考研数学三(矩阵及其运算)-试卷2

考研数学三（矩阵及其运算）-试卷2
(总分：54.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：6，分数：12.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.设n维行向量αA=E-ααT，B=E+2αTα，则AB=
（分数：2.00）
A.0．
B.E．√
C.-E．
D.E+αTα．
解析：解析：AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E+2αTα-αTα-2αTααTα=E+αTα-2αT(ααT)α．注
意ααT，故AB=E．应选(B)．
3.设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是
（分数：2.00）
A.A * A=AA *．
B.A m A p =A p A m．
C.A T A=AA T．√
D.(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)．
解析：解析：因为AA * =A * A=｜A｜E， A m A p =A p A m =A m+p， (A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A 2 -E，所
以(A)、(B)、(D)均正确．而AA T，故(C)不正确．
4.设A，B，A+B，A -1 +B -1均为n阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =
（分数：2.00）
A.A+B．
B.A -1 +B -1．
C.A(A+B) -1 B．√
D.(A+B) -1．
解析：解析：(A -1 +B -1 ) -1 =(EA -1 +B -1 ) -1 =(B -1 BA -1 +B -1 ) -1 =[B -1 (BA -1 +AA -1 )] -1 =[B -1 (B+A)A -1 ] -1 =(A -1 ) -1 (B+A) -1 (B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B．故应选(C)．
5.设A，B均是n阶矩阵，下列命题中正确的是
（分数：2.00）
或B=0．
且B≠0．
A｜=0或｜B｜=0．√
A｜≠0且｜B｜≠0．
解析：解析：A=≠0，但AB=0，所以(A)，(B)均不正确．又如AB≠0，但｜A｜=0且｜B｜=0．可见(D)不正确．由AB=0有｜AB｜=0，有｜A｜.｜B｜=0．故｜A｜=0或｜B｜=0．应选(C)．注意矩阵A≠0和行列式｜A｜≠0是两个不同的概念，不要混淆．
6.设B=
（分数：2.00）
A.AP 1 P 2
B.AP 1 P 3．√
C.AP 3 P 1．
D.AP 2 P 3．
解析：解析：把矩阵A的第2列加至第1列，然后第1，3两列互换可得到矩阵B，表示矩阵A的第
2列加至第1列，即AP 1，故应在(A)、(B)中选择．而P 3表示第1和3两列互换，所以选(B)．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)
7.若 A 2 = 1，A 3 = 2．
（分数：2.00）
填空项1:__________________
8.若 A * = 1，(A * ) * = 2．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）
填空项1:__________________ （正确答案：0）
解析：解析：用定义．A 11 =-3，A 12 =6，A 13 =-3，A 21 =6，A 22 =-12， A 23 =6，A 31 =-3，A 32 =6， A 33 =-3，故因为r(A * )=1，A *的二阶子式全为0，故(A * ) * =0．
9.设 A -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
10.设矩阵
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：因B=(A+2E)(A+3E)，又=5B -1，故
11.设A是n阶矩阵，满足A 2 -2A+E=0，则(A+2E) -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由(A+2E)(A-4E)+9E=A 2 -2A+E=0有 (A+2E). (4E-A)=E． (A+2E) -1．
12.若(A * ) -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：因为(A * ) -1
13.若A -1(3A) * = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：因为(kA) * =k n-1 A *，故(3A) * =3 2 A *，又A * =｜A｜A -1，而从而(3A) * =9A *
14.设x= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4或-5）
解析：解析：A不可逆｜A｜=0x=4或x=-5．
15.设A，B均为3阶矩阵，且满足AB=2A+B，其中B-2E｜= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-2）
解析：解析：由AB-2A-B+2E=2E，有A(B-2E)-(B-2E)=2E，则(A-E)(B-2E)=2E．于是｜A-E｜.｜B-2E｜=｜2E｜=8，而｜A-E｜=-4，所以｜B-2E｜=-2．
16.设A 2 -BA=E，其中B= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由于BA=A 2 -E，又A可逆，则有B=(A 2 -E)A -1 =A-A -1．故
17.设XA=A T +X，其中X= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由XA-X=A T有X(A-E)=A T，因为A可逆，知X与A-E均可逆．故X=A T (A-E) -1
18.已知X满足A * X=A -1 +2X，其中A *是A的伴随矩阵，则X= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：左乘A并把AA *=｜A｜E代入得｜A｜X=E+2AX，移项得(｜A｜E-2A)X=E．故X=(｜A｜E-2A)
-1．由｜A｜=4知X=(4E-2A) -1
三、解答题(总题数：9，分数：18.00)
19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
20.设A -1(A * ) -1．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
21.设 A n．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：对矩阵A分块，记A=，则由r(B)=1)
解析：
22.设A，B均为n阶矩阵，E+AB可逆，化简(E+BA)[E-B(E+AB) -1 A]．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(E+BA)[E-B(E+AB) -1 A] =E+BA-B(E+AB) -1 A-BAB(E+AB) -1 A =E+BA-B(E+AB)(E+AB) -1 A=E+BA-BA=E．)
解析：
23.设A，B，C均为n阶矩阵，其中C可逆，且ABA=C -1，证明BAC=CAB．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由C可逆，知｜ABA｜≠0，故矩阵A，B均可逆．因ABAC=E，即A -1=BAC．又CABA=E，得A -1 =CAB．从而BAC=CAB．)
解析：
24.若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，则AB是反对称矩阵的充要条件是AB=BA．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为A T =A，B T =-B，那么(AB) T =B T A T =-BA．若AB是反对称矩阵，则(AB) T =-AB，从而AB=BA．反之，若AB=BA，则(AB) T =-BA=-AB，即AB是反对称矩阵．)
解析：
25.设A是n阶矩阵，A m =0，证明E-A可逆．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由A m =0，有E-A m =E．于是 (E-A)(E+A+A 2+…+A m-1 )=E-A m =E．所以E-A可逆，且(E-A) -1 =E+A+A 2+…+A m-1．)
解析：
26.设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 A *是A的伴随矩阵，E 为n阶单位矩阵．(Ⅰ)计算并化简PQ；(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αT A -1α≠b．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)由AA * =A * A=｜A｜E 及A * =｜A｜A -1有(Ⅱ)用拉普拉斯展开式及
行列式乘法公式，有A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b-αT A -1α)．由此可知，Q可逆的充分必要条件是b-αT A -1α≠0，即αT A -1α≠b．)
解析：
27.设A是n阶反对称矩阵，证明(E-A)(E+A) -1是正交矩阵．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：[(E-A)(E+A) -1][(E-A)(E+A) -1] T=(E-A)(E+A) -1[(E+A) -1] T(E-A) T=(E-A)(E+A) -1 [(E+A) T ] -1 (E+A) =(E-A)(E+A) -1 (E-A) -1 (E+A) =(E-A)[(E-A)(E+A)] -1 (E+A) =(E-A)[(E+A)(E-A)] -1(E+A) =(E-A)(E-A) -1(E+A) -1(E+A)=E．同理[(E-A)(E+A) -1] T[(E-A)(E+A) -1]=E．所以(E-A)(E+A) -1是正交矩阵．)
解析：。