的基本步骤。 问题五：归纳建立回归模型的基本步骤。 问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2） 问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例 ） ？（分析例
ljzh.2001@
问题一：结合例 得出线性回归模型及随机误差 得出线性回归模型及随机误差。 问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数
模型和回归模型。 模型和回归模型。 由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近， 由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高 和体重的关系可以用线性回归模型来表示： 和体重的关系可以用线性回归模型来表示：
《回归分析的基本思想及其初步应用》课件2
问题六：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例 2）
问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区 分函数模型和回归模型。
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
i 1
i 1
i 1
从上中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即
R20.64，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随机误
差贡献了剩余的36%。
所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。
问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？
1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。 2.我们建立的回归方程一般都有时间性。 3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。
函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般 的情况
问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻 划之间的关系呢？
2、最小二乘估计 最小二乘估计下的线性回归方程：
yˆ bˆx aˆ
n
(xi X )( yi Y )
bˆ i1 n
(Xi X )2
i1
aˆ Y bˆX
字特征
析
问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？ 不相关
1、两个变量的关系
函数关系
线性相关 相关关
系 非线性相关
相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时， 因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关 系。
高中数学《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》教案2 新人教A版选修1-2
11.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑. 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑. （2）学习要领：①注意i y 、 i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()n n ni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数 22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题：为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论. （答案：52211521()155110.8451000()i i i ii y y R y y ==-=-=-=-∑∑，221R =-521521()18010.821000()iii ii y y y y ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.第三课时。
3.1回归分析的基本思想及其初步应用(优秀课件)
xi
nx y
i
i1
n
xi2
n
2
x
,
i1
i1
aˆ y bˆx
其中x
1 n
n i 1
xi , y
n i 1
yi .x, y 称为样本点的中心
1、回归直线方程
1、所求直线方程叫做回归直线方程； 相应的直线叫做回归直线。
2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
n
n
y bˆ
(xi
i1 n
x)(yi y) (xi x)2
xi
i1
n
xi2
nx y
i
,
2
nx
i1
i1
aˆ y bˆx
2、求回归直线方程的步骤：
(1)求x
1 n
n i 1
xi , y
1 n
n i 1
yi
n
n
(2)求 xi2 , xi yi. n
n
i 1
i 1
y (xi x)(yi y)
xi
nxy
我们可以通过残差 e$1,e$2,L ,e$n 来判断模型拟合的效果， 判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为 残差分析。
表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
编号 身高 体重/kg 残差
1 165 48
-6.373
2 165 57
2.627
34 157 170 50 54
i
b i1 n
（3）代入公式
(xi x)2
i1
i1 n
xi2
2
nx
,
i1
^
a y bx,......(1)
回归分析的基本思想及其初步应用
