固定收益证券计算题

计算题
题型一：计算普通债券的久期和凸性
久期的概念公式：t N
t W t D ∑=⨯=1
其中，W t 是现金流时间的权重，是第t 期现金流的现值占债券价格的比重。

且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。

久期的简化公式：y
y c y c T y y y D T +-+-++-+=
]1)1[()
()1(1 其中，c 表示每期票面利率，y 表示每期到期收益率，T 表示距到期日的期数。

凸性的计算公式：t N
t W t t
y C ⨯++=
∑=1
2
2
)()1(1
其中，y 表示每期到期收益率；W t 是现金流时间的权重，是第t 期现金流的现值占债券价格的比重。

且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的平方，转换成以年为单位的凸性。

例一：面值为100元、票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为10%，计算它的久期和凸性。

每期现金流：42%8100=⨯=
C 实际折现率：%52
%
10=
即，D=5.4351/2=2.7176
利用简化公式：4349.5%
5]1%)51[(%4%)
5%4(6%)51(%5%516
=+-+⨯-⨯++-+=
D （半年） 即，2.7175（年）
36.7694/（1.05）2=33.3509 ；
以年为单位的凸性：C=33.3509/（2）2=8.3377
利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动1个基点（0.01%）时，该债券价
格的波动
①利用修正久期的意义：y D P P ∆⨯-=∆*/
5881.2%
517175
.2*=+=
D （年）
当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，
%0259.0%01.05881.2/-=⨯-≈∆P P ；
当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，
%0259.0%)01.0(5881.2/=-⨯-≈∆P P 。

②凸性与价格波动的关系：()2*2
1/y C y D P P ∆∙∙+∆∙-=∆
当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，
%0259.0%)01.0(3377.82
1
%01.05881.2/2-=⨯⨯+⨯-≈∆P P ；
当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，
%0676.0%)01.0(3377.82
1
%)01.0(5881.2/2=⨯⨯+-⨯-≈∆P P
又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感，所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。

题型二：计算提前卖出的债券的总收益率
首先，利息+利息的利息=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+⨯111)1(r r C n ；r 1为每期再投资利率；
然后，有 债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格；
其中，
投资期末的债券价格：[]
N
N N N
t t r F
r r C r F r C P )1()1(1)1()
1(222212+++-=+++=-=∑； N 为投资期末距到期日的期数；r 2为预期的投资期末的每期收益率。

例二：投资者用905.53元购买一种面值为1000元的8年期债券，票面利率是12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为8%。

如果债券持有到第6年（6年后卖出），且卖出后2年的到期收益率为10%，求该债券的总收益率。

解：
602%121000=⨯=
C %42%81==r %52
%
102==r 6年内的利息+6年内利息的利息=55.901%41%)41(6012=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+⨯元
第6年末的债券价格=[]
46.1035%)51(1000
%5%)51(16044=+++-⨯-元
所以，
6年后的期末价值=901.55+1035.46=1937.01元
总收益=1937.01-905.53=1031.48元 半年期总收益率=%54.6153
.90501
.193712
=-
总收益率=（1+6.54%）2-1=13.51%
题型三：或有免疫策略（求安全边际）
例三：银行有100万存款，5年到期，最低回报率为8%；现有购买一个票面利率为8%，按年付息，3年到期的债券，且到期收益率为10%；求1年后的安全边际。

解：
①银行可接受的终值最小值：100×(1+8%)5=146.93万元； ②如果目前收益率稳定在10%：
触碰线：
36.100%)101(93
.1464
=+万元
1年后债券的价值=100×8%+
2
%)101(108
%1018+++=104.53万元；
③安全边际：104.53-100.36=4.17万元；
所以，采取免疫策略为卖掉债券，将所得的104.53万元本息和重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。

债券年收益率=%
88.81100
%)
101(53.10454
=-+⨯
题型四：求逆浮动利率债券的价格
例四（付息日卖出）：已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%，两种债券面值都为1万，3年到期。

1年后卖掉逆浮动利率债券，此时市场折现率（适当收益率）为8%，求逆浮动利率债券的价格。

解：
①在确定逆浮动利率债券价格时，实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合，分别投资1万元在这两种债券上，则相当于购买了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。

