2021年九年级数学中考一轮复习与相似三角形有关的综合性解答题专项训练(含答案)

2021年九年级数学中考一轮复习与相似三角形有关的综合性解答题专项训练（含答案）1．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD相交于点F
（1）求证：；
（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；
（3）设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
2．如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG 上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，
（1）求证：△EGC∽△GFH；
（2）求AD的长；
（3）求tan∠GFH的值．
4．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．
（1）求证：△A1DE∽△B1EH；
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．
5．如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．
（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；
（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．
①若OE＝，OG＝1，求的值；
②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要
求证明）
6．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．（1）若四边形ABCD为正方形．
①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数
量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以
每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM＝BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
8．在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB；
（2）若M为CP的中点，AC＝2．
①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
9．阅读理解：
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，则这个平行四边形的变形度是．
猜想证明：
（2）设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4（m＞0），平行四边形A1B1C1D1的面积为2（m＞0），试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
11．（1）模型探究：如图1，D、E、F分别为△ABC三边BC、AB、AC上的点，且∠B＝∠C＝∠EDF＝a．△BDE与△CFD相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：△ABC为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD＝2．
①如图2，当点D在线段BC上时，求的值；
②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求△BDE与△CFD的周长之比．
12．如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上任意一点（点P不与B、C重合），连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，若AB＝6，BC＝8．
（1）试证明：△ABP∽△PCQ；
（2）当BP为多少时，CQ最长，最长是多少？
（3）试探究，是否存在一点P，使△APQ是等腰直角三角形？
13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段BC的长；
（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF 的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
14．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题．
如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小颖的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是；
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．
（3）在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，E是AD上一点，连结BE并延长交边AC 于点F．
①如图3，若AD是△ABC的中线，且AF＝EF，求证：AC＝BE．
②如图4，若E是BF的中点，求证：AF•CD＝AC•BD
15．如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA＝10，cos∠COA ＝．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）C点的坐标为，当t＝时N点与A点重合；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．
①求证：；
②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；
（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．
17．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是BC、CD上的点，且BE＝CF，连接AE、BF交于点P．
（1）如图①，判断AE和BF之间的数量关系和位置关系，并证明；
（2）如图②，连接AF，点M是AF中点，若BE＝2，CE＝3，求线段PM的长度；
（3）如图③，作CQ⊥BF于点Q，若△QAB∽△QEC，求证：点E是BC中点．
参考答案：1．（1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，∴△BCE∽△DCP，
∴；
（2）解：AC∥BD，
理由：∵∠PCE+∠ECD＝∠BCD+∠ECD＝45°，
∴∠PCE＝∠BCD，
又∵＝，
∴△PCE∽△DCB，
∴∠CBD＝∠CEP＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AC∥BD；
（3）解：如图所示：作PM⊥BD于M，
∵AC＝4，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝4，
∵△PCE∽△DCB，
∴＝，即＝，
∴BD＝x，
∵∠PBM＝∠CBD﹣∠CBP＝45°，BP＝BE+PE＝4+x，
∴PM＝sin45°•（4+x）＝，
∴△PBD的面积S＝BD•PM＝×x×＝x2+2x．
2．解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）①DF＝PF．
证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，
∴∠HPF＝∠DEP，，
∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，
∴∠DEP＝∠DAC，
又∵∠CDF＝∠DAC，
∴∠DEP＝∠CDF，
∴∠HPF＝∠CDF，
又∵FD＝FP，∠F＝∠F，
∴△HPF≌△CDF（ASA），
∴HF＝CF，
∴DH＝PC，
又∵，
∴．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，
∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，
∴∠EGC＝∠GFH，
∴△EGC∽△GFH．
（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，
