最大公因数与最小公倍数
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因数是哪几个？公有的因数中最大的一 个是多少？
12的因数 18的因数
4、 1、2、 9、
12
3、6、 18
12和18的公因数
上回下
怎样求 18 和 27 的最大公因数。
我是这样 表示的。
它们的公因 数 1，3，9 中，9 最大。
我是看 18 的因 数中有哪些是 27 的因数 ······
上回下
你还有其他方法吗? 和同学讨论一下。 怎样求 18 和 27 的最大公因数。 请你在课堂作业本上把两个数的因数都写出 来，找出公因数和最大公因数
16 和 48 16
15 和 16 1
上回下
巩固练习
1、已知 A＝2×3×5 B＝2×5×7 A和B和最大公因数是（10 ）
5×2 2、已知 A＝2×3×5×7 B＝2×5×7×11
A和B和最大公因数是（70）
2×5×7 上回下
你记住了吗？
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其 中最大的一个，叫做这几个数最数的最大公因数。 4 和 8 16 和 32 1 和 7 8 和 9 4 和 8 的最大公因数是 4。 16 和 32 的最大公因数是 16。 1 和 7 的最大公因数是 1。 8 和 9 的最大公因数是 1。
公因数只有1的两个数叫做互质数。
上回下
探讨学习
刚刚所学的7和9；5和7都是互质数，那么互质数 中的两个数是不是都一定要是质数呢？ 1.两个数可以都是质数。
36的因数
60的因数
□1、□2、□3、□4、□6、 □ 9、12、18、36
□□16、、□21、0□、3□、1□24、、155、、 20、30、60
哪些数是这两个数的共同因数？ 这些共同因数中最大的是谁？
1、2、3、4、6、12。
12
公因数
最大公因数
上回下
练习1
把15和18的因数、公因数分别填在下面 的圈内，再找出它们的最大公因数。
15的
5
1 26
18的
因数
因数
有：
15 3 9 18
有：
1 和3是15、18 两个数的公因数
15和18的最大公因数是3。
上回下
说一说
公因数：也叫公约数 ，指几个自然数公有的因数。
什么叫最大公因数？
最大公因数：也叫最大公约数，指几个自然数公有的因数中， 最大的一个叫做这几数的最大公因数。
上回下
例2用找因数的方法找出5和7的公因
求下面每组数的最大公因数：
（1）6和15 （2）12和20
3 6 15 25
2 12 20 2 6 10
35 6和15的最大公因数是： 3 12和20的最大公因数是：
2×2＝4
（3）18和12 （4） 22和33
2 18 12 39 6
32
18和12的最大公因数是：
11 22 33 23
22和33的最大公因数是：11
上回下
• 游戏准备：学生按学号编成连续的非0自然数 • 游戏规则：凡是学号符合以下要求的，请举手，
看谁反应快？ • （ ）是4的倍数
（ ）是16的因数 （ ）是5的倍数 （ ）是40的因数
想一想：应该提什么要求，让全班同学都能举手？
上回下
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的 站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
公因数只有1的两个数，叫做互质数。
1和其他自然数都是互质数；
两个质数都是互质数；
相邻的两个自然数都是互质数；
如果较大数是较小数的倍数，那么较小数
就是这两个数的最大公因数。 如果两个数是互质数，那么这两个数的最大
数和它们的最大公因数。
5的因数 7的因数
5 17
你发现了吗？
公因数只有1的两个数叫做互质数。
上回下
5和7 的公因数和最大公因数各是几？7和9呢？
解：5 的因数有：1、5
7 的因数有：1、7
7 的因数有：1、7
9 的因数有：1、3、9
5 和7的公因数有：1
7 和9的公因数有：1
讨论：上面两组数的公因数有什么特点？
上回下
用短除法求两个和数的最大公因数
2 24 36 24=2×2×3×2
2 12 36
18 36=2×2×3×3
9
2
3
12＝2×２×３
上回下
求18和30的最大公因数
2 18
2 30
39
3 15
3
5
18= 2 × 3 × 3
30= 2 × 3 × 5
