Mathematica-4_393406052

提取解
1 − <, 8x → 1 + <<
In[2]:= Print["x2=", x/.%[[2]] ] Out[2]= x2=1 −
例 x5 + 5 x3 − 2 = 0
In[1]:=
隐式解的运算
Out[1]= 88x →
Solve@x^5 + 5 x^3 − 2
8x → 8x → 8x → 8x →
3
0, xD
1. 代数函数运算
Simplify[Sum[Root[-2 + 5 #1 ^3 + #1 ^5 &, k], {k, 1, 5}]]
#1：未知变元
FullSimplify[Product[Root[-2 + 5 #1 ^3 + #1 ^5 &, k], {k, 1, 5}]]
Out[15]= Out[16]=
i j
−
−b −
è!!!!!!!!!!!!!!!!! b2 + 4 a c
>, :x →
Solve求解时，若有解，给出一般解表 示式；“不能”求解时，给出或警告信息等 回答以说明方程是无解方程。 Reduce是把所给方程简化，直到最简或 发现矛盾方程。前者给出全体可能解，后 者给出“False” 。
Root@−2 + 5 #13 + #15 &, 1D<, Root@−2 + 5 #13 + #15 &, 2D<, Root@−2 + 5 #13 + #15 &, 3D<, Root@−2 + 5 #13 + #15 &, 4D<, Root@−2 + 5 #13 + #15 &, 5D<<
0, xD
Solve@a x^2 − b x − c == 0, xD
b−
è!!!!!!!!!!!!!!!!! b2 + 4 a c
2a
In[26]:=
Out[26]= ja ≠ j j
i j k
Reduce@ax^2 − b x − c == 0, xD
Ja
0&& jx j j
k
0&& b ≠ 0 && x
1 è!!!! I2 − 2 M, 2 1 è!!!! : I2 + 2 M, 2
1
1 è!!!! I2 + 2 M>, 2 1 è!!!! I2 − 2 M>> 2
Eliminate[方程组, 隐元] 消去隐元后的方 程组
In[8]:=
Out[8]= −9 + y In[9]:=
In[10]:=
1 Out[9]= ::x → H−9 + yL>> 2
π
Out[6]= :8x →
Solve ::ifun : Inverse functions are being used by Solve , so some solutions may not be found ; use Reduce for complete solution information . More
命令 Solve Nsolve Roots Reduce FindRoot
Solve[方程,变量] 方程要用==
给出4次以下方 程的精确解
例 x3 − x 2 + 2 = 0
In[1]:= Solve[ x^3 - x^2 + 20, x ]
Out[1]= 88x → −1<, 8x →
如果方程右边是”==0”,可以省略该部分 方程只有一个变量时, 可以不标出变量; 有多个变量的时候必须标出方程变量
Out[8]= 88Sin@xD →
Solve@8Sin@xD + Cos@xD ^2 == 1, Sin@xD ^2 + Cos@xD^2 == 1 <, 8Sin@xD, Cos@xD<D
约束方程
2
>, 8x → π <>
In[9]:=
Out[9]= 88Sin@xD →
Solve@Sin@xD + Cos@xD ^2 == 1, 8Sin@xD, Cos@xD<D
In[18]:= PolynomialReduce[x^7 + y^7 + z^7, j, {x, y, z}]; 提出 r
Out[18]=
Last[%]
a7 − 7 a5 b + 14 a3 b2 − 7 a b3 + 7 a4 c − 21 a2 b c + 7 b2 c + 7 a c2
例 x5 + 5 x3 − 2 = 0
Out[11]= 88x → −1<, 8x →
8x → Root@11 − #1 + a #12 + #15 &, 2D<, 8x → Root@11 − #1 + a #12 + #15 &, 3D<, 8x → Root@11 − #1 + a #12 + #15 &, 4D<, 8x → Root@11 − #1 + a #12 + #15 &, 5D<<
Solve ::svars : Equations may not give solutions for all "solve " variables . More
8Sin@xD → 1, Cos@xD → 0<, 8Sin@xD → 1, Cos@xD → 0<<
0, Cos@xD → −1<, 8Sin@xD → 0, Cos@xD → 1<,
“或”的结果
SequenceB:x →
1 1 è!!!!!! è!!!!!! I3 − 29 M>, :x → I3 + 29 M>F 2 2
标准结果
4
解的存在性的界定
Reduce[方程,变量]
In[25]:= Out[25]= ::x →
给出全部的解
b+
è!!!!!!!!!!!!!!!!! b2 + 4 a c >>
②参数求导
In[17]:= D[Root[1 - #1 + a #1^2 + #1^5 &, 1], a]
2 2 5 Out[17]= −Root@1 − #1 + a #1 + #1 &, 1D ë 2 5
③参数作图
In[17]:= Plot[Root[1 - #1 + a #1^2 + #1^5 &, 1], {a, -5, 5}]
Solve@8x Solve@8x
Eliminate@8x
2x
1 + 2 a, y == 9 + 2 x<, x, aD
1 + 2 a, y == 9 + 2 x<, aD
例 用 x + y 和 xy 来表示函数 f = x5 + y 5
⎧ f = x5 + y 5 ⎪ ⎨a = x + y ⎪b = xy ⎩
前者给出全体可能解后者给出false解的存在性的界定解的存在性的界定切线法求解切线法求解findroot方程初值求数值根一定要给出合理的初始值否则可能无法求出方程的解用绘图方法观察初始值tan单缝衍射的次级大条纹中心位置方程in17