回归分析的基本思想及其初步应用2 回归分析的基本思想及其初步应用教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.教学过程：一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.二、讲授新课：教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即 .残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即 .回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即 .（2）学习要领：①注意、、的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.2. 教学例题：例2 关于与有如下数据：2 4 5 6 830 40 605070为了对、两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：，，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论。
2-3 3.1回归分析的基本思想及初步应用
学校：临清二中 学科：数学 编写人：赵孝金 审稿人:马英济3．1.1回归分析的基本思想及其初步应用【教学目标】1.了解回归分析的基本思想方法及其简单应用. 2.会解释解释变量和预报变量的关系. 【教学重难点】教学重点：回归分析的应用.教学难点： a、b 公式的推到. 【教学过程】一、设置情境，引入课题引入：对于一组具有线性相关关系的数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y 其回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：ay b x =- 121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑11nii x xn==∑ 11ni i y y n==∑(,)x y 称为样本点的中心。
如何推到着两个计算公式？二、引导探究，推出公式从已经学过的知识，截距 a和斜率b 分别是使21(,)()ni i i Q y x αββα==--∑取最小值时,αβ的值，由于212212211(,)[((]{[(2[([(][(]}[(2[([(](nii i nii i i i nnii i i i i Q yx y x y x yx y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x n y x αββββαβββββαβαβββββαβα=====-----=---+-----+--=---+-----+--∑∑∑∑ ）+））]）]）））]）]））因为1111[((([(([(]([(]0,nnii i i i i nni i i i yx y x y x y x y x y x y x y x n y x y x n y n x n y x βββαβαβββαβββαββ====-----=-----=-----=-----=∑∑∑∑）]）））]））））所以2212222111222221122111[([(]()2()()()(()()[()()](()[]()()()nii i nnnii i ii i i nnii i i ni i iinni i iii i Q yx y x n y x xx x x y y yy n y x xx y y x x y y n y x xx yy xx xx αββββαβββαβαβ==========---+--=----+-+------=--+---+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑（，））]）））1n=∑在上式中，后两项和,αβ无关，而前两项为非负数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当前两项的值均为0.，既有121()()()nii i nii xx y y xx β==--=-∑∑ y x αβ=-通过上式推导，可以训练学生的计算能力，观察分析能力，能够很好训练学生数学能力，必须在老师引导下让学生自己推出。
25-3.1回归分析的基本思想及其初步应用(1)
3.1回归分析的基本思想及其应用教材分析本节内容是数学选修2-3 第三章 统计案例 的起始课，是在《数学③（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果；第二课时：从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第一课时的内容.本节课的重点是回归分析的基本方法、随机误差e 的认识、残差，难点是回归分析的基本方法.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果.教学目标重点: 回归分析的基本方法、随机误差e 的认识、残差. 难点：回归分析的基本方法.知识点：回归分析的基本方法、随机误差e 、残差.能力点：如何探寻回归分析的基本方法，数形结合的数学思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用最小二乘法求回归直线方程.考试点：求解线性回归方程，从残差的角度讨论回归模型的拟合效果. 易错易混点：随机误差e 与残差之间的区别与联系.拓展点：从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤.教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课对于一组具有线性相关关系的数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y 其回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：a y bx =- 121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑11n i i x x n ==∑ 11ni i y y n ==∑ (,)x y 称为样本点的中心. 如何推导这两个计算公式？【设计意图】由学生所熟悉的最小二乘法引入新课，消除了学生对新知的恐惧感，引出最小二乘法的中的系数,a b ∧∧的计算公式的推导过程.