高中数学 1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1

(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最 大值
M是函数y＝f(x)的 最小值
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1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数 的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
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2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的 最大值为 2，求 a 的值． 解析： 首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性： 设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
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2．二次函数的最值 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线， 当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2， 当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
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3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大 值为________． 解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)， 在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
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②当 t≤1≤t＋1， 即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单 调递减，
所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
其中 x 是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最
大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
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先将利润表示成x的函数，再利用函数的单调性求 最值．
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[解题过程] (1)设月产量为 x 台 则总成本为(20 000＋100x)元， 从而 f(x)＝
t2－2t＋3
综上得 g(t)＝2 t2＋2
t＞1 0≤t≤1 . t＜0
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二次函数最值的应用 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元， 已知总收益满足函数：
R(x)＝400x－12x2
0≤x≤400 ，
80 000 x＞400
第2课时(kèshí) 函数的最大值、最小值
第一页，共利用函数单调性求函
及其几何意义.
数最值．(重点)
2.会求一些简单函数的 2.体会数形结合思想的
最大值或最小值.
运用．(难点)
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1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出(kàn chū)，
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[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立 数学模型转化成数学问题解决(jiějué)． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.
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4.某租赁公司拥有汽车 100 辆，当 每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出．当 每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将 会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元． (1)当每辆车的月租金为 3 600 元时，能租出多 少辆车？ (2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的 月收益最大？最大月收益是多少？
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(2)当x∈[－2,3)时，f(x)在[－2,3)上是先减后增的， 故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2， 又|－2－1|＞|3－1|， ∴f(x)的最大值为f(－2)＝11. (3)①当t＞1时， f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以(suǒyǐ)当x＝t时， f(x)取得最小值， 此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
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[题后感悟] 利用函数图象求最值是求函数最 值的常用方法．这种方法以函数最值的几何(jǐ hé)意义为依据，对较为简单的且图象易作出的 函数求最值较常用．图象法求最值的一般步骤 是：
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值．
1.试求函数 y＝|x－2|＋ x＋12的最
解析： 原函数变为 y＝|x－2|
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所以，函数 y＝x－2 1是区间[2,6]上的减函数．如 上图． 因此，函数 y＝x－2 1在区间[2,6]的两个端点上分 别取得最大值与最小值，即在 x＝2 时取得最大 值，最大值是 2，在 x＝6 时取得最小值，最小 值是 0.4.
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图象法求函数的最值 如图为函数 y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
整理得 f(x)＝－5x02＋162x－21 000＝－510(x－4 050)2＋ 307 050. 所以，当 x＝4 050 时，f(x)最大，最大值为 f(4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金为 4 050 元 时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为 307 050 元．
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(1)当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0， 即 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在[2,6]上为减函数． 此时 f(x)max＝f(2)＝2－a 1＝2，∴a＝2. (2)当 a＜0 时，f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在[2,6]上为增函数， 此时 f(x)max＝f(6)＝6－a 1＝2， ∴a＝10，与 a＜0 矛盾，舍去． (3)当 a＝0 时，f(x1)＝f(x2)， f(x)为常函数，此时 f(x)＝0，与已知矛盾． 综上所述，a＝2.
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解析： (1)当每辆车的月租金为 3 600 元时，
未租出的车辆数为3
600－3 50
000＝12.所以这时
租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元，则租赁公司的月
收益为
f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，
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[题后感悟] (1)如何根据(gēnjù)单调性求函数值域或 最值？ ①求函数的定义域； ②证明函数在相应区间上的单调性； ③求出函数在定义域上的最值； ④写出值域． [注意] 务必首先求出定义域． (2)函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上 的最大值为f(a)，最小值为f(b)； 若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上 的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
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由题目可获取以下主要信息： ①所给函数解析式未知； ②函数图象已知． 解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意 义求解．
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[解题过程] 观察函数图象可以知道，图象上位置 最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函 数y＝f(x)当x＝2时，取得(qǔdé)最大值，最大值是 3，当x＝－1.5时，取得(qǔdé)最小值，最小值是 －3.函数的单调增区间为[－1,2]，[5,7]． 单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
－12x2＋300x－20 000
0≤x≤400 ，
60 000－100x x＞400
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(2)当 0≤x≤400 时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000， 当 x＝300 时，f(x)max＝25 000； 当 x＞400 时，f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当 x＝300 时，f(x)max＝25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润 为 25 000 元．
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二次函数的最大小值 求函数 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0,2]上 的最大值 g(a)和最小值 φ(a)． [策略点睛]
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[题后感悟] (1)如何求二次函数在闭区间[m， n]上的最值？ ①确定二次函数的对称轴，如 x＝a； ②根据 a＜m，m≤a＜m＋2 n，m＋2 n≤a＜n，a≥n 这 4 种情况进行分类讨论； ③结合图象明确函数的单调区间进而求解． (2)二次函数在闭区间上的最值只可能在区间的 端点处及二次函数图象对称轴处取得．
＋|x＋1|＝
－2x＋1
3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2
x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函
数有最小值 3，无最大值．
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利用函数单调性求最值 求函数 f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最大 值与最小值．
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[解题过程] 任取 2≤x1＜x2≤5， 则 f(x1)＝x1x－1 1，f(x2)＝x2x－2 1， f(x2)－f(x1)＝x2x－2 1－x1x－1 1＝x2－x11－xx12－1， ∵2≤x1＜x2≤5， ∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0， ∴f(x2)－f(x1)＜0.∴f(x2)＜f(x1)． ∴f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是单调减函数． ∴f(x)max＝f(2)＝2－2 1＝2， f(x)min＝f(5)＝5－5 1＝54.
1．准确(zhǔnquè)理解函数最大值的概念 (1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一 个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0, 有f(0)＝0，注意对②中“存在”一词的理解． (2)对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M成立,“任 意”是说对每一个值都必须满足不等式．
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4．求函数 y＝x－2 1在区间[2,6]上的最大值和最 小值． 解析：
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设 x1、x2 是区间[2,6]上的任意两个实数，且 x1 ＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－2 1－x2－2 1 ＝2x2x－1－11－x22－x1－1 1 ＝x12－x12－xx2－1 1. 由 2≤x1＜x2≤6，得 x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1) ＞0，f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)．
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1．函数(hánshù)的最大值、最 小值
最值
最大值
最小值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实
数M满足：
条件
(1)对于任意的x∈I， 都有_f_(x_)_≤__M__.
(1)对任意x∈I，都 有_f(_x_)≥__M__.
(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)_＝__M_.
B．f(12)，f(－1) D．f(12)，f(0)
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2．函数 f(x)＝2xx＋＋76
x∈[1，2] x∈[－1，1]
，则 f(x)
的最大值、最小值为( )
A．10,6
B．10,8
C．8,6
D．以上都不对
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解析： 本题(běntí)为分段函数最值问题，其最 大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段 上最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
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3.已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3， (1)当 x∈[－2,0]时，求 f(x)的最值； (2)当 x∈[－2,3)时，求 f(x)的最值； (3)当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t)．
解析： ∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴 为x＝1，开口向上(xiàngshàng)． (1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的， 故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.