【数学】安徽省蚌埠市第二中学2017-2018学年高二下学期期中考试(文)

安徽省蚌埠市第二中学2017-2018学年
高二下学期期中考试（文）
试卷满分：150分；考试时间：120分钟
第I 卷（选择题）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知集合()(){}(){},,,1A x y y f x B x y x =
===，则A B ⋂中元素的个数为（ ）
A ．必有1个
B ．1个或2个
C ．至多1个
D ．可能2个以上
2.在复平面内，复数2332i
z i
-++对应的点的坐标为(2,2)-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3下列有关命题的说法错误的是（ ）
A. 若“”为假命题，则均为假命题
B. “”是“
”的充分不必要条件
C. “
”的必要不充分条件是“
” D. 若命题p ：
，则命题
：
4某家庭连续五年收入x 与支出y 如表：
年份 2013 2014 2015
2016
2017
收入万元
支出万元
画散点图知：y 与x 线性相关，且求得的回归方程是
，其中，则
据此预计该家庭2018年若收入15万元，支出为（ ）万元．
A.
B.
C.
D.
5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列， a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )
A ．a 1a 2a 3…a 9＝29
B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29
C ．a 1a 2…a 9＝2×9
D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9
6已知函数
在R 上可导，其部分图象如图所示，设
，
则下列不等式正确的是
A. B.
B. C.
D.
7. 宋元时期数学著名《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

分别为5、2，则输出的错误！未找到引用源。

（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8．已知椭圆
+
=1（m ＞0）与双曲线
=1（n ＞0）有相同的焦点，则m+n 的最
大值是（ ） A ．3
B ．6
C ．18
D ．36
9.血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是（ ） A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 10.已知函数32
11()1,()32
f x ax x x a R =
+++∈，下列选项中不可能是函数()f x 图象的是
（）
11.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a 的取值范围为()
A.(0,1]
B.[1,+∞)
C.[1,2]
D.[2,+∞)
12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a、b，若a<b，则必有()
A．af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b) C．af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a)
第II卷（非选择题）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.3+4i的平方根是
14.已知，命题p：对任意实数x，不等式恒成立，若为真命题，则m的取值范围是______．
15．2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影．小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A,B,C,D的四张电影票放在编号分别为1,2,3,4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：
甲说：第1个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是C；
乙说：第2个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是D；
丙说：第4个盒子里面放的是D，第2个盒子里面放的是C；
丁说：第4个盒子里面放的是A，第3个盒子里面放的是C.
小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半．”
可以推测，第4个盒子里面放的电影票为________.
16.已知双曲线C：错误！未找到引用源。

