运筹学考试题b卷附标准答案

运筹学期末考试题（ b 卷）
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上。

2、答案用钢笔或圆珠笔写在答题卡上，答在试卷上不给分。

3、考试结束，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（每小题 1 分，共 10分） 1：下列关于运筹学的缺点中，不正确的是（）
A.在建立数学模型时，若简化不慎，用运筹学求得的最优解会因与实际相差大而失去意义
B.运筹学模型只能用借助计算机来处理
C.有时运筹学模型并不能描述现实世界
D.由于运筹学方法的复杂性使一些决策人员难以接受这些解决问题的方法2：在下面的数学模型中，属于线性规划模型的为（）
max S 4X Y min S 3X Y max S X2Y2min S 2XY
A. s.t. XY 3
B. s.t
. 2X Y 1 C. s.t. XY2 D. s.t. XY3
X,Y 0 X,Y 0 X,Y 0 X,Y 0
3．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（）代换。

A．和 B ．商 C．积 D．差
4：以下关系中，不是线性规划与其对偶问题的对应关系的是（）。

A.约束条件组的系数矩阵互为转置矩阵
B.一个约束条件组的常数列为另一个目标函数的系数行向量
C.两个约束条件组中的方程个数相等
D.约束条件组的不等式反向 5．对偶问题的对偶是（）
A．原问题 B ．解的问题 C．其它问题 D．基本问题 6：若原问题中x i0 ，那么对偶问题中的第i 个约束一定为（）
A．等式约束 B ．“≤”型约束矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

C．“≥”约束D ．无法确定7：若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部（）
A ．小于或等于零
B ．大于零
C．小于零D ．大于或等于零8：考虑某运输问题，其需求量和供应量相等，且供应点的个数为 m，需求点的个数是 n。

若以西北角法求得其初始运输方案，则该方案中数字格的数目应为（）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。

A.（ m+n）个
B.（ m+n-1 ）个
C.（ m-n）个
D. （ m-n+1）个
9：关于动态规划问题的下列命题中错误的是（）
A、动态规划分阶段顺序不同，则结果不同
B、状态对决策有影响
C、动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相对独立性
D、动态规划的求解过程都可以用列表形式实现
10：若 P为网络 G 的一条流量增广链，则 P中所有逆向弧都为 G 的（）
A ．非零流弧
B ．饱和边
C ．零流弧
D ．不饱和边 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。

二、 判断题（每小题 1 分，共 10分） 1：如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点。

（ ） 2：线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点（ ）
3：若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的 最优解（ ）
4：对偶问题的对偶问题一定是原问题。

（ ） 5：任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。

（ ）
6：运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一：有 唯一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。

（ ） 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。

7： 动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已做出的决策。

（ ） 8： 一个线性规划问题若转化为动态规划方法求解时， 应严格按变量的下标顺序来划分阶段，
如将决定 x 1 的值作为第一阶段，决定 x 2的值作为第二阶段等。

max z 3x 1 2 x 2
x 1 2x 2 4 3x 1 x 2 12
x
1 x
2 3
x 1, x 2 0 用单纯形方法求解该线性规划问题的最优解
和最优值； 写出线性规划的对偶问题； 求解对偶问题的最优解和最优值。

2：今有 1000 台机床，要投放到 A 、B 两个生产部门，计划连续使用 2
部门投入 u A 台机器时的年收益是 g （u A ） 4u 2A （元），机器的完好9：在任意图中，当点集确定后，树是图中边数最少的连通图。

10：求网络最大流的问题可以归结为求解一个线性规划模型。

三、 填空题（每空 1 分，共 15分） 1：满足所有约束条件的一组值称为线性规划的 ____________________________________________ 或最小值的解称为线性规划问题的 在单纯形法中，初始基可能由 贸摄尔霁毙攬砖卤庑。

，这些解中，使目标函数取得最大 2：
三种类型的变量组成。

彈 3：
4：
5：
6：
7： 若原始问题可行，则其目标函数无界的充要条件是对偶问题 界解，其原问题为 。

謀荞抟箧飆鐸怼类
蒋薔。

在运输问题模型中，计算检验数的方法一般有 _ 动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解 ____ ______ 。

