00-第0讲微积分的历史

这里的问题是，当把非均匀变化的问题 看成均匀变化时，能表示为两个量的积的形 式，则此时处理非均匀变化问题，可以采 用 ……？？？
用什么方法？我们以后再慢慢讲。 它是积分学的问题。
牛顿与莱布尼茨
实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之 前，微积分的大量知识已经积累起来了。甚至在巴 罗的一本书里就能看到求切线的方法、两个函数的 积和商的微分定理、x 的幂的微分、求曲线的长度、
方法的全面威力的信念，促使研究者们走得很远（如
果束缚于严格的限制的框架上，这将是不可能的）。
不过只有具备卓越才能的数学大师们才有可能能避免
发生大错。
微积分不仅使用了函数概念，还引入
了两个全新的且更为复杂的概念：微分和
积分。这样，除了用来处理数值所需要的 基础外，还需要逻辑方面的基础。
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经
第一类问题
已知物体移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知 物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距 离。
第一类问题
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
经过中世纪的停滞时期后，数学同自然科学一
起，在新出现的微积分的基础上开始了突飞猛进的发
展，这时公理化的方法才被人们遗弃了。
曾经极其广泛地开拓了数学领域的有创造才能的
先驱们，并不因为要使这些新发现受制于协调的逻辑
分析而束缚住自己，因此，在十七世纪，逐渐广泛地 采用直观证据来代替演绎的证明。一些第一流的数学 家在确实感到结论无误地情况下，运用了一些新的概 念，有时甚至运用一些神秘的联想。由于对微积分新
小球下落的运动状态可用下面的公式描述：
d 16 t 2 (英尺)
当 t 4 时，d 16 42 256 ,
费马所在时代用 的是英制单位
设任意一个时间增量是 h ，在第（4 + h）秒时，
小球会下降 256 英尺加上距离增量 k :
256 k 16 (4 h) 2 256 128h 16h 2
即
k 128h 16h 2
在 h 秒内（时间间隔）的平均速度为
?
k 128h 16h 2 128 16h h h
幸好费马作 了这个现在看来 并不合理的除法 运算，……
令 h = 0 ，得到小球在第四秒时的下落速度
d 128

(d 是牛顿发明的记号)

费马推导的问题所在
这里的问题是，当把非均匀变化的问题
看成均匀变化时，能表示为两个量的商的形
式，则此时处理非均匀变化问题，可以采
用 ……？？？
用什么方法？我们以后再慢慢讲。 它是微分学的问题。
古希腊人研究过的面积问题
计算抛物线 y x 与坐标轴 x 轴 在 0 x 1间所围成的面积。
2
y
y x2
S O
只有当 h 0 时，才能对方程两边作同除以h 的运算。
k 128h 16h 2 即 128 16h 只有当 h 0 时才正确。 h h
这样就不能令 h = 0 而得出结论。此外, 对于 d 16 t 2 这样简单的函数, 可以进行上述化简工作, 而对于更为
复杂的函数, 就不一定可以进行这样的化简工作了, 一
十七世纪的微积分
任何研究工作的开端，几乎都是极不完美 的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目 的地的路都有许多未知的真理 ，唯有一一尝 试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将 正确的途径示以他人。……可以这样说，为了 寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。 ——狄德罗
任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或 几百年以前 ，函数的概念也是如此 。直到1 7世 纪，人们对函数才有了明确的理解。函数概念的 提出，与伽利略和格雷戈里有关。格雷戈里将函
第二类问题
求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问
题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体
在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
第二类问题
困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
般只能导出如下的关系式：k f (h) , 这样，当 h = 0 h h 时，k / h 就是 0 / 0 了，这是没有意义的。
费马推导的问题所在
费马一直没能证明他所做的这些，也 没有把这项工作非常深入地进行下去，但
他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。
尽管如此，事实上我们必须承认他是微积
分学的创始人之一。
识到微分与积分之间的互逆关系。牛顿和莱布尼茨
创建的系统的微积分就是基于这一基本思想。
费马研究的一个问题 假设一个小球正向地面落去，我们想知道下落后 第 4 秒时小球的速度（瞬时速度）。 如果我们考虑用小球下落中时间间隔来代替时 刻，用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时 间，就得到这一间隔中小球的平均速度。我们可以计 算从第四秒起，间隔为 1/2 秒，1/4 秒，1/8 秒，…… 内的平均速度。显然，时间间隔越短，计算出来的平 均速度就越接近第四秒时的速度。这就是说，我们有 了一个方案：首先计算不同时间间隔内的平均速度， 然后研究当时间间隔越来越小时，它们会趋近于哪一 个数。这个数就是要求的小球在第四秒时第瞬时速 度。
第三类问题
求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
第三类问题
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于 另一个物体上的引力。
看一下阿基米德在证明两个圆的
面积比等于其直径平方比所作的
Archimedes
工作。
阿基米德证明的主 要精神是证明圆可以被 圆内接多边形穷竭。 在圆里面内接一个 正方形，其面积大于圆 面积的 1/2 （因为它大 于圆外切正方形面积的 1/2，而外切正方形的面 积大于圆的面积。）
D
A
C 3
2
1
E B
所得到的八边形 不仅包含正方形且包 含圆与正方形面积之 差的一半以上。
8 边形
在八边形的每边 上也可按照在 AB 上 作三角形ABC 那样地 作一个三角形，从而 得到一个正十六边 形。
16边形
这个正十六边形 不仅包含八边形且包 含圆与八边形面积之 差的一半以上。 这种做法你想做 多少次就可以做多少 次。可以肯定，圆与 某一边数足够多的正 多边形面积之差可以 弄得比任何预先给定 的量还要小。
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
绪论 —— 微积分的历史简介
聊聊天
微积分的产生——17、18、19世纪的微积分.
很久很久以前, 在很远很远的一块古老的土地上,
有一群智者……
开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、 格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、 牛顿、莱布尼茨、…… .
定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。
牛顿与莱布尼茨
于是人们惊问，在主要的新结果方面，还有什 么有待于发现呢？问题的回答是，方法的较大普遍 性以及从特殊问题里已建立起来的东西中认识其普
遍性。
牛顿与莱布尼茨
数学的真正划分不是分为几何和算术，而是分 成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万
1
x
y
yx
2
y2 y1
O
h
x1
h
x2
x
S * y1h y2 h
S S*
y
yx
2
y3
y2 y1
O
h
*
x1 h x 2 h x3
x
S y1h y2h y3h
S S*
y
如 何 求 此 面 积 的 精 确 值 ？
yx
2
yn yi
直观地看， 小矩形越多，其 面积和就越接近 于所求曲线下的 面积。
第四类问题
困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和 体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用 了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法 缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而 被根本修改了。
欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的 几何方法。它的思想虽然古老，但很重要，阿基 米德用得相当熟练，我们就用他的一个例子来说 明一下这种方法。
有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在
十六世纪和十七世纪 ，更是越来越受到人们的重
视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始
的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是 彼此互逆的联系着。
公正的历史评价，是不能把创建微积分归功于 一两个人的偶然的或不可思议的灵感的。许多人， 例如，费马、伽利略、开普勒、巴罗等都曾为科学 中的这些具有革命性的新思想所鼓舞，对微积分的 奠基作出过贡献。 事实上，牛顿的老师巴罗，就曾经几乎充分认
16边形 32边形 64边形

希腊数学的重大成就之一，是将许多数学命题和 定理按逻辑上连贯的方式归为为数不多的非常简单的 公设或公理。即熟知的几何公理和算术法则，它们支 配着如整数、几何点这样一些基本对象之间的关系。