研究生数值分析(9)矩阵的条件数与病态线性方程组
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1
X A 1 b 即 X A b 于是有
③
另一方面，由①得
b A X
且 X 0
故
A 1 X b
④
由③与④有
X
X
A
1
A
b
b
⑤
表明解的相对误差不超过右端向量b
的相对误差的 A1 A 倍。
（2）仅有小扰动δ A（设 A+ δ A 仍可逆） ~ 的解为 X X X 设方程组 ( A A) X b 即
1 1 A 1 1.0001
10001 10000 A 10000 10000
1
及其逆矩阵
在行模意义下的条件数
Cond ( A) A1
A 20001 2.0001 40004
因此称方程组 x1 x2 2 x1 1.0001x2 2 为病态方程组。
x1 0.9999 x2 1.9999
②
的解为
x1 1; x2 1
它们的解变化很大，这样的方程组称为“病态”
方程组。 下面，我们给出方程组“病态”，“良态”
概念及其衡量标准，并介绍判断近似解可靠性方
法。
1 矩阵的条件数与线性方程组的性态 由于方程组AX=b系数矩阵A与右端向量b 的初始数据微小变化引起解的很大变化，这样
§3 矩阵的条件数与病态线性方程组
判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、 解的精确程度以及计算量、存储量的大小来衡量。 然而，同一方法用于不同问题，效果却可以相差 很远。 例如 方程组
x1 x2 2 x1 1.0001x2 2
x1 2; x2 0
①
解为
方程组 x x 2 1 2
表明解的相对误差不超过系数矩阵A的
A 1 A
⑦
倍。
A1 A 反映了方程组AX=b的解 分析表明，数
对初始数据A，b扰动的灵敏度，可用来刻画方程组 的病态程度。 我们称数 A1 A 为矩阵A的条件数，记作
Cond ( A)
即
Cond ( A) A A1
通常使用的条件数有在行模意义下的条件数
利用定义判断一个方程组是否病态，需要计算
矩阵的条件数，从而涉及计算逆矩阵，极不方便。
在实际计算中，常通过一些容易得到的信息来推断 方程组是否病态。 例如，当出现下列情况之一时，方程组很可能病态： （1）用选主元消去法消元中出现小主元； （2）系数行列式的绝对值相对地很小； （3）系数矩阵元素间在数量级上相差很大且无 一定规律； （4）出现了相对地很大的解。
与在谱模意义下的条件数，即
Cond ( A) A1
与
A
Cond ( A) 2 A1
2
A
2
由线性代数知识，有
max ( AT A) Cond ( A) 2 min ( AT A)
定义
设A是非奇异矩阵，若 Cond( A) 1
则称方程组AX=b为病态方程组； 若 Cond ( A) 相对地小，则称方程组 AX=b 为 良态方程组。 比如矩阵
( A A)( X X ) b
⑥
⑥-①得
A( X X ) A X 0
即
X A X X
因A+δ A可逆且b≠0 从而X+δ X≠0，故由上式可得
X A 1 A A X X A
方程组的病态性质，是方程组本身的特性。对
于病态方程组，用一般的求解方法不易求得较精
确的解，而且病态越严重，求解越困难。
练习: 求矩阵A的条件数，其中
Condp ( A), p 1,2,
1 2 A 1 3
的方程组称为“病态”方程组。
为找出刻画方程组AX=b ①（A非奇异，
b≠0）病态程度的衡量标准，我们来分析A，b
初始数据微小变化对解X的影响。
（1）仅b有小扰动δ b
~ 设方程组 AX=b+δ b 的解为 X X X
即
A( X X ) b b
②
②-①得
A X b
X A 1 b 即 X A b 于是有
③
另一方面，由①得
b A X
且 X 0
故
A 1 X b
④
由③与④有
X
X
A
1
A
b
b
⑤
表明解的相对误差不超过右端向量b
的相对误差的 A1 A 倍。
（2）仅有小扰动δ A（设 A+ δ A 仍可逆） ~ 的解为 X X X 设方程组 ( A A) X b 即
1 1 A 1 1.0001
10001 10000 A 10000 10000
1
及其逆矩阵
在行模意义下的条件数
Cond ( A) A1
A 20001 2.0001 40004
因此称方程组 x1 x2 2 x1 1.0001x2 2 为病态方程组。
x1 0.9999 x2 1.9999
②
的解为
x1 1; x2 1
它们的解变化很大，这样的方程组称为“病态”
方程组。 下面，我们给出方程组“病态”，“良态”
概念及其衡量标准，并介绍判断近似解可靠性方
法。
1 矩阵的条件数与线性方程组的性态 由于方程组AX=b系数矩阵A与右端向量b 的初始数据微小变化引起解的很大变化，这样
§3 矩阵的条件数与病态线性方程组
判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、 解的精确程度以及计算量、存储量的大小来衡量。 然而，同一方法用于不同问题，效果却可以相差 很远。 例如 方程组
x1 x2 2 x1 1.0001x2 2
x1 2; x2 0
①
解为
方程组 x x 2 1 2
表明解的相对误差不超过系数矩阵A的
A 1 A
⑦
倍。
A1 A 反映了方程组AX=b的解 分析表明，数
对初始数据A，b扰动的灵敏度，可用来刻画方程组 的病态程度。 我们称数 A1 A 为矩阵A的条件数，记作
Cond ( A)
即
Cond ( A) A A1
通常使用的条件数有在行模意义下的条件数
利用定义判断一个方程组是否病态，需要计算
矩阵的条件数，从而涉及计算逆矩阵，极不方便。
在实际计算中，常通过一些容易得到的信息来推断 方程组是否病态。 例如，当出现下列情况之一时，方程组很可能病态： （1）用选主元消去法消元中出现小主元； （2）系数行列式的绝对值相对地很小； （3）系数矩阵元素间在数量级上相差很大且无 一定规律； （4）出现了相对地很大的解。
与在谱模意义下的条件数，即
Cond ( A) A1
与
A
Cond ( A) 2 A1
2
A
2
由线性代数知识，有
max ( AT A) Cond ( A) 2 min ( AT A)
定义
设A是非奇异矩阵，若 Cond( A) 1
则称方程组AX=b为病态方程组； 若 Cond ( A) 相对地小，则称方程组 AX=b 为 良态方程组。 比如矩阵
( A A)( X X ) b
⑥
⑥-①得
A( X X ) A X 0
即
X A X X
因A+δ A可逆且b≠0 从而X+δ X≠0，故由上式可得
X A 1 A A X X A
方程组的病态性质，是方程组本身的特性。对
于病态方程组，用一般的求解方法不易求得较精
确的解，而且病态越严重，求解越困难。
练习: 求矩阵A的条件数，其中
Condp ( A), p 1,2,
1 2 A 1 3
的方程组称为“病态”方程组。
为找出刻画方程组AX=b ①（A非奇异，
b≠0）病态程度的衡量标准，我们来分析A，b
初始数据微小变化对解X的影响。
（1）仅b有小扰动δ b
~ 设方程组 AX=b+δ b 的解为 X X X
即
A( X X ) b b
②
②-①得
A X b