Algorithm_Chapter_9
计算机算法设计与分析(第5版)
作者简介
王晓东：男，1957年生，山东人，福建工程学院副院长，教授，博士生导师，福建省计算机学会理事长。主 讲课程：算法与数据结构、算法设计与分析、文献阅读与选题报告 。
目录
（注：目录排版顺序为从左列至右列 ）
教学资源
《计算机算法设计与分析（第5版）》有配套教材——《计算机算法设计与分析习题解答（第5版）》 。
教材特色
《计算机算法设计与分析（第5版）》修正了第4版中发现的一些错误，并将各章的习题分为算法分析题和算 法实现题两部分，增加了算法实践性内容，增加了有关串和序列的算法内容。
《计算机算法设计与分析（第5版）》由王晓东担任主编；傅清祥教授、吴英杰教授、傅仰耿博士和朱达欣教 授参加了该教材有关章节的讨论，对该教材内容及各章节的编排提出了意见；田俊教授审阅了全书。该教材在编 写过程中，得到了全国高等学校计算机专业教学指导委员会的支持。福州大学“211工程”计算机与信息工程重 点学科实验室和福建工程学院为该教材的写作提供了设备和工作环境 。
该教材各章的论述中，首先介绍一种算法设计策略的基本思想，然后从解决计算机科学和应用中的实际问题 入手，描述几个算法。同时对每个算法所需的时间和空间进行分析，使读者既能学到一些常用的算法，也能通过 对算法设计策略的反复应用，牢固掌握这些算法设计的基本策略。该教材选择某些问题，通过对解同一问题的不 同算法的比较，使读者体会到每种算法的设计要点。
2018年8月，该教材由电子工业出版社出版 。
algorithm单词解析
algorithm单词解析
algorithm，英语单词，主要用作名词，主要意思为“（尤指计算机）算法，运算法则”等。
算法（algorithm），在数学（算学）和计算机科学之中，为任何良定义的具体计算步骤的一个序列，常用于计算、数据处理和自动推理。
精确而言，算法是一个表示为有限长列表的有效方法。
算法应包含清晰定义的指令用于计算函数。
算法中的指令描述的是一个计算，当其运行时能从一个初始状态和初始输入（可能为空）开始，经过一系列有限而清晰定义的状态最终产生输出并停止于一个终态。
一个状态到另一个状态的转移不一定是确定的。
随机化算法在内的一些算法，包含了一些随机输入。
9-Greedy Technique
1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4
Logo
Example
4
a c a c
6 2
b
1
d
1
d
3
c
b c
a
1 2
b d
a
1
2
d
3
b
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Notes about Kruskal’s algorithm
Algorithm looks easier than Prim’s but is harder to implement (checking for cycles!) Cycle checking: a cycle is created iff added edge connects vertices in the same connected component
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Example 4
3(a,c) ∞ b 4 d 5 8 10 2
∞ 8(a,c,b)
6 z 3 13(a,c,b,d,e)
0 a
2
1
c
∞ 2(a)
e
∞ 10(a,c,b,d)
The shortest path is a, c, b, d, e, z with length 13.
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On each iteration, add the next edge on the sorted list unless this would create a cycle. (If it would, skip the edge.)