18和30的最大公因数是 2 × 3 ＝6 求两个数的最大公因数,可以先把这两个数分别分解质因数, 它们全部公有的质因数的乘积,就是这两个数的最大公因数。
如： 2和3；5和7；11和13等。 2.两个数可以都是合数。
如： 8和9；15和16；20和21;4和9；8和15等。 3.两个数中可以一个是质数，一个是合数。
如： 7和8；13和14；29和30等。
上回下
互
1、相邻的两个自然数是互质数（0除外）。
质
2、相邻的两个奇数是互质数。
数 的
3、不相同的两个质数是互质数。
1.（6，9）= 3
（10，8）= 2
（8，12）= 4
2.（3，4）= 1
（ 3，5）= 1
（ 8，9） = 1
3.（2，4）= 2
（6, 3）= 3
（7，21）= 7
上回下
2. 找出下面每组数的最大公因数。
6和9 3
15 和 12 3
42 和 54 6
30 和 45 15
5和9 1
34 和 17 17
互质数关系： 1
倍 数 关 系：较小的数
上回下
比比谁最棒！
1、先找出20和30的因数、公因数，再找 出它们的最大公因数。 2、很快找出下面每组数和最大公因数， 并说说是怎样想的。
3和7 8和24 30和5 10和9
上回下
（1）有公因数1的两个数叫做互质数。( × ) （2）互质的两个数一定都是质数。( × ) （3）一个数的因数一定是这个数的质因数。( × ) （4） 两个数的最大公因数一定能整除这两个数。（√ ）
观察一下，两个数的公因数和它们的最大公因数之间有什么关系?
所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是 它们的倍数。例如：18和27的公因数是1、3、9，9是18和 27的最大公因数，1和3是9的因数，9是1和3的倍数。
上回下
公因数
• 例1、
6和8的因数各有哪些？ 其中最大的一个是谁？
6的因数
它们公有的因数有哪些？
8的因数
2、 1、 6
3、
2、 1、 8
4、
6和8的公因数
2是6和8的最大公因数： （6，8）=2
上回下
导入 ☞
6的因数有：1. 2. 3. 6 9的因数有：1. 3. 9
这两个数有相同 的因数
上回下
2、把方框中的数填入相应的热气球里。
1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 30 36 60
我该站哪儿呢?
1 2 3 4 9 6 12
上回下
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的 站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
1 2 3 4 9 6 12
上回下
例1：8和12各有哪些因数？它们公有的因 数有哪几个？其中最大的因数是几？
2×3＝6
上回下
求下面每组数的最大公因数
20和45
13和39
5 20 45 49
20和45的最大公因数是： 5 11和10
39是13的倍数，所以它
们的最大公因数是：13
14和7
11和10是互质数，所以
它们的最大公因数是：1
14是7的倍数，所以它们
的最大公因数是： 7
上回下
☞ 实践与应用
一.求下面每组数的最大公因数
公因数只有1的两个数，叫做互质数。
5和7是互质数。 7和9也是互质数。
思考：8和9；15和16；20和21也是互素数吗？
根据这一点，你可以得到什么结论？
上回下
考考你，接受挑战吧！
2和5
8和1
3和9 哪几组中的两个数
7和12 是互质数？
10和21 6和15
11和33 16和15
互质数有什么特征？
1 最大公因数
互质数是指两个数的关系，它们可以都是质数，可 以都是合数，也可以一个是质数，一个是合数。
质数是对一个数来说，互质数是对两个数的关系
来说的。
上回下
6. 按要求写出两个数，使它们的最大公因数是 1。 (1) 两个数都是质数: __2__ 和 __5__。 (2) 两个数都是合数: __4__ 和 __9__。 (3) 一个质数一个合数: __1_3_ 和 __8__。
上回下
例3 用找因数的方法，找出6 和12
的最大公因数
6的因数：1、2、3、6
12的因数：1、2、3、4、6、12
6和12的最大公因数是：6
一点小窍门：
较小的数是较大的数的因数（即两个
数是倍数关系），那么较小的数就是较大
的数的最大公因数。
上回下
求出下面每组数的最大公因数
（1）4 和 8 的最大公因数是（ 2×2=4 ）。
上回下
温故知新
找出下面各数的因数
