导数典型例题讲解

资料一 ：导数.知识点
1．导数的概念
例1．已知曲线y
P (0, 0)，求过点P
的切线方程·
解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线
PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·
解析：∵ y =x 2, ∴ ∆y =(x 0＋∆x )2－x 02＝2x 0∆x ＋(∆x )2 =4∆x ＋(∆x )2
∴ k ＝00
lim
lim (4)4x x y
x x ∆→∆→∆=+∆=∆. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0. 例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋∆t ]内相应的平均速度．
解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ∆S =1+(t +∆t )+(t +∆t )2
－(1+t +t 2)=2t ·∆t +∆t +(∆t )2,
∴21S
t t t
∆=++∆∆, 即()21v t t t =++∆, ∴ (5)11v t =∆+, 即在[5，5＋∆t ]的一段时间内平均速度为(∆t ＋11)米／秒
∴ v (t )=S ’＝00
lim
lim(21)21t t S
t t t t ∆→∆→∆=++∆=+∆ 即v (5)＝2×5＋1＝11.
∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y
x =1处的导数。

解析：∆y
1=
, ∴ y x ∆∆
, ∴ 0lim
x y x ∆→∆∆
=1
lim 2
x ∆→=-.
例5．已知函数f (x )=2
1sin 00
x x x
x ⎧≠⎪
⎨⎪=⎩, 求函数f (x )在点x ＝0处的导数
解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，∆y =f (0+∆x )－f (0)=21
()sin x x
∆∆
,
y x
∆∆=1sin x x ∆⋅∆, 0lim x y
x ∆→∆∆=01lim sin x x x ∆→∆⋅∆=0, 即 f ’(0)＝0.
∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为0.
例6．已知函数f (x )=2
1(1)12
1(1)12
x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？
解析：f (1)=1, 20001
[(1)1]1
1
2lim lim lim (1)12x x x x y x x x ---∆→∆→∆→+∆+-∆==+∆=∆∆,
001
(11)11
2lim lim 2
x x x y x x ++∆→∆→+∆+-∆==∆∆, ∵00lim lim x x y y x x -
+∆→∆→∆∆≠∆∆, ∴ 函数y =f (x )在x ＝1处不可导． 例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.
解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ∆y =2(x +∆x )3+3－(2x 3+3)=6x 2·∆x +6x ·(∆x )2+2(∆x )3,
∴ y x
∆∆=6x 2+6x ·∆x +2(∆x )2, ∴ y ’=0lim x y x ∆→∆∆=6x 2.
例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程和法线方程．
解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,
∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1) 即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－6
1， ∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－
6
1
( x －1)，即 6y ＋x －31＝0. 例9．抛物线y ＝x 2
在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？
解析：∵ y ’=0lim x y
x ∆→∆∆=220()lim
2x x x x x x
∆→+∆-=∆, 令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4)处切线平行于直线y ＝4x －5.
例10．设mt ≠0，f (x )在x 0处可导，求下列极限值
(1) 000()()lim x f x m x f x x ∆→-∆-∆； (2) 000()()lim x x f x f x t x
∆→∆+-∆.
解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。

