中学数学竞赛中常用的几个重要定理

数学竞赛中几个重要定理
1、 梅涅劳斯定理：假如在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F
三点共线，则FB
AF
EA CE DC BD •
•=1
2、 梅涅劳斯定理的逆定理：假如在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且
满意FB
AF
EA CE DC BD •
•=1，则D 、E 、F 三点共线.
【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC
边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△MPQ ∽△ABC
j M
Q
G
A
C B
X
Y P
【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC
【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.
【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD
于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP
【练习2】 在△ABC 中，∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F. 若BE ：ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDC
D
塞瓦定理：设O 是△ABC 内随意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则1=••PA
CP
NC
BN MB
AM
塞瓦定理的逆定理： 设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满意1=••PA
CP NC
BN MB
AM ，
则AN 、BP 、CM 相交于一点.
【例1】B E 是△ABC 的中线，G 在BE 上，分别延长AG ，CG 交BC ，AB 于点D ，F ， 过D 作DN ∥CG 交BG 于N ，△DGL 及△FGM 是正三角形.求证：△LMN 为正三角形.
G
C
L
M
E
D
F
N
【例2】在△ABC 中，D 是BC 上的点
DC BD =3
1
，E 是AC 中点.AD 与BE 交于O ，CO 交AB 于F 求四边形BDOF 的面积与△ABC 的面积的比
【练习1】设P 为△ABC 内一点，使∠BPA=∠CPA ，G 是线段AP 上的一点，直线BG ，CG 分别交边AC ，AB 于E ，F.求证：
∠BPF=∠CPE
【练习2】 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均为锐角.D 是BC 边BC 上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 作垂线DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥AC 于Q ，CP 于BQ 相交于K. 求证：AK ⊥BC
C
C
C
托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD
【例1】 已知在△ABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交△ABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F.求证：2AF=AB -
AC
【例2】经过∠XOY 的平分线上的一点A ，任作始终线与OX 及OY 分别相交于P ，Q.
求证：OP 1+OQ
1
为定值
H
A
B
C
E
F
A
X
Y
P
O
Q
【例3】 解方程
42
-x
+
12
-x
=
x 7
【练习1】 设AF 为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B ，C 分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC ，∠BAF ，∠CAF 的平分线交⊙O1，⊙O2于点D ，E. 求证：DE ⊥AF
【练习2】⊙O 为正△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，在弧BC 上任取一点P （与B ，C
不重合）.设E ，F 分别为△PAB ，△PAC 的内心.证明：PD=
∣PE-PF ∣
西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上随意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D 、E 、F 为
垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线.
【例1】过正△ABC 外接圆的弧AC 上点P 作P D ⊥直线AB 于D,作PE ⊥AC 于E,作PF ⊥BC 于F.
求证：
PF 1+PD 1=PE
1
【练习1】设P 为△ABC 外接圆周上任一点，P 点关于边BC ，AC 所在
的直线的对称点分别为P 1，P 2.求证：直线P 1P 2经过△ABC 的垂心.
C
A
B
P
E
F
D H
A
B
P1
P2
C
P
三角形的五心
内心
【例1】设点M 是△ABC 的BC 边的中点，I 是其内心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 与AH 的交点.求证：AE 等于内切圆半径r
【例2】在△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线AD 交△ABC
的外接圆于K.O ，I 分别为△ABC 的外心，内心.求证：OI ⊥AK
【练习】 在△ABC 中，∠BAC=300，∠ABC=700，M 为形内一点，∠MAB=∠MCA=200
求∠MBA 的度数.
B
外心
【例1】锐角△ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN.求∠OMN
【例2】在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD.
【练习】1、⊙O 1与⊙O 2相交于P ，Q ，⊙O 1的弦PA 与⊙O 2相切，⊙O 2的弦PB 与⊙O 1相切.
设△PAB 的外心为O ，求证：OQ ⊥PQ
重心
【例1】在△ABC 中，G 为重心，P 是形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于F ，E ，D.
求证：
FG FP +EG EP +DG
DP
=3
【例2】已知△ABC 的重心G 和内心I 的连线GI ∥BC ，求证：AB+AC=2BC
C
【练习】1、设M 为△ABC 的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求△ABC 的面积.
2、设O 是△ABC 的外心，AB=AC ，D 是AB 的中点，G 是△ACD 的重心，求证：OG ⊥CD
垂心
三角形任一顶点到垂心的间隔 ，等于外心到对边的间隔 的2倍.
B
C
B
【例1】△ABC 的外接圆为⊙O ，∠C=600，M 是弧AB 的中点，H 是△ABC 的垂心.
求证：OM ⊥OH
【例2】已知AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高，过D 作EF 的平行线RQ ，RQ 分别交AB 和AC 于R ，Q ，P 为EF 与CB 的延长线的交点.证明：△PQR 的外接圆通过BC 的中点M.
旁心
【例1】在锐角∠XAY 内部取一点，使得∠ABC=∠XBD ，∠ACB=∠YCD.
证明：△ABC 的外心在线段AD 上.
C
D
【例2】AD是直角△ABC斜边BC上的高（AB<AC），I1，I2分别是△ABD，△ACD的内心，
△A I1 I2的外接圆⊙O分别交AB，AC于E，F，直线FE与CB的延长线交于点M.
证明：I1，I2分别是△ODM的内心与旁心.
相交两圆的性质与应用
【例1】证明：若凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE，∠AEC=∠ADB. 证明：∠BAC=∠DAE
E
【例2】已知⊙O1与⊙O2相交于A，B，直线MN垂直于AB且分别与⊙O1与⊙O2交于M，N，P 是线段MN的中点，Q1，Q2分别是⊙O1与⊙O2上的点，∠AO1Q1=∠AO2Q2求证：PQ1=PQ2
【练习】梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，K，M分别是腰AD，CB上的点，∠DAM=∠CBK，求证：∠DMA=∠CKB
A
其他的一些数学竞赛定理
1、 广勾股定理的两个推论：
推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和.
推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c 则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =222222
1c b a -+
2、 三角形内、外角平分线定理：
内角平分线定理：如图：假如∠1=∠2，则有AC
AB
DC BD =
外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ，
则有AC
AB
DC BD =
3、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点
于P
4、 正弦定理、在△ABC 中有
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB
C 外接圆半径） 余弦定理： a 、b 、c 为△ABC 的边，则有： a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA;
b 2=a 2+
c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;
5、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.
6、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF （不管其六顶点排列次序如何），其三组对边AB 与DE 、BC 与EF 、CD 与FA 的交点P 、Q 、R 共线.。