二、探究新知从已经学过的知识，截距a 和斜率b 分别是使21(,)()niii Q y x αββα==--∑取最小值时,αβ的值，由于212212211(,)[((]{[(2[([(][(]}[(2[([(](ni i i ni i i i i nni i i i i i Q y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x n y x αββββαβββββαβαβββββαβα=====-----=---+---⋅--+--=---+---⋅--+--∑∑∑∑）+））]）]）））]）]））因为1111[((([(([(]([(]0,nniiiii i n ni i i i y x y x y x y x y x y x y x y x n y x y x ny n x n y x βββαβαβββαβββαββ====-----=-----=-----=-----=∑∑∑∑）]）））]））））所以2212222111222221122111[([(]()2()()()(()()[()()](()[]()()()ni i i n n ni i ii i i i nniii i ni i i i nni i iii i Q y x y x n y x x x x x y y y y n y x x x y y x x y y n y x x x y y x x x x αββββαβββαβαβ==========---+--=----+-+------=--+---+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑（，））]）））1n=∑在上式中，后两项和,αβ无关，而前两项为非负数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当前两项的值均为0.，既有121()()()niii nii x x y y x x β==--=-∑∑y x αβ=-通过上式推导，可以训练学生的计算能力，观察分析能力，能够很好训练学生数学能力，必须在老师引导下让学生自己推出.所以：a y bx =- 121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑这正是我们所要推导的公式.三、理解新知准确理解最小二乘法中系数,a b ∧∧的计算公式，以及回归方程的求解过程. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1、 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重的数据如图所示：(1) 画出以身高为自变量x,体重为因变量y 的散点图;(2) 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程;(3) 求预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. 解：（1）由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x ,体重为因变量y 作散点图:（2）0.849,85.712:0.84985.712.b a y x ==-∴=-回归方程(3)对于身高172cm 的女大学生，由回归方程可以预报体重为：0.84917285.71260.316()y kg =⨯-=ˆ0.849b=是斜率的估计值，说明身高x 每增加1个单位时，体重y 就增加0.849 个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系．如何描述它们之间线性相关关系的强弱？【设计意图】通过具体例子让学生感受回归分析思想的应用.最后的问题为接下来引入残差做了铺垫.在必修 3 中，我们介绍了用相关系数；来衡量两个变量之间线性相关关系的方法．本相关系数的具体计算公式为()()niix x y y r --=∑当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当r 的绝对值大于0. 75 时认为两个变量有很强的线性相关关系．165在本例中，可以计算出r =0. 798．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的．显然，身高172cm 的女大学生的体重不一定是60. 316 kg ，但一般可以认为她的体重接近于60 . 316 kg .图3 . 1- 2 中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点．由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直线的附近，所以身高和体重的关系可用下面的线性回归模型来表示：y bx a e =++, ( 3 )这里a 和b 为模型的未知参数，e 是y 与y bx a =+之间的误差．通常e 为随机变量，称为随机误差，它的均值 E (e ）=0，方差D （e ）=2()D e σ=＞0 ．这样线性回归模型的完整表达式为：2,()0,().y bx a e E e D e σ=++⎧⎨==⎩ (4) 在线性回归模型（4）中，随机误差e 的方差越小，通过回归直线y bx a =+ (5)预报真实值y 的精度越高．随机误差是引起预报值y 与真实值y 之间的误差的原因之一，大小取决于随机误差的方差.另一方面，由于公式（1）和（2）中a 和b 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a 和b 之间也存在误差，这种误差是引起预报值y 与真实值y 之间误差的另一个原因．【设计意图】引入随机误差e 后，将回归方程推广到回归模型. 思考:产生随机误差项e 的原因是什么?一个人的体重值除了受身高的影响外，还受许多其他因素的影响．例如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等．事实上，我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么，这里只是利用线性回归方程来近似这种关系．这种近似以及上面提到的影响因素都是产生随机误差 e 的原因．因为随机误差是随机变量，所以可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体特征．均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值为0，因此可以用方差2σ来衡量随机误差的大小．为了衡量预报的精度，需要估计护的值．一个自然的想法是通过样本方差来估计总体方差．如何得到随机变量e 的样本呢？由于模型（3）或（4）中的e 隐含在预报变量y 中，我们无法精确地把它从y 中分离出来，因此也就无法得到随机变量e 的样本．解决问题的途径是通过样本的估计值来估计2σ．根据截距和斜率的估计公式（1）和（2 ) , 可以建立回归方程y bx a =+,因此y 是（5）中y 的估计量．由于随机误差e y y =-，所以e y y =-是e 的估计量．对于样本点（11,x y ) , (22,x y ) ，…， (,n n x y ) 而言，相应于它们的随机误差为,1,2,,i i i i i e y y y bx a i n =-=--=,其估计值为,1,2,,i i i i i e y y y b x a i n ∧∧∧∧=-=--=,i e ∧称为相应于点(,)i i x y 的残差（residual )．