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Example 3
a
3
2 4
b f
1
3 3
算法设计与分析 王红梅 第二版 第9章 分支限界法
6
分支限界法的设计思想
如果某孩子结点的目标函数可能取值超出目标函数的界，则 将其丢弃，因为从这个结点生成的解不会比目前已经得到的 解更好；否则，将其加入待处理结点表（表PT）
依次从表PT中选取使目标函数的值取极值的结点成为当前扩 展结点，重复上述过程，直到找到最优解。
目标函数的界[down, up]的确定
9
分支限界法的设计思想
PT表
2 w=4, v=40 ub=76
1 w=0, v=0 ub=100
3 w=0, v=0 ub=60
4×
w=11 无效解
5 w=4, v=40 ub=70
6 w=9, v=65 ub=69
7 w=4, v=40 ub=64
8
×
w=12
无效解
9 w=9, v=65 ub=65
如TSP问题（图8.6）。
分支限界法
先确定一个合理的限界函数
由限界函数确定目标函数的界[down, up]
仍以穷举法的解空间树为基础，但以广度优先的原理搜 索该结点的所有孩子结点，分别估算这些孩子结点的目 标函数的可能取值
2020/1/12
Branch and Bound Method
2020/1/12
Branch and Bound Method
12
分支限界法的设计思想
在结点7 物品3不装入背包，w=4,v=40,与结点5相同 目标函数值为：ub=40 + (10-4)×4＝64 将结点7加入表PT中
在表PT 中选取目标函数值取得极大的结点6 优先进行搜索
在结点8 物品4装入背包，w=12>W, 不满足约束条件，将结点8丢弃；
将结点2加入待处理结点表PT中
算法导论 第三版 第九章 答案 英
2Hale Waihona Puke is less than roughly 4n/14 of the elements. So, we are never calling it recursively on more than 10n/14 elements. So, T (n) ≤ T (n/7) + T (10n/14) + O(n). So, we can show by substitution this is linear. Suppose T (n) < cn for n < k , then, for m ≥ k , T (m) ≤ T (m/7) + T (10m/14) + O(m) ≤ cm(1/7 + 10/14) + O(m). So, as long as we have that the constant hidden in the big-Oh notation is less than c/7, we have the desired result. Suppose now that we use groups of size 3 instead. So, For similar reasons, we have that the recurrence we are able to get is T (n) = T ( n/3 ) + T (4n/6) + O(n) ≥ T (n/3) + T (2n/3) + O(n). So, we will show it is ≥ cn lg(n). T (m) ≥ c(m/3) lg(m/3) + c(2m/3) lg(2m/3) + O(m) ≥ cm lg(m) + O(m). So, we have that it grows more quickly than linear. Exercise 9.3-2 We know that the number of elements greater than or equal to x and the number of elements less than or equal to x is at least 3n/10 − 6. Then for n ≥ 140 we have 3n/10 − 6 = Exercise 9.3-3 We can modify quicksort to run in worst case n lg(n) time by choosing our pivot element to be the exact median by using quick select. Then, we are guaranteed that our pivot will be good, and the time taken to find the median is on the same order of the rest of the partitioning. Exercise 9.3-4 Create a graph with n vertices and draw a directed edge from vertex i to vertex j if the ith and j th elements of the array are compared in the algorithm and we discover that A[i] ≥ A[j ]. Observe that A[i] is one of the i − 1 smaller elements if there exists a path from x to i in the graph, and A[i] is one of the n − i larger elements if there exists a path from i to x in the graph. Every vertex i must either lie on a path to or from x because otherwise the algorithm can’t distinguish between i ≤ x and i ≥ x. Moreover, if a vertex i lies on both a path to x and a path from x then it must be such that x ≤ A[i] ≤ x, so x = A[i]. In this case, we can break ties arbitrarily. Exercise 9.3-5 To use it, just find the median, partition the array based on that median. If i is less than half the length of the original array, recurse on the first half, if i is half the length of the array, return the element coming from the median finding 3 n n + − 6 ≥ n/4 + 140/20 − 6 = n/4 + 1 ≥ n/4 . 4 20