∴GH：AH＝2：3，
∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，
∴AG＝AB＝GH+AH＝20，
∴GH＝8，AH＝12，
∴AD＝AH＝12．
（3）解：在Rt△ADG中，DG＝＝＝16，
由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得：x＝6，
∴HF＝6，
在Rt△GFH中，tan∠GFH＝．
4．解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，
∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．
∴∠DEA1＝∠EHB1，
∴△A1DE∽△B1EH；
（2）结论：△DEF是等边三角形；
理由如下：
∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，
∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，
在△A1DE和△A1DF中
，
∴△A1DE≌△A1DF（SAS），
∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，
又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．
∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，
理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE顺时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），
∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，
∴△DGG'是等边三角形，
∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，
∵∠DGF＝150°，
∴∠G'GF＝90°，
∴G'G2+GF2＝G'F2，
∴DG2+GF2＝GE2．
5．解：（1）如图1，连接AC，
∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OE∥AC、OE＝AC，GF∥AC、GF＝AC，
∴OE∥GF，OE＝GF，
∴四边形OEFG是平行四边形；
（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，
∴OG＝OM、OE＝ON，∠GOM＝∠EON，
∴＝，
∴△OGM∽△OEN，
∴＝＝．
②添加AC＝BD，
如图2，连接AC、BD，
∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OG＝EF＝BD、OE＝GF＝AC，
∵AC＝BD，
∴OG＝OE，
∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，
∴OG＝OM、OE＝ON，∠GOM＝∠EON，
∴OG＝OE、OM＝ON，
在△OGM和△OEN中，
∵，
∴△OGM≌△OEN（SAS），
∴GM＝EN．
6．解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD＝AB，
∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形，
BF＝BE，
∴BD﹣BF＝AB﹣BE，
即DF＝AE；
故答案为DF＝AE；
②DF＝AE．理由如下：
∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE＝∠DBF，
∵＝，＝，
∴＝，
∴△ABE∽△DBF，
∴＝＝，
即DF＝AE；
（2）如图3，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝mAB，
∴BD＝＝AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴＝，
∴＝＝，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，
∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，
∴＝＝，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴＝＝，
即DF′＝AE′．
7．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝10，．
由题意知：BM＝2t，，
∴，
∵BM＝BN，
∴，
解得：．
（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，
则，即，
解得：．
②当△NBM∽△ABC时，
则，即，
解得：．
综上所述：当或时，△MBN与△ABC相似．
（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，
∴△BMD∽△BAC，
∴，
即，
解得：MD＝t．
设四边形ACNM的面积为y，
∴y＝＝＝
．
∴根据二次函数的性质可知，当时，y的值最小．
此时，．
8．解：（1）∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AP•AB；
（2）①取AP的中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，BG＝3﹣x，∵M是PC的中点，
∴MG∥AC，
∴∠BGM＝∠A，
∵∠ACP＝∠PBM，
∴△APC∽△GMB，
∴，
即，
∴x＝，
∵AB＝3，
∴AP＝3﹣，
∴PB＝；
②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，设BP＝x．
∵∠ABC＝45°，∠A＝60°，
∴CH＝，HE＝+x，
∵CE2＝（）2+（+x）2，
∵PB＝BE，PM＝CM，
∴BM∥CE，
∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A，
∵∠E＝∠E，
∴△ECP∽△EAC，
∴，
∴CE2＝EP•EA，
∴3+3+x2+2x＝2x（x++1），
∴x＝﹣1，
∴PB＝﹣1．
9．解：（1）∵平行四边形有一个内角是120度，
∴α＝60°，
∴＝＝；
故答案为：；
（2）＝，
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，
∴＝＝，∵＝，∴＝；
（3）∵AB2＝AE•AD，
∴A1B12＝A1E1•A1D1，即＝，
∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，
∴△B1A1E1∽△D1A1B1，
∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，
∵A1D1∥B1C1，
∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1B1E1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，由（2）知＝可知＝＝2，∴sin∠A1B1C1＝，
∴∠A1B1C1＝30°，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝30°．
10．解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，∴AP：AB＝AM：AC，
∵AB＝AC，
∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，
解得：t＝，
∴当t＝时，四边形PQCM是平行四边形；
（2）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t，
∴，即，
解得：BF＝t，
∴FD＝BD﹣BF＝8﹣t，
又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，
∴y＝（PQ+MC）•FD＝（t+10﹣2t）（8﹣t）＝t2﹣8t+40；
（3）不存在；
∵S△ABC＝＝×10×8＝40，
当S四边形PQCM＝S△ABC时，y＝t2﹣8t+40＝40，
解得：t＝0，或t＝20，都不合题意，因此不存在；
（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC，过M作MH⊥AB，交AB于H，如图所示：
∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴，
又∵AD＝＝6，
∴，
∴HM t，AH＝t，
∴HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t，
在Rt△HMP中，MP2＝+＝t2﹣44t+100，又∵MC2＝（10﹣2t）2＝100﹣40t+4t2，
∵MP2＝MC2，
∴t2﹣44t+100＝100﹣40t+4t2，
解得，t2＝0（舍去），
∴t＝s时，点M在线段PC的垂直平分线上．
11．解：（1）△BDE∽△CFD，
理由：∠B＝∠C＝∠EDF＝a，
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣α，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝180°﹣α，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD；
（2）①设AE＝x，AF＝y，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°，
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BDE∽△CFD，
∴
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AC﹣AF＝8﹣y，CD＝BC﹣BD＝6，∴，
∴，
∴，
∴；
②设AE＝x，AF＝y，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°，
在△BDE中，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBE＝∠DCF＝120°，
∴△BDE∽△CFD，
∴
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AF﹣AC＝y﹣8，CD＝BC+BD＝10，∴，
∴，
∴＝．
∵△BDE∽△CFD，
∴△BDE与△CFD的周长之比为＝＝．
12．解：（1）∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
而∠QPC+∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠PQC，
∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ；
（2）∵△ABP∽△PCQ，
∴，即，
则CQ＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+≥，故当x＝4时，CQ的最大值为，
即BP为4时，CQ最长，最长是；
（3）∵△APQ是等腰直角三角形，则P A＝PQ，而△ABP∽△PCQ，
则△ABP≌△PCQ（AAS），
∴AB＝PC＝6，
则BP＝8﹣6＝2，
即BP＝2时，△APQ是等腰直角三角形．13．（1）解：如图1，∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC＝∠AOB＝60°．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝30°，∠OBC＝30°
∴∠ACB＝∠OBC，
∴CO＝OB＝AB＝OA＝3，
∴AC＝6，
∴BC＝AC＝；
（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH＝AQ•sin60°＝．需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，＝，即＝＝，解得，t＝0．
同理，当△QHP∽△ABC时，t＝1．
综上所述，t＝0或t＝1；
（3）解：如图1，过点Q作QN∥OB交x轴于点N．
∴∠QNA＝∠BOA＝60°＝∠QAN，
∴QN＝QA
∴△AQN为等边三角形，
∴NQ＝NA＝AQ＝3﹣t，
∴ON＝3﹣（3﹣t）＝t，
∴PN＝t+t＝2t，
∴OE∥QN．
∴△POE∽△PNQ
∴，
∴，
∴
∵EF∥x轴，
∴∠BFE＝∠BCO＝∠FBE＝30°
∴EF＝BE，
∴m＝BE＝OB﹣OE＝（0＜t＜3）．
14．（1）解：在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选：B；
（2）解：∵△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴4＜2AD＜20，
∴2＜AD＜10，
故答案为：2＜AD＜10；
（3）①证明：如图③，延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG．
∵AD＝DG，∠ADC＝∠GDB，CD＝DB，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，∠DAC＝∠G，
∴BG∥AC，
∴∠F AE＝∠G，
∵AF＝EF，
∴∠F AE＝∠AEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BE＝BG，
∴AC＝BE．
②证明：延长AD到H，使得EH＝AE，连接BH．
∵AE＝EH，∠AEF＝∠BEH，EF＝EB，
∴△AEF≌△HEB（SAS），
∴BH＝AF，∠H＝∠EAF，
∴BH∥AC，
∴△BDH∽△CDA，
∴＝，
∴＝，
∴AF•CD＝AC•BD．
15．解：（1）∵菱形OABC中，OA＝10，
∴OC＝10，
∵cos∠COA＝，
∴点C的坐标为：（6，8），
∵动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，∵cos∠COA＝＝，OP＝t，
∴OQ＝t，
∴QP＝t，
∵OA＝10，N点与A点重合，
∴t+t＝10，
∴t＝
∴t＝时，N点与A点重合；
（2）①，
②，
③，
④8＜t≤10，S＝104﹣8t；
（3）S菱形＝80，直线OB过原点（0，0），B点（16，8），故直线OB解析式为，直线OB与PQ、MN分别交于E、F点，如图：
①当0＜t≤6，，，，，
若，则，，
若，则，，
②当6＜t≤8，，，，，
若则，t＝0（舍），
若，则，t3＝8；
③8＜t≤10，不存在符合条件的t值．
16．（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE＝∥BCF＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，
∴∠FBC＝∠ECD，
∴△FBC∽△ECD，
∴＝．
②证明：如图1中，连接BE，GD．
∵BF⊥CE，EG＝CG，
∴BF垂直平分线段EC，
∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，
∵DG＝CG，
∴∠CDG＝∠GCD，
∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，
∵AD＝BC，
∴△ADG≌△BCG（SAS），
∴∠DAG＝∠CBG，
∴∠DAG＝∠EBG，
∴∠AEB＝∠AGB，
∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．
（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．
∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，
∴BP＝PS，
∵∠BCS＝90°，
∴PC＝PS＝PB，
∴PQ+PS＝PT+PC，
当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．
故答案为．
17．解：（1）AE＝BF，AE⊥BF，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABP+∠CBF＝90°
∴∠BAE+∠ABP＝90°
∴∠APB＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC＝AD，
由（1）知，AE＝BF，
∵BE＝2，CE＝3，BE＝CF，
∴DF＝DC﹣CF＝BC﹣BE＝CE＝3，AD＝BC＝BE+CE＝2+3＝5，
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF＝＝＝，在Rt△APF中，∠APF＝90°，点M是AF中点，
∴；
（3）∵CQ⊥BF，
∴∠BQC＝∠BCF＝90°，
又∠CBQ＝∠FBC，
∴△CBQ～△FBC，
∴，
∵AB＝BC，BE＝CF，
∴，
∵△QAB～△QEC，
∴，
∴，
∴，
∴BE＝CE，
∴点E是BC中点。