类比样本方差估计总体方差的思想，可以用22111(,)(2)22n i i e Q a b n n n σ∧∧∧∧===>--∑ 作为2σ的估计量， 其中a 和b 由公式（1) (2）给出，Q （a ,b ）称为残差平方和（residual sum of squares )．可以用2σ∧衡量回归方程的预报精度．通常，2σ∧越小，预报精度越高．在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，可以通过残差12,,,n e e e ∧∧∧来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析． 【设计意图】引入残差的概念，使学生会运用残差分析的思想分析模型的拟合效果. 表3- 2 列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据．e -6.373 的估计值等，这样作出的图形称为残差图．【设计意图】通过例1的具体数据让学生感受残差分析的应用. 【变式练习】观察两相关变量得如下数据：求两个变量的回归方程. 解：10102110,0,110,110,i i i i i x y x x y ======∑∑10110221101101001,000.11010010i ii i i x y x yb a y b x b x x∧∧∧∧==--⨯∴====-=-⋅=-⨯-∑∑ 所以所求回归直线方程为y x =【设计意图】让学生自己动手解决求回归方程的问题，加深对回归分析思想的印象.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：1．回归直线方程，随机误差及残差．2．思想：回归分析的思想、数形结合的思想、残差分析的思想．教师总结: 公式的证明过程用到了前面两章学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识(如本节的随机误差和残差)的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用． 【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业1．阅读教材P80—84；2．书面作业 P89 习题3.1 1.（1）、（2）、（4）.3．课外思考：如何运用回归分析的思想对未知量进行预报轨迹呢？【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用回归分析的思想，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解回归分析的思想，从而让学生深刻地体会随机误差，残差分析的思想，培养学生回归分析的基本思想，起到承上启下的作用．七、教后反思1.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的证明思路的探寻上下足功夫.2.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计1i nb ==∑bx。
3.1回归分析的基本思想及其初步应用课件人教新课标
为：
( yi yi )2
i 1
称为残差平方和
在例1中，残差平方和约为128.361。
残差分析与残差图的定义：
我们可以通过残差 e1,e2, , en 来判断模型拟合的效果， 判断原始数据中是否存在可疑数据， 这方面的分析工作称为残差分析。
表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
图
• 模型问题
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
n
(yi - yi)2
R2
=1-
i=1 n
(yi - y)2
i=1
显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说
模型拟合效果越好。
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析 变量和预报变量的线性相关性越强）
如总果的某来组说数：据可能采取几种不同回归方程进行回归分
身于高是为有172如bc果m= 的不in=1女(是ixn=大i，1(-x学你xi探)-生能(究xy的)解i2P-体析4y：)重一=一下ii=n1=n定原1xxi是因yi2i-6吗-0nn？.xx32y16=k0g.吗84？9,
a = y - bx = -85.712
所以回归方程是 y 0.849x 85.712
7、一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是 预报变量。
（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，视察它们 之间的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们视察到数据呈线性关 系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
22
3.1回归分析的基本思想及其初步应用(二)
n
★其中：(1)|r|≤1； (2)|r|越接近于1，相关程度越强， |r|越接近于0，相关程度越弱； (3) b 与 r 同号。
3
温故知新
3、线性回归模型：
y bx a e 2 E (e ) 0, D(e )
其中：e是随机误差，均值E(e)=0，方差D(e)=σ2>0 当随机误差e恒等于0时，线性回归模型就变成一 次函数模型。即：一次函数模型是线性回归模型的特
例2、一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7 组观测数据列于下表，试建立y与x之间的回归方程. 温度x/0C 产卵数y/个 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 35
115 325
解：收集数据作散点图：
350 300 250
产卵数
200 150 100 50 0 0 10 20 温度 30 40
(x X i
i 1
i 1
nn
2
i
)x X n
2 2
2
温故知新
2、我们通常用相关系数r来描述两个变量之间 线性相关关系的强弱。
r
x y n xy
i i i1 n 2 2 n 2 2 xi n x yi n y i1 i1
由条件R2分别为0.98和0.80
故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好.