算法导论第九章习题答案（第三版）IntroductiontoAlgorithm
算法导论第九章习题答案（第三版）IntroductiontoAlgorithm Exercise
9.1-1
对所有的元素，两个⼀组进⾏⽐较，共需n-1次⽐较，可以构成⼀棵⼆叉树，最⼩的元素在树的根结点上，接下来，画出⼆叉树，可以很容易的看出共需lgn-1次⽐较，所以共需n+lgn-2次⽐较才可以找出第⼆⼩的元素。
9.1-2
略。
9.2-1
在randomized-select中，对于长度为0的数组，此时p=r，直接返回A[p],所以不会进⾏递归调⽤。
9.2-2
略。
9.2-3
RANDOMIZED-SELECT(A,p,r,i){
while(true){
if(p==r)
return A[p];
q=RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r);
k=q-p+1;
if(i==k)
return A[q];
else if(i<k)
q--;
else{
q++;
i-=k;
}
}
}
9.2-4
每次都以最⼤的元素进⾏划分即可。
9.3-1
数学计算，根据书中例题仿照分析即可。
9.3-3
随机化
9.3-5
类似主元划分，只要把⿊箱⼦输出的值作为主元划分去选择即可。
9.3-6
多重⼆分即可。
9.3-7
算出中位数，之后算出每⼀个数与中位数的差即可。
9.3-8
分别取两个数组的中位数进⾏⽐较，如果两个中位数相等，那么即为所求，否则，取中位数较⼩的⼀个的右边，取较⼤的⼀个的右边，直到就剩4个元素为⽌，这时候只要求这4个元素的中位数即可。
完整word版,《算法导论》复习大纲DOC
《算法设计与分析》复习提纲2014.7.51 引言(ch1)1.什么是算法及其特征算法（Algorithm）是通过一个有限的指令序列集合对特定问题进行求解的一种计算执行描述。
算法特征：（1）输入：一个算法具有零个或多个取自指定集合的输入值；（2）输出：对每一次输入，算法具有一个或多个与输入值相联系的输出值；（3）确定性：算法的每一个指令步骤都是明确的；（4）有限性：对每一次输入，算法都必须在有限步骤（即有限时间）内结束；（5）正确性：对每一次输入，算法应产生出正确的输出值；（6）通用性：算法的执行过程可用于所有同类求解问题，而不仅适用于特殊输入。
2.问题实例和问题规模问题实例是指需要计算同一个结果的问题的所有输入。
问题规模是指输入实例的大小,而输入实例是指问题的具体计算例子2 算法初步(ch2)1.插入排序算法1）算法步骤：从左到右扫描数据A，扫描到一个元素，将A[j]与其左边的元素从右到左依次比较，若比之小，则将其之前元素后移，插入A【j】,直至A【j】比他前面的元素大，扫描A中的下一个元素2）伪代码：InsertSort(A){for j=2 to A.length //第一层循环｛Key=A[j]i=j-1While i>0 and a[i]>key //第二层循环｛A[i+1]=A[i]｝i=i-1A[i+1]=key｝}2.算法复杂性及其度量(1)时间复杂性和空间复杂性；(2)最坏、最好和平均情形复杂性；顺序情况下B（n）=O（n）、倒序情况下W（n）=O（n2）、A（n）=O(n2)<W(n)空间复杂性：需要常数个额外的临时空间存储临时数据2.插入排序的最坏、最好和平均时间最坏O(n2)、最好O(n)和平均时间O(n2),空间复杂度是O(1)，稳定排序3.归并排序算法及其时间复杂性－时间Θ（n log n））1）算法步骤分解：分解待排序的n个元素的序列为各具n/2个元素的两个子序列解决：适用归并排序递归的排序2个子序列合并：从左到有遍历2个子序列，比较最前面的元素，将较小的元素移出子序列合并到上级序列的末尾，循环进行上2步，直接所有元素都被合并到上级序列，公进行r-p+1次；2）伪代码：MERGE-SORT(A,p,r){if p<rq=向下取整（p+r）/2MERGE-SORT(A,p,q);MERGE-SORT(A,q+1,r)MERGE(A,p,q,r)}MERGE(A,p,q,r){N1=q-p+1N2=r-q将A拆成长度分别为N1、n2的2个子数组L,RL,R的末尾元素的后一个元素取值无穷大，作为哨兵；i=1，j=1for k=p to rif L[i]<=R[j]A[k]=L[i]i=i+1elseA[k]=R[j]j=j+1}3函数增长率(ch3)1.渐近记号O、Ω、θ的定义及其使用1）O渐进上界：0<=f(n)<=C(g(n))当n->∞, f(n)的阶小与g(n)的阶2）Ω渐进下界：0<=C(g(n)) <=f(n)当n->∞, f(n)的阶大与g(n)的阶3）Θ渐紧界：0<=C1(g(n)) <=f(n) <=C2(g(n))当n->∞, f(n)的阶与g(n)的阶相等2.标准复杂性函数及其大小关系（1）多项式时间阶的大小O(1) < O(log n) < O(n) < O(n*log n) < O(n²) < O(n3)（2）指数时间阶的大小O(2n) <O(n!) < O(n n)3.和式界的证明方法1）数学归纳法猜测解->证明2）对象限界最大最小项限界；几何级数限界；3）和式分解简单的一分为二；更复杂的划分；积分近似；4）Knuth求和：使用数学归纳法；使用摄动法；使用递归；使用积分；使用二重求和；使用有限演算；使用母函数。
CHAPTER 9 MEMORY MANAGEMENT (内存管理) 《操作系统概念》英文版课件
Background: Overlays（覆盖 ）
Keep in memory only those instructions and data that are needed at any given time.