(1) 000()()lim x f x m x f x x ∆→-∆-∆=0000()()
lim
()'()x f x m x f x m m f x m x ∆→-∆-⋅-=-⋅-∆, （其中－m ·∆x →0）
(2) 000
()()
lim
x x
f x f x t x
∆→∆+
-∆=0000()()11lim '()x x f x f x t f x x t t t
∆→∆+-⋅=⋅∆.
（其中1
0x t
∆→）
例11．设函数f (x )在x ＝1处连续，且1
()
lim
21
x f x x →=-，求f ’(1). 解析：∵ f (x )在x ＝1处连续，∴ 1
lim ()x f x →=f (1).
而又1
1
11()()
lim ()lim(1)lim(1)lim 011
x x x x f x f x f x x x x x →→→→=-⋅
=-⋅=--×2=0. ∴ f (1)=0. ∴ f ’(1)=0
1(1)(1)()(1)lim
lim 21
x x f x f f x f x x ∆→→+∆--==∆-（将∆x 换成x －1） 即f ’(1)＝2.
例12．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．
解析：由y ’＝0lim x y
x ∆→∆∆=220()()()lim
2x a x x b x x c ax bx c ax b x
∆→+∆++∆+-++=+∆, 由函数在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切, ∴ 2a ×2＋b ＝1，
又函数过点(1，1)，(2，－1), ∴ a ＋b ＋c =1， 4a ＋2b ＋c ＝－1， 由三式解得a ＝3，b ＝－11，c =9.
例13．设曲线y ＝sin x 在点A (6π，21)处切线倾斜角为θ，求tan(4
π
－θ)的值.
解析：∵ y =sin x ，∴ ∆y =sin(x +∆x )－sin x =2cos(x +2x ∆)sin 2
x
∆,
∴
y ’=0lim x y x ∆→∆∆=0002cos()sin sin
222lim lim cos()lim cos 22
x x x x x x
x x x x x
x ∆→∆→∆→∆∆∆+∆=+⋅=∆∆. 即y ’＝(sin x )’＝cos x , 令在A 点处切线斜率为k =cos
6π=23, ∴ tan θ=2
3, θ∈(0, π), ∴ tan(4π－θ)
＝
11tan 71tan θθ-
-==-+H ， 例14．设f (x )是定义在R 上的函数，且对任何x 1、x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)f (x 2)，若f (0)≠0，f ’(0)＝1，证明：对任何x ∈R ，都有f (x )=f ’(x )
解析：由f (x 1＋x 0)=f (x 1)f (x 2)，令x 1＝x 2＝0得f (0)＝f (0)f (0), 又f (0)≠0
∴ f (0)=1 由f ’(0)=1即0
0()(0)()1
lim
lim 1x x f x f f x x x
∆→∆→∆-∆-==∆∆, ∴ f ’(x )＝
000()()()()()()1lim lim ()lim ()x x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆-∆-==⋅=∆∆∆. 即f ’(x )=f (x )成立．
2．几种常见函数的导数
例1．已知f (x )=x 3，求f ’(x ) ，f ’(1)，(f (1))’，f ’( 0.5)
解析：f (x )=x 3, ∴ f ’(x )＝3x 2, f ’(1)=3,
f ’( 0.5)＝3×(0.5)2= 0.75，(f (1))’=(1)’=0. 说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值． 例2．已知曲线y =x 2上有两点A (1, 1), B (2, 4)，求 ① 割线AB 的斜率；②在[1， 1＋∆x ]内的平均变化率；③ 过点A 处的切线斜率k AT ；④ 点A 处的切线方程．
解析：① k AB ＝41
21
--＝3；
② 平均变化率2(1)(1)(1)12y f x f x x x x x
∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆, ③ y ’＝2x , ∴ y ’|x ＝1＝2. 即点A 处的切线斜率为K AT ＝2.
④ 点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)即2x －y －1＝0.
说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系
y ’=0lim x y
x
∆→∆∆.
例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y =1
x
在点P (1，1)处的切线倾斜
角及该点处的法线方程．
解析：解法一：f (x )=1x , ∆y =f (1+∆x )－f (1)=1111x
x x
-∆-=+∆+∆,
∴ y ’|x =1=0lim x y x ∆→∆∆=01
lim
11x x
∆→-=-+∆. 即在点P 处斜率为k ＝－1，∴ 倾斜角为135°， 法线方程y －1＝x －1即x －y ＝0.
解法(二)：y =f (x )＝1x ，y ’=f ’(x )=21
x
-, ∴ y ’|x =1＝－1.
即在点P 处切线斜率为k =－1，以下同法(一)
说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可． 例4．已知曲线y
P (0，0)，求过点P 的切线方程.
解析：由y
∴ y
’==在x =0处导数不存在，由图形知
过P 点的切线方程是x =0. 例5．设曲线y ＝cos x 在A (6π，2
3)点处的切线倾斜角为θ，求cot(4π－θ)的值
解析：y =cos x , y ’=－sin x , x =
6π时, k =－sin 6π=－21, ∴ tanθ=－2
1， ∴ cot(4
π－θ)=1111tan 121tan 3tan()142
θπθθ-
+===--+
. 例6．求曲线y ＝x 3在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积． 解析：∵ y =x 3, ∴ y ’=3x 2, y ’|x =3=27,
∴ 曲线 y =x 3在点(3，27)处的切线方程为y －27＝27(x －3), 即y ＝27x －54. 其与x 轴，y 轴交点分别为(2，0)，(0，－54)
∴ 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S =2
1
×2×54＝54.
例7．在抛物线y ＝x 2
上取横坐标为x 1＝1及x 2＝3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？
解析：已知两点A (1，1)B (3，9)，割线斜率为k AB =4,
∵ y ’＝2x ，令y ’=2x ＝4得x ＝2, 即在点(2，4)处切线平行于这一割线．
3．函数和、差、积、商的导数 例1．求下列函数的导数： ① y =3x 2＋x cos x ；② y =
tan x x ； ③ y =x tan x －2cos x
；④ y =1
11x
+.
解析：① y ’=6x +cos x －x sin x ；
② y ’=222
(tan )'tan ()'sec tan x x x x x x x
x x
⋅-⋅-=； ③ y =
sin 2cos x x x -, ∴ y ’=2
(cos sin )cos (sin 2)(sin )cos x x x x x x x x
+⋅--⋅-
=2sin (cos 2)cos x x x
x
-+.
④ y =
1
111x x x =-++, y ’=22
11(1)(1)x x --=++. 例2．已知函数f (x )=x 3－7x +1，求f ’(x )，f ’(1)，f ’(1.5).
解析：f (x )=x 3－7x +1, ∴ y ’= f ’(x )=3x 2－7, f ’(1)=－4，f ’(1.5)=－4
1. 注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值．
例3．已知函数y ＝x 3＋ax 2－3
4
a 的导数为0的x 值也都使y 值为0，求常数a
的值．
解析：y ’=3x 2+2ax , 令y ’=0, 则3x 2+2ax =0, x 1=0, x 2=－3
2
a ,
当x =0时，y =0=－3
4
a ，∴ a =0，即a ＝0满足条件,
当x =－32a 时．y ＝0=32844
2793
a a a -+- 得a ＝0或a ＝±3
检验知a ＝±3不满足条件，
∴ 常数的值为0.
例4．曲线y ＝－x 2＋4x 上有两点A (4，0)，B (2，4)，求① 割线AB 的斜率k AB ； ② 过点A 处的切线斜率k A ；③ 点A 处的切线方程。