厦礴恳蹒骈時盡继價骚。

树的任意两个顶点之间有且只有一条 ；若对偶问题为无
和 ______ 两种方法。

，顺序求 _____ 、 网络中满足容量限制条件和中间点平衡条件的弧
上的流称为 四、计算题（每小题 15 分，45 分） 1：已知线性规划：
s.t.
a ）：
b ）： 3 年。

已知对 A
率a 0.5，相应的 B 部
门的年收益是h（u B） 2u2B（元），完好率b 0.9。

试求 3 年间总收益最大的年度机器分配
方案。

茕桢广鳓鯡选块网羈泪。

3：用破圈法和生长法求下图的最短树。

五、问答题（每小题 5 分，共 10分） 1．简述动态规划建模的一般过程和最优性原理。

2．网络最短路线问题的求解有多种方法，一般有狄克斯拉算法、海斯算法和福德算法。

试分析各自适用的范围和优缺点。

鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。

期末考试参考答案及评分标b 卷）
单项选择题（每1 分，共 10 分）
1.B
2.B
3.D
4.C
5.A
6.C
7.D 8 .B 9.A 10.A 籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。

判断题（每小题 1分，共 10 分）
1.T
2.F
3.F
4.T
5.T
6.F
7.T 8 .F 9.T 10.T 預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。

填空题（
每空 1
分，
共15 分）
1：可行解、最优解；
2：决策变量、松弛变
量、
人工变量；3：没有可行解、无可行解；4：
闭回路法、位势5：最优目标函数、最优策略、最优最优目标函数6：初等7：可行流。

渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。

计算题（每小题15 分，45 分） 1：解 a）:
X*[18,3,32,0,0]
555
max z 3 18 2 3 12
55
--- （ 5 分）
min w 4y1 12y2 3y3
y1 3y2 y3 3
s.t. 2y1 2y2 y3 2
y1, y2, y3 0
--- （ 5 分）
b）：其对偶问题为
c）：
Y [0,1,0] ，
w* z* 4 0 12 1 3 0 12 。

-------------- (5 分)
2：解该问题可以作为三段资源分配问题，每个年度是一个阶段。

k 阶段状态变量x k 取为该年度初完好的设备数，决策变量u k取为该年度投入A 活动的设备数，则有0 x k1000 ，0 u k x k 。

状态转移方程为：x k 1 0.5u k 0.9(x k u k ) ；相应的动态规划基
本方程为：f k(x k) max{4 u k2 2(x k u k)2 f k 1(x k 1)} 铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。

u
k
其中：x k 1 0.5u k 0.9( x k u k) -------------------------------------------- ( 3 分) 擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。

首先逆序求解条件最有目标函数值集合和条件最有决策集合：
22
k 3时，0 u3 x3, 注意到f4(x4) 0 ，有f3(x3) max{4u32 2(x3 u3)2} 。

最大值u3 发生在[0, x3 ]的端点。

2 2 2 2 2 2 u
3 0时，4u3 2(x3 u3) 2x3，而u3 x3时，4u3 2(x3 u3) 4x3
2'
可知：f3(x3) 4x3 ，u 3(x3) x3 ----------------------------- ( 3 分) 贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。

k 2时，0 u
x2, 注意到x30.5u20.9( x2u2) 和上面求出的f3(x3) ，有2
22
f2(x2) max{4 u22 2(x2 x2)2 f3 (0.5u2 0.9(x2 u2))}
u
2
max{4 u22 2(x2 x2)2 4[0.5u2 0.9( x2 u2)]2}
u
2
最大值发生在[0, x2] 的端点。

比较u2 0 和 u2 x2 时{ } 内的值可知：
2'
f2(x2) 5.24x22, u2'(x2) 0 --------------------- ( 3 分)
k 1时，0 u1 x1, 注意到x2 0.5u1 0.9( x1 u1 )和上面求出的f2 (x2)，有
22
f1(x1) max{4 u12 2(x1 x1)2 f2 (0.5u1 0.9( x1 u1))}
u
1
max{4 u12 2(x1 x1)2 5.24[0.5u1 0.9(x1 u1)]2}
u
1
最大值发生在[0, x1 ]的端点。