Needed when process is larger than amount of memory allocated to it.
Contiguous Memory Allocation: Fixed-Sized Contiguous Partitions
Main memory is divided into a number of fixed partitions at system generation time. A process may be ded into a partition of equal or greater size. Equal-size partitions Unequal-size partions
Swapping: Schematic View
Swapping: Backing store
Swap file Swap device Swap device and swap file
Swapping: Performance
Major part of swap time is transfer time; total transfer time is directly proportional to the amount of memory swapped. 1000KB/5000KBS = 1/5 seconds = 200ms
Why to protect memory? To protect the OS from user processes And to protect user process from each other.
algorithms 习题答案
algorithms 习题答案算法是计算机科学中的重要概念，它是一种解决问题的方法和步骤的有序集合。
在学习算法的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以加深对算法的理解，提高我们的编程能力。
在本文中，我将为大家提供一些常见算法习题的答案。
一、排序算法1. 冒泡排序冒泡排序是一种简单但效率较低的排序算法。
它的基本思想是通过相邻元素的比较和交换，将最大的元素逐渐“冒泡”到数组的末尾。
以下是冒泡排序的实现代码：```pythondef bubble_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n-1):for j in range(n-i-1):if arr[j] > arr[j+1]:arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]return arr```2. 快速排序快速排序是一种常用的排序算法，它的基本思想是通过选择一个基准元素，将数组分为两部分，一部分小于基准元素，一部分大于基准元素，然后对这两部分分别进行递归排序。
以下是快速排序的实现代码：```pythondef quick_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrpivot = arr[0]left = [x for x in arr[1:] if x <= pivot]right = [x for x in arr[1:] if x > pivot]return quick_sort(left) + [pivot] + quick_sort(right)```二、查找算法1. 二分查找二分查找是一种高效的查找算法，它的基本思想是将有序数组分为两部分，通过与目标值的比较，确定目标值在哪一部分中，然后再在该部分中进行查找。
以下是二分查找的实现代码：```pythondef binary_search(arr, target):left, right = 0, len(arr) - 1while left <= right:mid = (left + right) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] < target:left = mid + 1else:right = mid - 1return -1```2. 哈希查找哈希查找是一种基于哈希表的查找算法，它的基本思想是通过将关键字映射到哈希表中的位置，从而快速定位到目标值。
Chapter9_Image Stitching and blending
• Different approaches for them
Parallax Removal
• Based on bundle adjustment, compute 3D point location, then reproject it to images
Deghosting a mosaic with motion parallax (Shum and Szeliski 2000) c 2000 IEEE: (a) composite with parallax; (b) after a single deghosting step (patch size 32); (c) after multiple steps (sizes 32, 16 and 8)
Observed location of feature I in image k
• Xik depends on xij, error-in-variable • Overweighted for feature observed many times
Bundle Adjustment