4的因数有：1、4、2。 6的因数有：1、6、2、3。 12的因数有：1、12、2、6、3、4。 18的因数有：1、18、2、9、3、6。
一个数的因数的个数是（有限）的，一个数最 小的因数是（1），最大的因数是（它本身）。
一个数的倍数的个数是（无限）的，一个数 最小的倍数是（它本身），（没有）最大的倍数。
几
4、一个合数与一个质数是互质数
种
（合数不是质数的倍数）。
特 殊
5、1和任何一个大于1的自然数互质。
情
6、2和任何奇数都是互质数。
况
上回下
1.公因数、最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的最大公因数。 其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
2.互质数 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
1个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的 数叫做质数（或素数）。
为了简便，我们通常用短除法写成下面的形式
2 18 30 3 9 15 35
……用公有的最小质因数2除 ……用公有的最小质因数3除 ……除到两个商是互质数为止
把所有的除数乘起来，得到18和30的最大公因数是：
2×3=6
上回下
在除的时候，有的也可以用两 个数的公因数去除
例如：在求36和54的最大公因数时，也可以先用他们的公因 数6或9去除，再看所得的商还有没有其他公有的质因数。
6 36 54 36 9 23
36和54的最大公因数是：
6×3=18
9 36 54 24 6 23
36和54的最大公因数是：
9×2=18
上回下
求两个数的最大公因数，先用
一 般 这两个数公有的质因数连续去除 方 （一般从最小开始），一直除到所 法 得的商是互质数为止，然后把所有
的除数连乘起来。
上回下
（2）4 和 5 的最大公因数是（ 1
）。
哇！
我发现了 点什么！
如果较大数是较小数的倍数，那 么较小数就是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的
最大公因数是1。
哇！
我又发现了点什 么！
上回下
①求出 4和8、16和32、17和34 的最大公因数 .
②求出 1和7、8和9、9和16 的最大公因数 .
实践 步骤：
1、分别列出8和12的因数。
8的因数有： 1 2 4 8 12的因数有： 1 2 3 4 6 12
2、找出8和12 公有的因数： 1 2 4
3、找出8和12的最大公因数： 4
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数；
其中最大的一个叫做这几个数的最大公因上数。回 下
例1 12和18各有哪些因数？12和18公有的
（5） 两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（ × ） （6） 两个数的积一定是这两个数的最大公因数的倍数（ √ ）
上回下
你知道吗？
利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出 两个数的最大公因数。例如:
24 = 2×2×2×3 36 = 2×2×3×3 24 和 36 的最大公因数 = 2×2×3 = 12。
么？
互质数 上回下
求下面每组数的最大公因数： ① 3和12的最大公因数是 （ 3 ）。 ② 5和15的最大公因数是 （ 5 ）。 ③ 8和7的最大公因数是（ 1 ）。 ④ 4和11的最大公因数是（ 1 ）。
上回下
瞧我的：说说他们的公 因数：
4和8
7和14 12和48
12和13 1和9
11和13
最大公因数
最大公因数与最小公倍数
人教新课标五年级数学下册
上回下
3×4=12
3和4是12的因数；12是3和4的倍数。 如果 a×b=c（a、b、c是不为0的自
然数）那么c是（a ）和（b ）的倍数，a 和b是c的（ 因数 ）。
如果A、B是两个整数（B不为0），
且A÷B=2，那么A是B的（倍数），B是A
的（因数）。
4和8的最大公因数：4 16和32的最大公因数：16 17和34的最大公因数：17
1和7的最大公因数：1 8和9的最大公因数：1 9和16的最大公因数：1
当两个数成倍数关 系时，较小的数就 是它们的最大公因 数。