解析：① 割线AB 的斜率k AB =40
24
--=－2；
② y ’=－2x +4，∴ y ’|x =4=－4，即k A =－4；
③ 过A 点的切线方程为y －0＝－4(x －4)，即 y ＝－4x ＋16.
例5．已知F (x )=f (x )＋g (x )，就下列两种情形判断F (x )在x ＝x 0处是否可导？ ① f (x )在x ＝x 0处可导，g (x )在x ＝x 0处不可导． ② f (x )，g (x )在x ＝x 0处均不可导． 解析： ① F (k )在x ＝x 0处不可导．
假设F (x )在x ＝x 0处可导， 由F (x )=f (x )＋g (x ), ∴g (x )＝F (x )－f (x ). ∵ f (x )在x ＝x 0处可导，∴ g (x )在x =x 0处可导，与条件g (x )在x ＝x 0处不可导矛盾， ∴ F (x )在x ＝x 0处不可导． ② F (x )在x ＝x 0处不一定可导．
如设 f (x )=sin x +1x , g (x )=cos x －1
x
, 则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，
但F (x )=f (x )+g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导．
另：若．g (x )=tan x +1
x
上，在x ＝0处不可导，
F (x )=f (x )+g (x )=sin x +tan x +2
x
在x ＝0处也不可导．
例6．曲线y ＝x 3
＋x －1上求一点P ，使过P 点切线与直线y =4x －7平行．
解析： y ’=(x 3＋x －1)’＝3x 2＋1，
由过P 点切线与直线y ＝4x －7平行， 令3x 2＋1＝4得x ＝±1，
当x =1时，y =1，此时切线为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3与直线y ＝4x －7平行，∴ P 点坐标为(1，1)。