• True bundle adjustment to estimate camera pose and 3d points
Parallax Removal
• Blurry or ghosting
– Unmodeled radial distortion – 3D parallax: failure to rotate the camera around its optical center – Small scene motion, large scale scene motion
2JT J 2J T e0 0 J J J e0
算法导论中文版答案
24.2-3
24.2-4
24.3-1 见图 24-6 24.3-2
24.3-3
24.3-4 24.3-5 24.3-6
24.3-7
24.3-8 这种情况下不会破坏已经更新的点的距离。 24.4**** 24.5****
25.1-1 见图 25-1 25.1-2 为了保证递归定义式 25.2 的正确性 25.1-3
8.3-3 8.3-4
8.3-5(*) 8.4-1 见图 8-4 8.4-2
8.4-3 3/2，1/2 8.4-4(*) 8.4-5(*)
9.1-1
9.1-2 9.2-1 9.3-1
第九章
9.3-2 9.3-3
9.3-4 9.3-5
9.3-6 9.3-7
9.3-8
9.3-9
15.1-1
6.4-4
6.4-5
6.5-1 据图 6-5 6.5-2
6.5-3 6.5-4 6.5-5
6.5-6 6.5-7
6.5-8
7.1-1 见图 7-1 7.1-2
7.1-3 7.1-4 7.2-1 7.2-2
7.2-3 7.2-4 7.2-5
第七章
7.2-6 7.3-1
7.3-2
7.4-1 7.4-2
5.3-6
6.1-1 6.1-2 6.1-3 6.1-4 6.1-5 6.1-6
第6章
6.1-7
6.2-1 见图 6-2 6.2-2
6.2-3
6.2-4
6.2-5 对以 i 为根结点的子树上每个点用循环语句实现 6.2-6
6.3-1
见图 6-3 6.3-2
6.3-3
6.4-1 见图 6-4 6.4-2 HEAPSORT 仍然正确，因为每次循环的过程中还是会运行 MAX-HEAP 的过程。 6.4-3
《算法导论》习题答案
《算法导论》习题答案Chapter2 Getting Start2.1 Insertion sort2.1.2 将Insertion-Sort重写为按非递减顺序排序2.1.3 计算两个n位的二进制数组之和2.2 Analyzing algorithms2.2.1将函数用符号表示2.2.2写出选择排序算法selection-sort 当前n-1个元素排好序后，第n个元素已经是最大的元素了.最好时间和最坏时间均为2.3 Designing algorithms计算递归方程的解(1) 当时，，显然有T((2) 假设当时公式成立，即，则当，即时，2.3.4 给出insertion sort的递归版本的递归式2.3-6 使用二分查找来替代insertion-sort中while循环j?n;if A[i]+A[j]<xi?i+1elsej?j-1if A[i]+A[j]=xreturn trueelsereturn false时间复杂度为。
或者也可以先固定一个元素然后去二分查找x减去元素的差，复杂度为。
Chapter3 Growth of functions3.1Asymptotic notation3.1.2证明对于b时，对于，时，存在，当时，对于，3.1-4 判断与22n是否等于O(2n)3.1.6 证明如果算法的运行时间为，如果其最坏运行时间为O(g(n))，最佳运行时间为。
最坏时间O(g(n))，即;最佳时间，即3.1.7:证明定义3.2 Standard notation and common functions 3.2.2 证明证明当n>4时，，是否多项式有界～与设lgn=m，则?lgn～不是多项式有界的。
mememmmm2设，，是多项式有界的3.2.5比较lg(lg*n)与lg*(lgn)lg*(lgn)= lg*n-1设lg*n=x，lgx<x-1较大。
算法导论doc
第1章算法在计算中的作用章算法在计算中的作用什么是算法?为什么要对算法进行研究?相对于计算机中使用的其他技术来说，算法的作用是什么?在本章中，我们就要来回答这些问题. 1. 1算法算法简单来说，所谓抹法(also*llem)就是定义良好的计算过程，它取一个或一组值作为输入，并产生出一个或一组值作为输出。
并产生出一个或一组值作为输出。
亦即，亦即，算法就是一系列的计算步驭，算法就是一系列的计算步驭，用来将输人数据转换用来将输人数据转换成输出结果。
成输出结果。
我们还可以将算法看作是一种工具。
用来解决一个具有良好规格说明的计算问题。
有关该问题的表述可以用通用的语言，来规定所需的输人/输出关系。
与之对应的算法则描迷了一个特定的计算过程，用于实现这一输人/输出关系输出关系例如.假设需要将一列数按非降顺序进行排序。
在实践中，这一问皿经常山现。
它为我们引入许多标准的算法设计技术和分析工具提供了丰富的问题场景。
下面是有关该排序间题的形式化定义，的形式化定义，输入:由n 个数构成的一个序列编出:对输人序列的一个排列(重排) 例如，给定一个输人序列(31. 41. 59. 26, 41, 58).一个排序算法返回的怕出序列是(26, 31. 41. 41. 58, 59).这样的一个输人序列称为该排序问趣的一个实例G .-e)。
一般来说，。