15
习题3.1
A组 1、3
16
殊形式。
4、相关系数r与随机误差e一般有什么关系？
量
ˆ y y ˆ e
样本点： ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), ... ,( xn , yn )
3.1回归分析的基本思想及初步应用2课件
i1 n
.
yi y2
i1
总偏差平方和=残差平方和-回归平方和
残差平方和 回归平方和
在 含 有 一 个线 解性 释模 变 ,R2型 量 恰中 的 好 等 于 相 系r数 的平 . 方
显 然 ,R2取 值 越,意 大味 着 残 差 平 方,也 和就 越是 小说 模 型 的 拟 合 效.果 在越 线好 性 回 归 模 ,R2型 表中 示 解 释 变 量 对 于 预 报化变的量贡变献 .R率 2 越接 近 于 1, 表 示 回 归 的 效(果 因越 为 R2好 越 接 近1,于 表 示 解 释 变 量 和 预 报 变 量 的关线性性越相 ).强 如 果 对 某 组 数 据
它 们 之 间 线 性 的 相 强 关?弱 关 系
在必修 3中,我们介绍了用相r关 来系 衡数 量
两个变量之间线关 性系 相的 关方.样法本相
关系数的具体计为 算公式
n
xi xyi y
r
i1
.
n
n
xi x2yi y2
i1
i1
当r 0 时,表明两个变量正相关;当r 0 时, 表明两个变量负相关.r的绝对值越接近1, 表 明两个变量的线性相关性越强; r越接近于0 时, 表明两个变量之间几乎不存在线性相关 关系.通常,当r大于0.75时认为两个变量有很 强的线性相关关系. 在本例 ,可中 以计r算 0出 .79,8这表明体重 与身高有很强关 的关 线,系 性 从相 而也表明 我们建立的回有 归意 模义 型 . 的 是
探 究 身 高 172 cm的 70
女 大 学 生 的 体 重 一 定 65
是 60.316 kg 吗? 如 果
60 55
不 是,其 原 因 是 什 么? 50 显然,身高172cm的女 45
3-1.1回归分析的基本思想及其初步应用(第3课时)-zyw
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（第三课时）课型:新授 执笔:张一为 时间:2007-3-3学号:__________ 姓名:_____________教学目标：1.由“散点图”选择适当的数据模型，以拟合两个相关变量。
虽然任何两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟合，但不能保证这种拟合模型对数据的拟合效果最好。
为更好地刻画两个变量之间的关系，要根据观测数据的特点来选择回归模型。
2.通过探究使学生认识到：有些 线性模型非线性模型转换−−→− ，即借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系：⎩⎨⎧⇒⇒归模型来拟合数据作变换，在利用线性回区域分布在一个曲线状带形合数据；选用线性回归模型来拟区域分布在一个直线状带形散点图 ①如模型为：12ln 1212lnc x c z lnc x c lny e c y z y x c +=−−−−→−+=−−−→−==转换：令取自然对数②如模型为：212212c t c y c x c y t x +=−−−−→−+==转换：令3.初步体会不同模型拟合数据的效果。
计算不同模型的相关指数，通过比较相关指数的大小来比较不同模型的拟合效果。
（这只是模型比较的一种方法，还有其他方法。
）教学重点:体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。
教学难点：了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数（如“残差平方和”）对不同的模型进行比较优劣。
教学过程：1.回忆：建立模型的基本步骤；2．新课: (例2)①背景分析，画散点图；②观察散点图，分析解释变量与预报变量更可能是什么函数关系；③建立数学模型；④转换：将非线性模型通过变换转化成线性模型；⑤对数据进行变换后，对新数据建立线性模型，求出回归方程；⑥再转换：转化为原来变量的模型（方程），并计算相关指数（“残差平方和”或R 2）,比较两个不同模型的拟合效果。
我的回归分析的基本思想及其初步应用
, nx
2
2 i
ˆ ˆ a y bx
2、求回归直线方程的步骤：
1 n 1 n (1)求 x xi , y yi n i 1 n i 1
(2)求 xi 2 , xi yi .
i 1 i 1 n n
（3）代入公式
b
^
( x x)( y y) x y nx y
注：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表 自变量刻画预报变量的能力。
如何刻画模型拟合的精度？
ˆ ( yi yi ) 2
i 1 n n
相关指数：
R2 1
( yi y )2
i 1
在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关 系数r的平方. R2取值越大，则残差平方和越小，即模型的拟合效果 越好. R2=0.64，表明：“女大学生的身高解释了64％的体 重变化”，或者说“女大学生的体重差异有64％是 由身高引起的”.