当x ＝－1时，y ＝－3，此时切线为y ＋3=－3(x ＋1)，即y ＝4x ＋1也满足条件，∴ P 点坐标为(－1，－3).
综上得P 点坐标为(1，1)或(－1，－3). 例7．证明：过抛物线y ＝a (x －x 1)(x －x 2), (a ≠0，x 1＜x 2)上两点A (x 1，0)，B (x 2，0)的切线倾斜角互补．
解析： y ’=2ax －a (x 1+ x 2).
∴ 112'|()x x y a x x ==-, 即k 1=a (x 1－x 2), 121'|()x x y a x x ==-, 即k 2=a (x 2－x 1), ∵ k 1=－k 2，∴ 两切线倾斜角互补．
例8．已知曲线y =f (x )及y =f (x )sin ax ，(a ≠0)，其中f (x )＞0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处彼此相切．
解析：由f (x )=f (x )sin ax , f (x )>0，∴ sin ax =1，ax =2k π+2π
(k ∈Z ),
∴ x =
22k a π
π+
，设曲线交点(x 0, y 0)， 即x 0=
22k a
π
π+
.
又两曲线y 1=f (x )，y 1’=f ’(x )，y 1=f (x )sin ax ，y 2’=f ’(x )sin ax +a ·cos x ·f (x )
010'|'()x x y f x ==, 02000'|'()sin(2)()cos(2)'()22
x x y f x k af x k f x ππ
ππ==+++=,
∴ k 1=k 2，即两曲线在公共点处相切.
例9．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．
解析：由y ’=3x 2－6x +2=k , 又由kx =x 3－3x 2+2x ，∴ 3x 3－6x 2+2x =x 3－3x 2+2x ,
即2x 3－3x 2＝0得x 1＝0或x 2=23．∴ k ＝2或－4
1
．
4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数
例1．函数y ＝(sin x 2
)23
是由函数y ＝ ，u ＝ ，v = 三个函数复合而成．
解析：答案分别为：y =u 23
, u =sin v . v =x 2. 例2．求下列函数的导数：
① y =(x 2
+2x )3
；② y =2
54x e +；③ y
y ＝(sin x 2
)13
；
⑤ y ＝ln(x
)；⑥ y ＝x 3lig 3x ；⑦ y =
cos 5sin 2x
x
；⑧ y =x n , (x ∈R +, n
∈R ).
解析：① y =(x 2+2x )3， y ’=3(x 2+2x )2·(2x +2)=6(x +1)(x 2+2x )2.
② y =2
54x e +, y ’= 2
54x e +·(8x )=8x ·2
54x e +.
③ y
, y ’=3
1
2
23()ax bx x -++·(2ax +b ).
④ y =(sin x 2
)1
3
, y ’=312
23
(sin )x -·cos x 2·2x
2⑤ y ＝ln(x
), y
(1
⑥ y ＝x 3lig 3x , y ’=3x 2·lig 3x +x 3·1
x
lig 3e =3x 2lig 3x +x 2lig 3e =x 2lig 3(ex 3). ⑦ y =
cos 5sin 2x
x
, y ’=
22
(cos5)'(sin 2)cos5(sin 2)'5sin 5sin 22cos5cos 2(sin 2)(sin 2)x x x x x x x x
x x -⋅--=.
⑧ y =x n =ln ln ()x n n x e e =, y ’=ln 1
n x e n x
⋅⋅=n ·1x ·x n =1n nx -.
说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则等，这些要反复熟记·
例3．求函数f (x )=22
()()0或x a x b a x b
x a x b
⎧--⎨
<>⎩
≤≤的导数。

解析：f ’(x )= 2()()[()()]0或x a x b x b x a a x b
x a x b ---+-⎧⎨<>⎩≤≤,
∴ f ’(x )= 2()()(2)
0或x a x b x a b a x b x a x b ----⎧⎨<>⎩
≤≤
例4．若f (x )=x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1),解不等式f ’(x )>g ’(x ).
解析：f ’(x )=1+1
5
x -, g ’(x )=11x -, 由f ’(x )>g (x )，有
1+1
5x ->11x -, 即
2(3)0(5)(1)
x x x ->--, ∴ x >5或x <1. 又两函数定义域为x >5, 所以，不等式f ’(x )>g ’(x )的解集为(5，＋∞).
说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域． 例5．证明：可导奇函数的导数是偶函数。