又因为在每个利息支付日，浮动利率债券价格都等于其面值，所以逆浮动利率债券价格易求。

②1年后，算票面利率为6%，面值为1万的债券价格
347.9643%)81(10600
%)81(6002
=+++=
P 元
③P 逆=2P-P 浮=2×9643.347-10000=9286.694元
题型五：关于美国公司债券的各种计算（债券面值1000美元、半年付息一次）（YTM 实为一种折现率）
例五：现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，适当收益率为6%，求债券现在的价值？
解：
因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：
60
60
1%)31(1000%)31(40+++=∑=n n P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯-%3%)31(14060+60%)
31(1000+=1276.76元
例六：现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，假设现在的售价为676.77美元，求债券到期收益率？
解：
因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：
6060
1)1(1000
)1(4077.676YTM YTM n n +++=∑==60
60)1(1000)1(140YTM YTM YTM ++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-⨯- 通过上式求出该债券的半年期到期收益率为6%，因此该债券的年到期收益
率为6%×2=12%
例七：美国债券市场上交易的一种零息债券，距到期日还有10年，到期价值为5000元，年适当贴现率是8%，计算该债券的价值。

解：
因为该债券半年付息一次，所以每期贴现率为8%/2=4% n=20
P=
20
%)
41(5000
+=2281.93元
例八：一种美国公司债券，票面利率是10%，2008年4月1日到期。

每年的4月1日和10月1日分别支付一次利息。

如果投资者在2003年7月10日购买，该债券的适当贴现率是6%，则该债券的净价是多少？全价是多少？（采用360天计算）
解：
2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天，且利息支付期为半年，即180天。

那么n=81/180=0.45。

79.1189%)31(1050
%)31(50......%)31(50%)31(5045
.945.845.145.0=++++++++=
P 元
即该债券的净价为1189.79元
又因为距上一次付息日为180-81=99天，所以
5.27180
99
50=⨯=AI 元
即该债券的全价为27.5+1189.79=1217.29元
例九：在美国债券市场上有一种2年期的零息债券，目前的市场价格为857.34元，计算该债券的年到期收益率。

解：
因为该债券为票面价格为1000元，半年付息一次，所以：
4
)
1(1000
34.857YTM +=
通过上式求出该债券的半年到期收益率为3.9%，因此该债券的年到期收益率为3.9%×2=7.8%
例十：美国债券市场上有一种债券，票面利率为10%，每年的3月1日和9月1日分别付息一次，2005年3月1日到期，2003年9月12日的完整市场价格为1045元，求它的年到期收益率。

（按一年360天计算）
解：
2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天，半年支付一次。

即n=169/180=0.9389
又因为全价=净价+应付利息
06.3180
169
18050=-⨯=AI 元
所以，净价=1045-3.06=1041.94元 即，
9389.29389.19389.0)1(1050
)1(50)1(5094.1041YTM YTM YTM ++
+++=
该债券的半年到期收益率为YTM=3.58% 年到期收益率为3.58%×2=7.16%
题型六：交税方法
例十一：一种10年期基金，票面利率为6%、按年付息、持有到期。

政府对其收税，税率为20%。

现有两种交税方式：①一年一付；②到期时一起付；问选择哪种交税方式更好？（改变哪个数值会造成相反的结果）
解：设在某年年初购买该基金；基金面值为100元； 市场适当收益率为r ；
①一年一付（年末付）：
每年年末应交：2.1%20%6100=⨯⨯元
现值：[]
r r r PV n n
10
10
11)1(12.1)
1(2.1-=+-=+=∑
②到期时一起付
总利息为：10×1.2=12元 现值：10
2)
1(12
r PV +=
若21PV PV =,则%1≈r
所以：①当市场适当收益率为1%时，两种交税方式都可以； ②当市场适当收益率大于1%时，选择到期一起付； ③当市场适当收益率小于1%时，选择一年一付。

附：课上提过的重点题
例十二：有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，下次付息均在半年后，每种债券的相关资料如下：
解：
①若考试时试题未给出债券的市场价格，必须计算出来。

A ：12
12
1%)5.31(1000
%)
5.31(3068.951+++=∑=n n B ：10
10
1
%)75.21(20000
%)75.21(55020000+++=∑
=n n （平价出售） C ：8
8
1%)41(10000
%)
41(37568.9831+++=∑
=n n ②该债券组合的总市场价值为：
951.68+20 000.00+9 831.68=30 783.36元
③列表：r 为债券组合的到期收益率
④列方程：
121110987)1(1030
)1(30)1(20580)1(580)1(10955)1(195536.30783r r r r r r r ++
+++++++++-⨯=-
%13.3≈r
所以该债券的半年期到期收益率为3.13%；其年到期收益率（内部回报率）为6.26%。

例十三：APR 与EAR 的换算
公式：
1)1(-+
=n
n APR EAR
其中：EAR 为实际年利率；APR 为名义年利率；n 为一年中的计息次数；
A 债券的年利率为12%，半年支付一次利息。