a y n b x,......(1) n ( xi x)( yi y) xi y i nx y ^ b i 1 n i 1n ,......(2) 2 2 2 ( xi x) xi nx
i 1 i 1
^
^
1 n 1 n 其中x xi , y yi . ( x, y ) 称为样本点的中心。 n i 1 n i 1
用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。 数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用
( yi y )2 表示总的效应，称为总偏差平方和。
i 1
n
怎样研究随即误差？
假设2:随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图 中所有的点将完全落在回归直线上。
回归分析的基本思想-及其初步应用(教学课件2019)
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郑廷状
数学３——统计内容
1. 画散点图
2. 了解最小二乘法的思想
3. 求回归直线方程 y＝bx＋a
4. 用回归直线方程解决应用问题
徐闻中学
郑廷状
最小二乘法：
ˆ ˆ bx a ˆ y
n n (x -x )(y - y ) x y -n x y i i i i b = i= 1 ˆ = i= 1 , n n 2 2 2 (x -x ) x -n x i i i= 1 i= 1 ˆ a = y -b x . ˆ n 1 n 其 中x= x i ,y = yi. n i= 1 n i= 1 1
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报 一名身高为172cm的女大学生的体重.
ˆ y 故所求回归方程为： 0.849 x 85.712
r=0.798>0.75 表明体重与身高有很强的线性相关性，从 而说明我们建立的回归模型是有意义的.
徐闻中学 郑廷状
例《导与练》P55例2
徐闻中学
郑廷状
i 1
总体偏差平方和
显然，当R2的值越大，说明残差所占的比例越小，回归效果 约好；反之,回归效果越差。一般的，当R2越接近于1,说明解 释变量和预报变量之间的相关性越强,如果同一个问题,采用不 同的回归方法分析,我们可以通过选择R2大的来作为回归模型
徐闻中学 郑廷状
一般方法：
1.利用散点图观察两个变量是否线性相关
n
( yi y )
2
i 1
把所有的这种效应利用总体偏差平方和合并成一个数 解释变量
？
总体偏差平方和
？
徐闻中学 郑廷状
随机误差
我们现在要弄清楚这个总的效应中，有多少来自解释变量， 有多少来自随机误差，即：哪一个效应起决定性作用？
根据我们在《数学3》总的知识，我们知道：每个点与回归方 ˆ ˆ ˆ 程的差异我们可以用 y i y i 来表示，记作：e i y i y i (残差 (residual))它刚好可以表示随机误差的效应。
相关关系的测度
（相关系数取值及其意义）
完全负相关 无线性相关 完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
郑廷状
+1.0
r
负相关程度增加
徐闻中学
某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据 如下表所示. 编号 体重/kg 1 48 2 57 3 50 4 54 5 64 6 61 7 43 8 59 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
21 1.760 -5.835
27
24 -9.149 -41.003
29
66 8.889 -40.107
32
115 -14.153 -58.268
35
329 32.928 77.965
合计(残差 平方和)
1450.673 15448.432
R2
0.98 0.80
由图的对比可以看出，指数模拟优于线性模拟
徐闻中学
郑廷状
思考P83 产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只是身高x,可 能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。
徐闻中学
郑廷状
线性回归模型y=bx+a+e与我们了的一次函数模型不同之 处在于多了一个随机误差e，y的值有它们一起决定
ˆ b 0 .8 4 9 是斜率的估计值，说明身高x每增加1个单
位时，体重y就增加0.849个单位，这表明 体重与身高具有正的线性相关关系. 如何描述它们之间线性相关关系的强弱？
徐闻中学 郑廷状
如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？ 相关系数
(x
r=
i=1 n i=1
n
i
- x)(yi - y)
编号 体重/kg
1 48
2 57
3 50
4 54
5 64
6 61
7 43
8 59
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报 一名身高为172cm的女大学生的体重.