解析： 法一：定义法：
设f (x )为可导奇函数，则f (－x )＝－f (x ),
∴ f ’(－x )=00()()[()()]
lim
lim x x f x x f x f x x f x x x ∆→∆→-+∆----∆-=∆∆
=0()()lim x f x x f x x
∆→-∆--∆=f ’(x ). 即f ’(－x )=f ’(x )．∴导函数为偶函数. 法二：复合函数求导法：
设f (x )为可导奇函数，则f (－x )＝－f (x )，两边对x 求导 得：[f (－x )]’=－f ’(x ) 即 －f ’(－x )＝－f ’( x ), ∴ f ’(－x )＝f ’(x )．∴ f ’(x )为偶函数，即命题成立． 同理可证：可导偶函数的导数是奇函数．
例6．石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am /s ，问在b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少？ 解析：设b 秒末最外一圈波纹的半径为R ，则R =ab , ∴ S ＝πR 2，又 R ’＝a ，
∴ S ’|R =ab =2πR ·R ’(t )|R =ab =2πa 2b .
即b 秒末波扰动水面积的增大率为2πa 2b m 2/s . 例7．将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥
形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度．(如图)
解析：设注入水t 分钟后，水深为h 米，
由相似三角形对应过之比可得水面直径为4
3
h 米，
这时水的体积温V =31
π(83h )2·h =3364
h π，由于水面
高度h 随时间t 而变化，因此h 是t 的函数h ＝h (t )，由此可得水的体积关于时
间t 的导数为V ’t ＝V ’h ·h ’t ，∴ V ’t =32
39()'''6464
t t h h h h ππ⋅=
⋅， 由假设，注水的速度为 4米3／分．
∴ Vt ’=2
9'64
t h h π⋅=4, 即h ’t =24649h π⨯,
∴ 当h ＝5米时，水面上升的速度为h ’|h =5=256
225π
(米/分).
5．函数的单调性和极值
1．求函数y ＝e x －x ＋1的单调区间
解析：y ’=(e x －x +1)’=e x －1, 由e x －1>0得x >0，即函数在(0, +∞)上为增函数；
由e x －1<0得x <0，即函数在(－∞，0)上为减函数． ∴ 函数的单增区间为(0，＋∞)，单减区间为(－∞，0).
例2．证明：函数y 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调
递减．
解析：∵ y
,
当x ∈(0，1)时，y ’>0，∴ f (x )在(0，1)上递增； 当x ∈(1，2)时，y ’<0，∴ f (x )在(1，2)上递减． 例3．讨论函数y =x －2sin x 在(0，2π)内的单调性.
∵ y ’=1－2cos x , x ∈(0, 2π)，由y ’>0，得3π
<x <53
π, 即y =f (x )在
(3π,53π)内是单调递增；同理，由y ’<0，得0<x <3π或53
π<x <2π， ∴ y =f (x ) 在(0, 3π
)和(53π, 2π)内都是单调递减。

