数学建模系列-常用模型

一般，当一致性比率
CR CI 0.1 时，认为 RI
A
的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量
作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对
A
加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1
及随机一致性指标的数值表，对 进行检验A的过程。
4 层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是 一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。 过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两 种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者 以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近 年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析 的数学工具之一。
X x1, x2 , , xn
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定
在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 个因素对上 n
层某一目标的影响程度排序）
上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。
用 a表ij 示第 个因i 素相对于第 个因素的j比较结果，则
aij
1 a ji
成对比较矩阵 的A最大特征值
5.073
该特征值对应的归一化特征向量
0.263, 0.475, 0.055, 0.099 , 0.110
则 CI 5.073 5 0.018 5 1
RI 1.12
故 CR 0.018 0.016 0.1 1.12
表明 A通过了一致性验证。
对成对比较矩阵
b1m
a jb1 j b1 j 1
B2
b21 b22 b2m
m
a jb2 j b2
j 1
m
Bn
bn1 bn2 bnm
a jbnj bn j 1
层次总排序的一致性检验
设 层B B1对, B上2层,( ,层B)n中因素
A
的层次单排序一致性指标为
，随机一C致I 性j 指为
则层次总排序的一致性比率为：
穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。
0-1规划模型 cij(秒)~队员i 第j 种泳姿的百米成绩
cij
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
j=1
66.8
57.2
78
70
67.4
j=2
75.6
66
67.8
74.2
71
j=3
87
66.4
84.6
69.6
83.8
j=4
58.6
53
59.4
57.2
62.4
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标函 数
45
Min Z
cij xij
j 1 i 1
约束 每人最多入选泳姿之一
2 3
1 3
1 5
2
1
1
1
1
3
1
1
3 5
1 2 5
B1
1 2
1
2
1 5
1 2
1
1 B2 3
1 3 1
1
8 1
3
8 3 1
1 1 3
B3
1 1
1 1
3
3 3 1
1 3 4
B4
1 3
1
1
1 4
1
1
1 B5 1
1 1
1
4 1
4
4 4 1
(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验
数学建模常用模型
模型Ⅰ：层次分析法
问题1 选择旅游地
现有三个旅游胜地可供选择，分别为苏杭、黄山、 桂林，下面将作出旅游地的选择。
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后 作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法 解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了 一种能有效处理这类问题的实用方法。
甲 1’06”8 1’15”6 1’27”
58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
如何选拔队员组成4100米混合泳接力队?
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
丁的蛙泳成绩退步到1’15”2；戊的自由泳成绩进步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？
B1, B2 , B3 ,可B以4 , B5
求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：
k1
234
5
k1 0.595 0.0Baidu Nhomakorabea2 0.429 0.633 0.166
k 2 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166
k3 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668
计算最下层对最上层总排序的权向量。 利用总排序一致性比率
CR a1CI1 a2CI 2 amCI m a1RI1 a2 RI 2 am RI m
CR 0.1
进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重
新考虑模型或重新构造那些一致性比率
较大的成对比较矩阵。
CR
故，层次总排序通过一致性检验。
0.3, 0.246 , 0.456 可作为最后的决策依据。
即各方案的权重排序为
B3 B1 B2
又 B1, B2 , B3 分别表示苏杭、黄山、桂林，
故最后的决策应为去桂林。
模型Ⅱ：线性规划
问题二 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
当且仅当
时，n 为一致A阵。
， n
由于 连续的依赖于 ，则 a比ij 大的越多， 的n不一致
A
性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上
层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，
引起的判断误差越大。因而可以用
数值的大小来衡n 量
A 的不一致程度。
定义一致性指标
CI n
n 1
其中 n为 的A对角线元素之和，也为 的特征根之A和。
称为层次总排序
从最高层到最低层逐层进行。设：
Z
A1
A2
Am
A层m个因素 A1, A2 , , Am , 对总目标Z的排序为
a1, a2 , , am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
B1
B2
Bn
的层次单排序为
b1 j , b2 j , , bnj ( j 1,2, , m)
B 层的层次总排序为：
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓明确问题 ✓递阶层次结构的建立 ✓建立两两比较的判断矩阵 ✓层次单排序 ✓层次综合排序
层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下
面为方案层，中间是准则层或指标层。 若上层的每个因素都支配着下一层的所有因
素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结 构，否则称为不完全层次结构。
同理B得2 ,，B3 对总目标的权值分别为： 0.246, 0.456,
决策层对总目标的权向量为：
0.3, 0.246 , 0.456
又 CR (0.263 0.003 0.475 0.001
0.055 0 0.099 0.005 0.110 0)
/ 0.58 0.015 0.1
一致阵的性质：
1.