B 债券的年利率为12%，每季度支付一次利息。

C 债券的年利率为10%，每季度支付一次利息。

求这三种债券的实际年收益率。

A ：%36.1212%1212
=-⎪⎭⎫
⎝⎛+=EAR
B ：%55.1214%1214
=-⎪⎭⎫
⎝⎛+=EAR
C ：%38.1014%1014=-⎪⎭⎫
⎝
⎛+=EAR
注：名义利率一样，付息次数越多，实际收益率越大；
付息次数一样，名义利率越大，实际收益率越大。

例十四：求债券总收益或总收益率（与题型二对比 此题没有提前出售债券这一条件 故较为简单）
此时，债券的期末价值=总的利息+利息的利息+债券面值
总收益 =债券实际总价值-购买债券时的价格
求总收益率：
公式：每期收益率=（期末价值/期初价值）1/n -1 实际年收益率=（1+每期收益率）m -1
投资者用1108.38元购买一种8年后到期的债券，面值是1000元，票面利率为12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后。

假设债券被持有至到期日，再投资利率等于到期收益率，分别计算该债券的利息、利息的利息以及总收益、总收益率。

解：
16
16
1
)1(1000
)1(6038.1108YTM YTM n n +++=∑= 半年期的YTM=5%，即每期的再投资利率为5%
利息+利息的利息=45.1419%51%)51(6016=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+⨯元
该债券的利息=60×16=960元
利息的利息=1419.45-960=459.45元
持有到期时债券的总价值=1419.45+1000=2419.45元
总收益=2419.45-1108.38=1311.07元 每期收益率=%5138
.110845
.241916
=-
总收益率=()%25.101%512=-+
例十五：（资产组合的久期）一个债券组合由三种半年付息的债券构成，求
2.利用简化公式，求出各自的久期；
3.得出修正久期，算出总D*；
4.假设利率变动，计算现在的价格。

久期的简化公式：y y c y c T y y y D T +-+-++-+=
]1)1[()
()1(1；
分别计算出A 、B 、C 的久期：
[]
2001.10%
5.31%)5.31(%3%)
5.3%3(12%)5.31(%5.3%5.3112
=+-+⨯-⨯++-+=
A D （半年）
8552
.9%5.312001
.10*
=+=
A D （半年）=4.9276（年）
[]
8777.8%)75.21(1
1%75.2%75.21%
75.21%)75.21(%75.2%)
75.21(%75.2%75.211010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯+=
+-+⨯+-
+=
B D （半年）
6401.8%)
75.21(8777
.8*
=+=
B D （半年）=4.3201（年）
()[]
0484.7%
41%41%75.3%)
4%75.3(8%)41(%4%418
=+-+⨯-⨯++-+=
C D （半年） 7773.6%
410484
.7*=+=
C D （半年）=3.3887（年） 该债券组合的市场总价值等于951.68+20000+9831.68=30783.36元，债券A 的权重为0.0309、债券B 的权重为0.6497、债券C 的权重为0.3194。

因此，该债券组合的久期为：
0414.43194.03887.36497.03201.40309.09276.4*=⨯+⨯+⨯=D （年）
这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动1个百分点时，组合的市场价值将会变动4.0414%。

例十六：如何构造理论上的即期利率曲线——解鞋带的方法：
假设存在5种政府债券，期限分别从1年到20年。

这些债券都是平价债券，即价格与面值相等，等于100元。

因为是平价债券，所以这些债券的到期收益率
在整个计算过程中，债券都被看做是一系列零息债券构成的债券组合，债券的价格等于这些零息债券的价值总和；先求出即期利率，再利用
1)1()1(1
1,1-++=---n n n n n
n S S f ，计算远期利率。

①1年期债券的到期收益率就是1年期的即期利率，即%51=S ； ②2年期债券的现金流模式如下：2
21)
1(%)
1.51(100)1(%1.5100100S S ++++⨯=
解得%1026
.52=S 、%2052.51)
1()1(12
22,1=-++=S S f ； ③3年期债券的现金流模式如下：3
3221)1(2
.105)1(2.5)1(2.5100S S S ++
+++=
解得%207.53=S 、()()%4161.51%)1026.51(%207.5111)1(23
2
23
33
,2=-++=
-++=S S f ； ④4年期债券的现金流模式如下：4
433221)1(35
.105)1(35.5)1(35.5)1(35.5100S S S S ++
+++++=
解得%368.54=S 、%8525.51%)207.51(%)368.51(3
44
,3=-++=f ； ⑤5年期债券的现金流模式如下： 5
54433221)1(45
.105)1(45.5)1(45.5)1(45.5)1(45.5100S S S S S ++
+++++++=
解得%4763.55=S 、%9106.51%)368.51(%)4763.51(4
5
5
,4=-++=f
根据以上计算，画图：。