例4．设f (x )
ax (a ＞0)，求a 的范围，使函数f (x )在(0，＋∞)上是单调函数．
解析：f ’(x
a ，当x ∈(0, +∞)时，
<1,
∵ a ＞0，且f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，
则必有f ’(x )<0，∴a ≥1.
即a ≥1时，函数f (x )在(0，＋∞)上是单调函数．
例5．已知函数f (x )＝lg(2)ax a -(a ＞0且a ≠1)在定义域(0，1)上是减函数，求a 的取值范围．
解析：∵ 定义域要求2－ax >0, x <
2
a
, 又函数在(0, 1)上都有意义， ∴ 2
a
≥1，∴ a ≤2,
∵ y ’=lg(2)lg(2)1011
ln log ()lg 22ax ax a a e a a a ax x a
--⋅⋅
⋅⋅-=⋅⋅
--， 由y ’<0，得lg 0lg 0或22
00a a x x a a ⎧><⎧⎪⎪
⎨⎨-<->⎪⎪⎩⎩
， 若 0<a <1, 则 lga <0, 2x a -
>0，则x >2
a
>2与定义域x ∈(0, 1)矛盾， ∴ 只有a >1，此时lga >0, 2x a -<0, x <2
a <2, ∴ 1<a ≤2.
例6．当x ＞0时，证明不等式ln(1)1x
x x x
<+<+ 解析：设f (x )= ln(1)1x x x -++=11ln(1)1x x
--++,
则f ’(x )=2211(1)1(1)
x x x x -=-+++, 当x >0时，f ’(x ) =2(1)x x -
+<0, 即f (x )在(0，＋∞)上是递减函数， 又当x ＝0时，f (0)＝0．∴ f (x )<f (0), 即ln(1)1x x x
-++<0, ∴ ln(1)1x x x <++. 令g (x )＝ln(1＋x )－x , g ’(x )＝1111x x x
--=++ 当x >0时，g ’(x )<O ，∴ g (x )也为减函数，
又当x ＝0时，g (x )＝0，∴ g (x )<g (0). ln( 1＋x )－x ＜0即ln(1＋x )<x .
∴ ln(1)1x x x x
<+<+ 例7．右图是函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的图象，试结合
图形说明函数的极值情况：
解析：f ’(x )=3x 2+2x －5=(3x +5)(x －1),
令f ’(x )=0, 得x 1=－3
5, x 2=1， ∴ x =－3
5和x ＝1是f (x )可能的极值点， 又由图象可以看出，f (－3
5)比它临近点的函数值大，f (1)比它临近点的函数值要小，
∴ f (－3
5)，f (1)分别是函数的极大值和极小值，除此之外，没有其它极值点．
例8．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1与x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求f (x )表达式.
解析：∵ f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴ f ’(x )=3ax 2+2bx +c , x ∈(－∞, +∞)， 由已加f (x )在x =一1与x ＝1时有极值．
∴ f ’(1)＝f ’(－1)＝0， 又f (1)＝－1，
∴ 3203201a b c a b c a b c ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩
，解得 a =21, b =0, c =－23. ∴ f (x )=
21x 3－2
3x . 例9．已知f (x )=x 2＋c ，且g (x )=f [f (x )]=f (x 2＋1)，设φ(x )＝g (x )－λf (x )，问：是否存在实数λ，使φ(x )在(－∞，－1)上是减函数，并且在(－1，0)上是增函数．
解析：由f [f (x )]＝f ( x 2＋1)得 (x 2＋c )2＋c ＝(x 2＋1)2＋1，得c ＝1，
∴ φ(x )＝g (x )－λf (x )＝x 4＋(2－λ)x 2＋(2－λ)是连续函数，
φ’(x )＝2x (2x 2＋2－λ)
由φ(x )在(－∞，－1)上是减函数，且在(－1，0)上是增函数，
∴ φ’(x )|x =－1=φ’(－1)=0，∴ λ=4，
即存在实数λ＝4，使φ(x )满足条件．
说明：本题若用函数单调性定义太繁！
6．函数的最大值和最小值
例1．求函数f (x )＝5x ＋
.
解析：由3040x x +⎧⎨-⎩
≥≥得f (x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区间[－3, 4]上的最值问题。

∵ y ’＝f ’(x )
＝5+ 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增． ∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27，
∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27].
例2．设
32<a <1，函数f (x )＝x 3－23ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值
求a , b 的值。

解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a )，当x 变化时，f ’(x ), f (x )的变化情况列表如下：
当x =0时, f (x )取极大值b ，而f (0)>f (a )，f (－1)<f (1)，
∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小，
∵ f (0)－f (1)＝2
3a －1>0，∴ f (x )的最大值为f (0)＝b －1， 又f (－1)－f (a )=21(a 3－3a －2)=2
1(a +1)2(a －)<0，
∴ f (x )|min =f (－1)，∴ －23a －1+b =－23a =
－2, ∴ a
=3
b =1. 例3．若函数f (x )在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )<0，f (x )是严格单调递增的，求()f x x
在(0，a ]上的最大值。

解析：2
()'()()[]'f x f x x f x x x ⋅-=，∵ f (x )是严格单调递增的， ∴ f ’(x )>0，∵ f (x )<0，x >0，∴f ’(x )·x －f (x )>0，
∴ 2()'()()[]'f x f x x f x x x ⋅-=>0，∴ ()f x x
在(0，a ]上是增函数。

∴ ()f x x 在(0，a ]上最大值为()f a a
． 例4．设g (y )＝1－x 2＋4 xy 3－y 4在y ∈[－1，0]上最大值为f (x )，x ∈R ， ① 求f (x )表达式；② 求f (x )最大值。