当你两从发这现个组了数题什中只么？有公因 数1时从，这它组题们中的最 大公你因又数发现也了是什1。
12的因数 18的因数
4、 1、2、 9、
12
3、6、 18
12和18的公因数
上回下
怎样求 18 和 27 的最大公因数。
我是这样 表示的。
它们的公因 数 1，3，9 中，9 最大。
我是看 18 的因 数中有哪些是 27 的因数 ······
上回下
你还有其他方法吗? 和同学讨论一下。 怎样求 18 和 27 的最大公因数。 请你在课堂作业本上把两个数的因数都写出 来，找出公因数和最大公因数
16 和 48 16
15 和 16 1
上回下
巩固练习
1、已知 A＝2×3×5 B＝2×5×7 A和B和最大公因数是（10 ）
5×2 2、已知 A＝2×3×5×7 B＝2×5×7×11
A和B和最大公因数是（70）
2×5×7 上回下
你记住了吗？
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其 中最大的一个，叫做这几个数最数的最大公因数。 4 和 8 16 和 32 1 和 7 8 和 9 4 和 8 的最大公因数是 4。 16 和 32 的最大公因数是 16。 1 和 7 的最大公因数是 1。 8 和 9 的最大公因数是 1。
公因数只有1的两个数叫做互质数。
上回下
探讨学习
刚刚所学的7和9；5和7都是互质数，那么互质数 中的两个数是不是都一定要是质数呢？ 1.两个数可以都是质数。
36的因数
60的因数
□1、□2、□3、□4、□6、 □ 9、12、18、36
□□16、、□21、0□、3□、1□24、、155、、 20、30、60
哪些数是这两个数的共同因数？ 这些共同因数中最大的是谁？
1、2、3、4、6、12。
12
公因数
最大公因数
上回下
练习1
把15和18的因数、公因数分别填在下面 的圈内，再找出它们的最大公因数。
15的
5
1 26
18的
因数
因数
有：
15 3 9 18
有：
1 和3是15、18 两个数的公因数
15和18的最大公因数是3。
上回下
说一说
公因数：也叫公约数 ，指几个自然数公有的因数。
什么叫最大公因数？
最大公因数：也叫最大公约数，指几个自然数公有的因数中， 最大的一个叫做这几数的最大公因数。
上回下
例2用找因数的方法找出5和7的公因
求下面每组数的最大公因数：
（1）6和15 （2）12和20
3 6 15 25
2 12 20 2 6 10
35 6和15的最大公因数是： 3 12和20的最大公因数是：
2×2＝4
（3）18和12 （4） 22和33
2 18 12 39 6
32
18和12的最大公因数是：
11 22 33 23
22和33的最大公因数是：11
上回下
• 游戏准备：学生按学号编成连续的非0自然数 • 游戏规则：凡是学号符合以下要求的，请举手，
看谁反应快？ • （ ）是4的倍数
（ ）是16的因数 （ ）是5的倍数 （ ）是40的因数
想一想：应该提什么要求，让全班同学都能举手？
上回下
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的 站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
公因数只有1的两个数，叫做互质数。
1和其他自然数都是互质数；
两个质数都是互质数；
相邻的两个自然数都是互质数；
如果较大数是较小数的倍数，那么较小数
就是这两个数的最大公因数。 如果两个数是互质数，那么这两个数的最大
数和它们的最大公因数。
5的因数 7的因数
5 17
你发现了吗？
公因数只有1的两个数叫做互质数。
上回下
5和7 的公因数和最大公因数各是几？7和9呢？
解：5 的因数有：1、5
7 的因数有：1、7
7 的因数有：1、7
9 的因数有：1、3、9
5 和7的公因数有：1
7 和9的公因数有：1
讨论：上面两组数的公因数有什么特点？
上回下
用短除法求两个和数的最大公因数
2 24 36 24=2×2×3×2
2 12 36
18 36=2×2×3×3
9
2
3
12＝2×２×３
上回下
求18和30的最大公因数
2 18
2 30
39
3 15
3
5
18= 2 × 3 × 3
30= 2 × 3 × 5
18和30的最大公因数是 2 × 3 ＝6 求两个数的最大公因数,可以先把这两个数分别分解质因数, 它们全部公有的质因数的乘积,就是这两个数的最大公因数。