（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半
径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）已知2
:7100p x x -+<，2
2
:430q x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；
（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
18. （本小题12分）环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数 2.5PM 浓度，制定了空气质量标准： 空气污染指数 []0,50
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,300]
(300,)+∞
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号），王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.
（1）求频率分布直方图中m 的值（写出推理过程，直接写出答案不得分）；
（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；
（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：
根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写以下22⨯列联表，并回答是否有
90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
参考数据：
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
19. （本小题12分）已知不等式36x x x +-<+的解集为(),m n ． （Ⅰ）求,m n 的值；
（Ⅱ）若0x >， 0y >， 0nx y m ++=，求证： 16x y xy +≥．
20．（本小题12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
（φ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ
（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点
B 是曲线
C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB|=4，求实数α的值．
21. （本小题12分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别是E 、F ，
离心率7
4
e =
，过点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，ABE △的周长为16． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知O 为原点，圆D ：()2
223x y r -+=（0r >）与椭圆C 交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证：OG OH ⋅为定值．
22．（本小题12分）已知函数()()2
1ln f x a x x =-+，a ∈R ． （1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()
1,1P f 处的切线方程；
（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上
有两个零点，求实数m 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
D
C
B
D
B
C
B
D
D
B
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、(2)i ±+ 14 、
15、D 或 A 16、
23
3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17题10分，18-22题每题12分）
17.解：（1）由2
7100x x -+<，解得25x <<，所以:25p x <<
又2
2
430x mx m -+<，因为0m >，解得3m x m <<，所以:3q m x m <<. 当4m =时，:412q x <<，又p q ∧为真，,p q 都为真，所以45x <<.
18.解：（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05， 所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.0520.1⨯=，
由频率分布直方图可知：(0.0040.0060.005)500.11m +++⨯+=， ∴0.003m =.
（2）因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3:0.152:1=， 按分层抽样从中抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4天，记做1234,,,A A A A ， 空气中度污染天气被抽取2天，记做12,B B ， 再从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：
121314(,),(,),(,),A A A A A A 111223(,),(,),(,),A B A B A A 242122(,),(,),(),A A A B A B 343132(,),(,),(,),A A A B A B 414212(,),(,),(,)A B A B B B 共15个，
事件A “至少有一天空气质量中度污染”所包含的基本事件有：
111221(,),(,),(,),A B A B A B 223132(,),(,),(,),A B A B A B 414212(,),(,),(,)A B A B B B 共9个，
故()93155
P A =
=. （3）列联表如下：
因为2
2
240(90223890)180********
K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 3.214 2.706=>，
所以至少有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关. 19.（Ⅰ）由36x x x +-<+， 得3{
36x x x x ≥+-<+或03{ 36x x <<<+或0
{ 36
x x x x ≤-+-<+，
解得19x -<<，∴1m =-， 9n =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知0x >， 0y >， 91x y +=，
∴()119x y x y ⎛⎫++=
⎪⎝⎭
910y x x y ++≥ 910216y x
x y +⨯=，
当且仅当
9y x x y =即112x =， 1
4
y =时取等号， ∴
11
16x y
+≥，即16x y xy +≥．
20.解：（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程为
（φ为参数），
消去参数得曲线C 1的普通方程为（x ﹣2）2+y 2
=4．
∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴ρ2
=4ρsinθ，
∴C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=4y ，整理，得x 2+（y ﹣2）2
=4． （Ⅱ）曲线C 1：（x ﹣2）2+y 2
=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ，
设A （ρ1，α1），B （ρ2，α2），
∵曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点， 点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且
|AB|=4，
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=|4sinα﹣
4cosα|=4|sin
（
）
|=4
，
∴sin
（
）=±1，
∵0＜α＜π
，∴
∴
，解得
21.【解析】（1）由题意得416a =，则4a =，·······2分 由
7
4
c a =，解得7c =，·······4分 则2
2
2
9b a c =-=，所以椭圆C 的方程为221169
x y +=．·
······6分 （2）证明：由条件可知，M ，N 两点关于x 轴对称，设()11,M x y ，()00,P x y ，
则()11,N x y -，由题可知，22
111169x y +=，22001169
x y +=，
∴()
22111699x y =
-，()
220016
99
x y =-．·
······8分 又直线PM 的方程为()10
0010
y y y y x x x x --=
--，
令0y =得点G 的横坐标1001
01G x y x y x y y -=
-，·······10分
同理可得H 点的横坐标1001
01
H x y x y x y y +=
+．
∴16OG OH ⋅=，即OG OH ⋅为定值．·······12分
22.【解析】（1）当2a =时，()()2
21ln f x x x =-+2
24ln 2x x x =-++．
当1x =时，()10f =，所以点()()
1,1P f 为()1,0P ，···········1分
努力的你，未来可期!
拼搏的你，背影很美！ 又()144f x x x
'=-+，因此()11k f '==．···········2分 因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-．···········4分
（2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+， 则()()()21122x x g x x x x
-+-'=-=．···········6分 因为1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以当()0g x '=时，1x =，···········7分 且当11e
x <<时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<； 故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-．···········8分 又2112e e
g m ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭，()2e 2e g m =+-， ()2211e 2e 2e e g g m m ⎛⎫-=+--++ ⎪⎝⎭
24e =-+210e <， 则()1e e g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()e g ，······10分 故()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点的条件是 ()2110 1120e e g m g m =->⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭
⎧⎪⎨⎩≤2112e m ⇒<+≤， 所以实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+
⎥⎝⎦
．···········12分。