aij
1 a ji
, aii
1, i, j 1,2,
,n
2. A的各行成比例，则 rankA 1
3. A的最大特征根（值）为 λ n, 其余n-1个
特征根均等于 0。
4. A的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量n。
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最
大特征根 的归n 一化特征向量
k 3.005 3.002 3 3.009 3
CI k 0.003 0.001 0 0.005 0 RI k 0.58 0.58 0.58 0.58 0.58
计算 CR可k知
B1, B2 , B3 , B通4 过, B一5致性检验。
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B1 对总目标的权值为： 0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.3
3 层次单排序及一致性检验
层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。
例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各n块的重量
分别记为： w1, w2 , , wn
则可得成对比较矩阵
由右面矩阵可以看出，
wi wi wk
wj
wk w j
43设某地区共有n1人最初时刻共有i人得病t时刻已感染infective的病人数为it假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给k个人k称为该疾病的传染强度且设此疾病既不导致死亡也不会康复模型1此模型即malthus模型它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况在医学上有一定的参考价值但随着时间的推移将越来越偏离实际情况
定义随机一致性指标 RI
随机构造500个成对比较矩阵
A1, A2 , , A500
则可得一致性指标
CI1, CI 2 , , CI500
RI
CI1 CI 2
CI 500
1 2
500
500
n
500
n 1
随机一致性指标 RI 的数值：
n 12 3
4
5
6
7
8
9
10 11
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
w1, w2 , , wn
wi 表示下层第 个i因素对上层某因素影响程度的权值。
若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大
n
wi 1
i 1
特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则
w
Aw w
w w1, w2 , , wn
这样确定权向量的方法称为特征根法.
定理：
阶n互反阵
的最A大特征根
2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如 下：
Z A1 A2 A3 A4 A5
A1
1 1/2 4
3
3
A2
2 1 7 55
A3 1/4 1/7 1 1/2 1/3
A4 1/3 1/5 2
1
1
A5 1/3 1/5 3
即 B层第 个i因素对
总目标的权值为：
B1 : a1b11 a2b12 amb1m B2 : a1b21 a2b22 amb2m
m
a jbij j 1
Bn : a1bn1 a2bn2 ambnm
A
A1, A2 , , Am
B层的层次
B
a1, a2 , , am
总排序
m
B1
b11 b12
建立选择旅游地层次结构
选择
旅游地
景
费
居
饮
旅
色
用
住
食
途
苏杭、
黄山、桂林
目标层Z 准则层A 方案层B
Z
A1
A2
A3
B1
B2
A4
A5
B3
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。
B1, B2 , B3
分别表示苏杭、黄山、桂林。
2 构造成对比较矩阵
设某层有 个因n 素，
2.构造成对比较矩阵 从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。
3.计算单排序权向量并做一致性检验 对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、 随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化 后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。
4.计算总排序权向量并做一致性检验
三 层次分析法建模举例
1 旅游问题 (1)建模
Z
A1
A2
A3
B1
B2
A4
A5
B3
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。
B1, B2 , B3
分别表示苏杭、黄山、桂林。
（2）构造成对比较矩阵
1
2 1
1
2 1 1
4 7 1
3
5 1
3
5 1
A 4 7
A则称为成对比较矩阵。
A
aij
a11
nn
a21 an1
a12 a22 an 2
a1n
a2n
ann
标度
定义与说明
1 两个元素对某个属性具有同样重要性
3 两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要
5 两个元素比较，一元素比另一元素明显重要
7 两个元素比较，一元素比另一元素重要得多
9 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要
1
1
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
由上表，可得成对比较矩阵
1
2
1 2 1
4 7
3 5
3
5
A
1 4
1 7
1
1 1 2 3
1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。
问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
1
w
2
A w1
wn w1
w1 w2 1
wn
w2
w1
wn w2
wn
1
即， aik akj aij i, j 1,2, , n
但在例2的成对比较矩阵中，
在正互反矩阵
中，A若
a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
aik则称akj 为一a致ij阵。 A
Aj ( j 1,2, , m)
，
RI j
CR a1CI1 a2CI 2 amCI m a1RI1 a2 RI 2 am RI m
当 CR 0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。
到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
层次分析法的基本步骤归纳如下
1.建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。