如： 2和3；5和7；11和13等。 2.两个数可以都是合数。
如： 8和9；15和16；20和21;4和9；8和15等。 3.两个数中可以一个是质数，一个是合数。
如： 7和8；13和14；29和30等。
上回下
互
1、相邻的两个自然数是互质数（0除外）。
质
2、相邻的两个奇数是互质数。
数 的
3、不相同的两个质数是互质数。
1.（6，9）= 3
（10，8）= 2
（8，12）= 4
2.（3，4）= 1
（ 3，5）= 1
（ 8，9） = 1
3.（2，4）= 2
（6, 3）= 3
（7，21）= 7
上回下
2. 找出下面每组数的最大公因数。
6和9 3
15 和 12 3
42 和 54 6
30 和 45 15
5和9 1
34 和 17 17
互质数关系： 1
倍 数 关 系：较小的数
上回下
比比谁最棒！
1、先找出20和30的因数、公因数，再找 出它们的最大公因数。 2、很快找出下面每组数和最大公因数， 并说说是怎样想的。
3和7 8和24 30和5 10和9
上回下
（1）有公因数1的两个数叫做互质数。( × ) （2）互质的两个数一定都是质数。( × ) （3）一个数的因数一定是这个数的质因数。( × ) （4） 两个数的最大公因数一定能整除这两个数。（√ ）
观察一下，两个数的公因数和它们的最大公因数之间有什么关系?
所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是 它们的倍数。例如：18和27的公因数是1、3、9，9是18和 27的最大公因数，1和3是9的因数，9是1和3的倍数。
上回下
公因数
• 例1、
6和8的因数各有哪些？ 其中最大的一个是谁？
6的因数
它们公有的因数有哪些？
8的因数
2、 1、 6
3、
2、 1、 8
4、
6和8的公因数
2是6和8的最大公因数： （6，8）=2
上回下
导入 ☞
6的因数有：1. 2. 3. 6 9的因数有：1. 3. 9
这两个数有相同 的因数
上回下
2、把方框中的数填入相应的热气球里。
1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 30 36 60
我该站哪儿呢?
1 2 3 4 9 6 12
上回下
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的 站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
1 2 3 4 9 6 12
上回下
例1：8和12各有哪些因数？它们公有的因 数有哪几个？其中最大的因数是几？
2×3＝6
上回下
求下面每组数的最大公因数
20和45
13和39
5 20 45 49
20和45的最大公因数是： 5 11和10
39是13的倍数，所以它
们的最大公因数是：13
14和7
11和10是互质数，所以
它们的最大公因数是：1
14是7的倍数，所以它们
的最大公因数是： 7
上回下
☞ 实践与应用
一.求下面每组数的最大公因数
公因数只有1的两个数，叫做互质数。
5和7是互质数。 7和9也是互质数。
思考：8和9；15和16；20和21也是互素数吗？
根据这一点，你可以得到什么结论？
上回下
考考你，接受挑战吧！
2和5
8和1
3和9 哪几组中的两个数
7和12 是互质数？
10和21 6和15
11和33 16和15
互质数有什么特征？
1 最大公因数
互质数是指两个数的关系，它们可以都是质数，可 以都是合数，也可以一个是质数，一个是合数。
质数是对一个数来说，互质数是对两个数的关系
来说的。
上回下
6. 按要求写出两个数，使它们的最大公因数是 1。 (1) 两个数都是质数: __2__ 和 __5__。 (2) 两个数都是合数: __4__ 和 __9__。 (3) 一个质数一个合数: __1_3_ 和 __8__。
上回下
例3 用找因数的方法，找出6 和12
的最大公因数
6的因数：1、2、3、6
12的因数：1、2、3、4、6、12
6和12的最大公因数是：6
一点小窍门：
较小的数是较大的数的因数（即两个
数是倍数关系），那么较小的数就是较大
的数的最大公因数。
上回下
求出下面每组数的最大公因数
（1）4 和 8 的最大公因数是（ 2×2=4 ）。
上回下
温故知新
找出下面各数的因数
4的因数有：1、4、2。 6的因数有：1、6、2、3。 12的因数有：1、12、2、6、3、4。 18的因数有：1、18、2、9、3、6。