徐闻中学
郑廷状
解：①选取身高为自变量x，体重为因变量y， ②作散点图：
徐闻中学
郑廷状
为了回归的准确和计算的方便我们引入残差平方和(residual sum of squares)它代表随机误差的效应
n
ˆ 2 ( yi yi )
i 1
求出了随机误差的效应后，我们就比较容易得到解释变量的 效应了。同学们知道怎样求吗？ 解释变量的效应＝总体偏差平方和－残差平方和
回归平方和
探究P83： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 如果不是，你能解析一下原因吗？
答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg， 但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。 从散点图看到，样本点散布在某一条直线的附近，而 不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述 它们关系。 我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e， 其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
(regression sun of squares)
徐闻中学 郑廷状
有了这些评估效应的方法，我们就可以利用它们来刻画总体效 应，事实上，为了将我们的计算简化，我们又引入相关指数R2 来刻画回归的效果： 残差平方和 n
ˆ 2 ( yi y ) ( yi y )
2
R
2
1
i 1 n
徐闻中学
郑廷状
回 归 分 析 基 本 思 想 及 其 初 步 应 用
基本思想
回归分析
相关性方法分析 实际应用 回归优劣分析
总偏差平方和 残差平方和 回归平方和
徐闻中学
郑廷状
样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关 系，因此可以用线性回归方程来近似的刻画它们之间 的关系. 徐闻中学 郑廷状
ˆ 由b
(x
i 1 n
n
i
X )( yi Y )
(X
i 1
ˆ a Y bX
i
X)
2
ˆ 得： 0.849, a 85.712 ˆ b ˆ 故所求线性回归方程为： 0.849 x 85.712 y 因此，对于身高172cm的女大学生，由线性回归方程可 以预报其体重为： 0 .8 4 9 1 7 2 8 5 .7 1 2 6 0 .3 1 6( k g ) ˆ y
( x , y ) 称为样本点的中心。
徐闻中学 郑廷状
2、求回归直线方程的步骤：
(1) 求 x
n
1
n
n i 1
n
xi , y
1
i 1
n
n
yi
i 1
( 2 )求 xi , xi y i .
2 i 1
(x
i 1 n
n
i
x )( y i y )
i
x y
产卵数
200 150 100 50 0 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 温度的平方 徐闻中学 郑廷状
不适合利用线性回归
为什么这样说？
4.残差分析：
X
Y e(1) e(2)
21
7 0.518 47.693
23
11 -0.167 19.397
25
i i 1
n
nxy
i
（3）代入公式
b
(x
i 1 ^
x)
2
x
i 1
n
,
2 i
nx
2
a y b x , ......(1)
徐闻中学 郑廷状
^ （4）写出直线方程为y=bx+a,即为所求的回归直线方程。
案例1：女大学生的身高与体重 某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据 如下表所示.
350 300 250
个
25 21
27 24
29 66
32 35 115 325
1.制作散点图
200 150 100 50 0 20 22 24 26 28 ℃ 30 32 34 36
徐闻中学
郑廷状
2.观察模拟 样本点不能直接利用线性回归,根据我们的函数知识,它应该是一个指数模
型:
y=c1ec2x其中c c 为参数或二次函数模型,根据对数回归知识
解释变量x
预报变量y 随机误差e
徐闻中学
郑廷状
在上面的例子中我们假设体重与身高没有关系即：体重都为：
y 45 . 5 kg
则，她们身高－体重的散点图应该在一条水平直线上：
70 65 60 55 50 45 40 150 155 160 165 170 徐闻中学 郑廷状 175 180
事实上，并非如此，它们和45.5之间存在差别，这时我们就引 入随机误差，利用随机误差和解释变量共同来预报变量y
1 2
我们知道:令z=lny将其变换到样本点的分布直线z=a+bx
x z
7 6
21 23 25 27 29 32 35 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
z=0272x-3.843
产卵数的对数
5 4 3 2 1 0 20 22 24 26 2843