代数方程求解 Mathematica基础 及其应用
求解 f ( x) = 0
Roots[方程,变量] 输出逻辑表达式
隐式符号解
In[21]:= Out[21]=
x
0, xD
Roots@x^2 − 3 x − 5 == 0, xD
1 è!!!!!! I3 − 29 M »» x 2
In[22]:= Out[22]=
ToRules@%D
1 è!!!!!! I3 + 29 M 2
代数方程（组）的数值解
2 3 2 2 Out[13]= 8c − b z + a z − z , −b + a y − y + a z − y z − z , −a + x + y + z<
② 展开
NSolve[方程,变量] 作用等同于N[Solve[方程,变量]]，得 出方程6位有效数字近似解 NSolve[方程,变量,n] 作用等同于N[Solve[方程,变量]]，得 出方程n位有效数字近似解
例 把 f = x 7 + y 7 表示成 x + y + z, xy + yz + zx 和 xyz 的函数形式
① 求Groebner基j
In[13]:= poly1= x+ y + z - a; poly2= x y + y z + z x - b; poly3= x y z - c; j= GroebnerBasis[{poly1, poly2, poly3}, {x, y, z}]
1 − Cos@xD2<<
3
多项式的化简
GroebnerBasis[[poly1,…,polym], {x1,..xn}] 由多项式组产生关于变量的Groebner基 (记为j) PolynomialReduce[f, j, {x1,..xn}] 对多项式f 按照基j展开
f ( x1 ,...xn ) = k ⋅ j + r
1 + 2 a, y == 9 + 2 x<, 8<, aD
for
f
a5 − 5 a3 b + 5 a b2
约束方程(组)的求解
例 sin ( x ) + cos 2 ( x ) = 1
In[6]:=
In[8]:=
Solve@Sin@xD + Cos@xD ^2 == 1, xD
0<, 8x → −π <, :x →
Out[1]= 88x →
In[1]:=
Solve@x^5 + 5 x^3 − 2
8x → 8x → 8x → 8x →
In[2]:=
Out[2]= 88x → −0.396439 − 0.634139 <,
NSolve@x^5 + 5 x^3 − 2
8x → −0.396439 + 0.634139 <, 8x → 0.0397482 − 2.23854 <, 8x → 0.0397482 + 2.23854 <, 8x → 0.713381<<
Root@11 − #1 + a #1 + #1 &, 1D<,
5
f/.a-> -1
8x → 1<, 8x → Root@−1 + #1 + #13 &, 2D<, 8x → Root@−1 + #1 + #13 &, 3D<<
Root@− 1 + #1 + #13 &, 1D<,
隐式解的运算
隐式解的运算
——隐式符号解：仅告知方程有5形式解， 并不给出实际解！
Root@−2 + 5 #1 + #15 &, 1D<, Root@−2 + 5 #13 + #15 &, 2D<, Root@−2 + 5 #13 + #15 &, 3D<, Root@−2 + 5 #13 + #15 &, 4D<, Root@−2 + 5 #13 + #15 &, 5D<<
-0.6 -0.8 -4 -2 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8 2 4
I−1 + 2 a Root@1 − #1 + a #1 + #1 &43; a #12 + #15 &, 1D M
4
代数方程组求解
Solve[方程1&&方程2, {变量1,变量2}] Solve[{方程1, 方程2}, {变量1,变量2}] 如果未知数个数与方程数目相同, 则可 以省略变量标注部分，写成{ }
2a
2a c − N »» Hc b
»» x
−
−b +
0 && b
0 && a
è!!!!!!!!!!!!!!!!! yy b2 + 4 a c zz zz »» zz zz 2a {{
Out[25]= ::x →
⎧x + y = 2 例 ⎨ 2 2 ⎩x + y = a
In[25]:= Solve[{x + y == 2, x^2 + y^2 == a}, {x, y}]
1 2 1 y→ 2 1 :x → 2 1 y→ 2
I4 − I4 + I4 + I4 − è!!!! è!!!!!!!!!!! ! 2 − 8 + a M, è!!!! è!!!!!!!!!!! ! 2 − 8 + a M, è!!!! è!!!!!!!!!!! ! 2 − 8 + a M>, è!!!! è!!!!!!!!!!! ! 2 − 8 + a M>>
2
代数方程组的隐元
向量赋值
In[30]:= 8x, y< ê. % ê. a →
In[34]:= 8x, y< ê. % ê. a →
Solve[方程组, 变量, 隐元]
4
方程组隐元后 求解变量 …求解其余变量
Out[30]= 880, 2<, 82, 0<<
Out[34]= ::
Solve[方程组, { }, 隐元]
In[11]:=Eliminate[{f == x^5 + y^5, a == x + y, b == x y}, {x, y}]
Out[11]=
9 y Out[10]= ::x → − + >> 2 2
Solve ::svars : Equations may not give solutions all "solve " variables . More
0 2
1
隐式解的运算
隐式解的运算
2. 带参数的隐式符号解
例 x5 + ax 2 − x + 1 = 0
In[7]:= Solve[x^5 +a x^2 - x +1==0, x]
Out[7]= 88x →
2
①参数赋值
In[11]:= f=Solve[x^5 +a x^2 - x +1==0, x];