一个数的因数的个数是（有限）的，一个数最 小的因数是（1），最大的因数是（它本身）。
一个数的倍数的个数是（无限）的，一个数 最小的倍数是（它本身），（没有）最大的倍数。
几
4、一个合数与一个质数是互质数
种
（合数不是质数的倍数）。
特 殊
5、1和任何一个大于1的自然数互质。
情
6、2和任何奇数都是互质数。
况
上回下
1.公因数、最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的最大公因数。 其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
2.互质数 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
1个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的 数叫做质数（或素数）。
为了简便，我们通常用短除法写成下面的形式
2 18 30 3 9 15 35
……用公有的最小质因数2除 ……用公有的最小质因数3除 ……除到两个商是互质数为止
把所有的除数乘起来，得到18和30的最大公因数是：
2×3=6
上回下
在除的时候，有的也可以用两 个数的公因数去除
例如：在求36和54的最大公因数时，也可以先用他们的公因 数6或9去除，再看所得的商还有没有其他公有的质因数。
6 36 54 36 9 23
36和54的最大公因数是：
6×3=18
9 36 54 24 6 23
36和54的最大公因数是：
9×2=18
上回下
求两个数的最大公因数，先用
一 般 这两个数公有的质因数连续去除 方 （一般从最小开始），一直除到所 法 得的商是互质数为止，然后把所有
的除数连乘起来。
上回下
（2）4 和 5 的最大公因数是（ 1
）。
哇！
我发现了 点什么！
如果较大数是较小数的倍数，那 么较小数就是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的
最大公因数是1。
哇！
我又发现了点什 么！
上回下
①求出 4和8、16和32、17和34 的最大公因数 .
②求出 1和7、8和9、9和16 的最大公因数 .
实践 步骤：
1、分别列出8和12的因数。
8的因数有： 1 2 4 8 12的因数有： 1 2 3 4 6 12
2、找出8和12 公有的因数： 1 2 4
3、找出8和12的最大公因数： 4
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数；
其中最大的一个叫做这几个数的最大公因上数。回 下
例1 12和18各有哪些因数？12和18公有的
（5） 两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（ × ） （6） 两个数的积一定是这两个数的最大公因数的倍数（ √ ）
上回下
你知道吗？
利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出 两个数的最大公因数。例如:
24 = 2×2×2×3 36 = 2×2×3×3 24 和 36 的最大公因数 = 2×2×3 = 12。
么？
互质数 上回下
求下面每组数的最大公因数： ① 3和12的最大公因数是 （ 3 ）。 ② 5和15的最大公因数是 （ 5 ）。 ③ 8和7的最大公因数是（ 1 ）。 ④ 4和11的最大公因数是（ 1 ）。
上回下
瞧我的：说说他们的公 因数：
4和8
7和14 12和48
12和13 1和9
11和13
最大公因数
最大公因数与最小公倍数
人教新课标五年级数学下册
上回下
3×4=12
3和4是12的因数；12是3和4的倍数。 如果 a×b=c（a、b、c是不为0的自
然数）那么c是（a ）和（b ）的倍数，a 和b是c的（ 因数 ）。
如果A、B是两个整数（B不为0），
且A÷B=2，那么A是B的（倍数），B是A
的（因数）。
4和8的最大公因数：4 16和32的最大公因数：16 17和34的最大公因数：17
1和7的最大公因数：1 8和9的最大公因数：1 9和16的最大公因数：1
当两个数成倍数关 系时，较小的数就 是它们的最大公因 数。
当你两从发这现个组了数题什中只么？有公因 数1时从，这它组题们中的最 大公你因又数发现也了是什1。