解析：g ’(y )=－4y 2(y －3x ), y ∈[－1, 0]，
当x ≥0时，g ’(y )≥0，∴ g (y )在[－1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1－x 2. 当－3
1<x <0时，g ’(y )>0，在[－1，3x ]上恒成立，在(3x ，0)上恒成立， ∴ f (x )=g (3x )=1－x 2+27x 4.
当x ≤－3
1时，g ’(y )，g (y )在[－1，0]上递减, ∴ f (x )=g (－1)=－x 2－4x , ∴ f (x )=2
24
210112703143
x x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪-+-<<⎨⎪⎪---⎪⎩≥≤. ② 当x ≥0时，f (x )≤f (0)=1，
当x ∈(－31，0)时，f (x )=27[(x －154
)2－2154]+1<f (－31)=119, 当x ≤－3
1时， f (x )＝－( x ＋2)2＋4≤f (－2)＝4, ∵ 1<119
< 4，∴ f (x )|max ＝f (－2)＝4. 例5．设函数f ( x )＝3x 2+3a x
(x ∈(0，＋∞))，求正数a 的范围，使对任意的x ∈(0，＋∞)，都有不等式f (x )＞20成立。

解析：f ’(x )＝6x －43a x ，令f ’(x )=0得 x ＝15()2
a ， 当0<x <15()2a 时，f ’(x )＜0，当x >1
5()2
a 时f ’(x )＞0，
∴ x ＝1
5()2
a 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f (x )≥20恒成立，∴ f (x )|min ≥20,
∴ 1225553255
5(())3()2022()22
a a a f a a =⋅+=⋅≥, 解得a ≥64. 例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？
解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S =2πRh +2πR 2，
∴ h =222S R R ππ-, ∴ V (R )＝S 底面·h =2222122
S R R SR R R ππππ-⋅=-, 由V ’(R )=0得
2
1S －3πR 2=0得S =6πR 2，∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2，∴ h =2R ， 即当罐的高和底面直径相等时容积最大．
例7．已知三次函数f (x )=x (x －a )(x －b )，其中0＜a ＜b ．
（1）设f (x )在x ＝s 及x =t 处取最值，其中s ＜t ，求证：0＜s ＜a ＜t ＜b ；
（2）设A (s ，f (s ))，B (t ，f (t ))，求证：AB 中点C 在曲线y ＝f (x )上； （3）若a ＋b ＜22，求证：过原点且与曲线y ＝f (x )相切的两直线不可能垂直。

解析：（1）f ’(x )＝3x 2－2(a ＋b )x +ab ，
由f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取最值，∴ s ，t 分别是方程f ’(x )＝0的两实根．
∵ f ’(0)=ab >0，f ’(a )＝3a 2－2(a ＋b )a +ab =a (a －b )<0，
f ’(b )＝b 2－ab =b (b －a )>0，∴ f ’(x )＝0在(0，a )及(a ，b )内分别有一个实根，
∵ s <t ，∴ 0＜s ＜a ＜t ＜b .
（2）由s ，t 是方程f ’(x )＝0的两根．∴ 2()33a b s t ab st +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
, ∴ f (s )+f (t )=342()()273
a b ab a b -
+++, ∵ 3211()()()()[()()]232732
s t a b f f a b ab a b f s f t ++==-+++=+, ∴ AB 的中点C (2s t +，f (2
s t +))在曲线y =f (x )上. （3）过曲线上点(x 1，y 1)的切线方程为y －y 1=[3x 12－2(a ＋b )x 1+ab ](x －x 1), 由y 1=x 1(x 1－a )(x 1－b )且切线过原点．
∴ －x 1(x 1－a )(x 1－b )=－x 1[3x 12－2(a ＋b )x 1＋ab ],
当x 1=0时，切线的斜率为k 1=ab ，
当x 1=
2
a b 时，切线斜率为－41(a +b )2+ab ， ∵ a , b >0，a +b <22，∴ k 1k 2=[－4
1(a +b )2+ab ], Ab =(ab )2－4
1(a +b )2+ab >(ab )2－2ab =(ab －1)2－1≥－1 ∴ k 1k 2≠－1，即两切线不可能垂直。