比较u1 0 和 u1 x1 时{ }内的值可知：
f1(x1) 6.24444 x12, u1'(x1) 0 ----------------------- (3 分)
由于x1 1000已知，因此条件最优目标函数值f1(x1) 就是整个计划周期内的最大收益R ，
其值为：
R * f 1(x 1) 6.2444 10002
6244400
u 1 u 1 (1000) 0, x *2 0.5u 1* 0.9(x 1* u 1*
) 900, u 2 u 2 (900) 0, x 3* 0.5u 2* 0.9(x 2 u *2) 810, u 3 u 3 (810) 810, x *4 0.5u 3*
0.9(x 3*
u 3*
) 405, 最优分配方案时第一年把 1000 设备全部投放到部门 B ，阶段收
入为 200 万元，年末完好设 备 900 台；第二年把 900 台完好设备全部全部投入部门 B ，年收入 162 万元， 年末完好设备 810台；第三年把 810台完好设备全部投入部门 A ，年收入为 262.44 万元，年末完好设备为 405台。

三年总收入最大为 624.44万元。

------------------------------------------------------------ (3 分)
坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。

3：解 破圈法
(1)：取圈 v 1, v 2 , v 3 , v 1 ，去掉边 [v 1,v 3] 。

(2)：取圈 v 2,v 4,v 3,v 2 ，去掉边 [v 2,v 4]。

(3
)：取圈
v 2, v 3 , v 5, v 2 ，去掉边 [v 2, v 5 ] 。

( 4)：取圈 v 3 , v 4 ,v 5, v 5 ,v 3 ，去掉边 [v 3,v 4] 。

p 6 ，而 q p 1 5 ，因此所得的是最短树。

结果如下图，
其
树的总长度为 12 。

蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。

生长法
根据生长法的基本原理，得以下计算表
v 2 v 3 v 4 v 5 v 6
S 1
{2}
6
v
2
3
8 9
S
2
{3} 8
9
在图中已无圈，此时， 6 分)
3 分)
据此也得到与破圈法相同的最短树。

. --------------------------------- （6 分）買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。

简答题（每小题 10 分，共 20分）
1：动态规划建模应完成如下工作：
（ 1）：确定阶段与阶段变量，阶段的划分一般是按照决策进行的时间或空间上的先后顺序划分的，阶段数等于多段决策过程中从开始到结束所需要作出决策的数目，阶段变量用 k 表示。

綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。

（ 2）：明确状态变量和状态可能集合。

状态变量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需要的信息。

（3）：确定决策变量和决策允许集合。

（ 4）：确定状态转移方程。

（5）：明确阶段效应和目标。

最优化原理：“最优策略具有的基本性质是：无论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，下余的决策序列比构成最优策略。

” 驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。

最优化原理的含义就是，最优策略的任何一部分子策略，也是相应初始状态的最优策略。

每个最优策略只能由最优子策略构成。

猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。

2：狄克斯拉算法适用的问题是所有满足l ij 0 的网络，算法能求出v1到所有其他点的
最短距离，特别的，经过有限次迭代（不超过n 次）则可求出v1到v n的最短距离。

锹
籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。

海斯算法适应的网络可以有负权，可以是有向网络，也可以是无向网络。

海斯算法得到的结果是网络中的点两两之间的最短距离，且海斯算法的效率很高，可以以较少的迭代次数完成，对于一个有 n 个点的网络，用海斯算法只需经过 m 次迭代就可以求出任意两点之间的最短距离，其中 m 为满足2m n 1 的最小整数。

構氽頑黉碩饨荠龈话骛。

福德算法是计算v1 到所有其他点的最短距离的一种方法，它适应于有负权，但无负回路的有向或无向网络，其迭代的效率比较高。

輒峄陽檉簖疖網儂號泶。