一般来说，某一个问题的实例包含了求解该间题所需的输人(它满足有关该同题的表述中所给出的任何限制)。
在计算机科学中，排序是一种基本的操作(很多程序都将它用作一种申间步骤)。
因此，迄今为止，科研人员提出了多种非常好的排序算法。
科研人员提出了多种非常好的排序算法。
对于一项特定的应用来说，对于一项特定的应用来说，对于一项特定的应用来说，如何选择最如何选择最佳的排序算法要考虑多方面的因素，其中最主要的是考虑待排序的数据项数、这些数据项已排好序的程度、对数据项取值的可能限制、对数据项取值的可能限制、打算采用的存储设备的类型打算采用的存储设备的类型〔内存、磁盘、磁带)等。
Mark Allen Weiss 数据结构与算法分析 课后习题答案9
9.7
(b) We define a pass of the algorithm as follows: Pass 0 consists of marking the start vertex as known and placing its adjacent vertices on the queue. For j > 0, pass j consists of marking as known all vertices on the queue at the end of pass j − 1. Each pass requires linear time, since during a pass, a vertex is placed on the queue at most once. It is easy to show by induction that if there is a shortest path from s to v containing k edges, then dv will equal the length of this path by the beginning of pass k . Thus there are at most | V | passes,
Next, send three units of flow along s, D, E, F, t. The residual graph that results is as follows: A 1 s 2 4 1 3 G 3 D 2 2 4 1 H 2 2 3 2 2 4 E 3 I B 2 2 3 1 C 1 F 4 4 3 t
-45-
giving an O ( | E | | V | ) bound. 9.8 See the comments for Exercise 9.19. 9.10 (a) Use an array Count such that for any vertex u , Count[u] is the number of distinct paths from s to u known so far. When a vertex v is marked as known, its adjacency list is traversed. Let w be a vertex on the adjacency list. If dv + cv ,w = dw , then increment Count[w] by Count[v] because all shortest paths from s to v with last edge (v ,w ) give a shortest path to w . If dv + cv ,w < dw , then pw and dw get updated. All previously known shortest paths to w are now invalid, but all shortest paths to v now lead to shortest paths for w , so set Count[w] to equal Count[v]. Note: Zero-cost edges mess up this algorithm. (b) Use an array NumEdges such that for any vertex u , NumEdges[u] is the shortest number of edges on a path of distance du from s to u known so far. Thus NumEdges is used as a tiebreaker when selecting the vertex to mark. As before, v is the vertex marked known, and w is adjacent to v . If dv + cv ,w = dw , then change pw to v and NumEdges[w] to NumEdges[v]+1 if NumEdges[v]+1 < NumEdges[w]. If dv + cv ,w < dw , then update pw and dw , and set NumEdges[w] to NumEdges[v]+1. 9.11 (This solution is not unique). First send four units of flow along the path s, G, H, I, t. This gives the following residual graph: A 1 s 2 4 G 4 2 2 4 3 D 1 H 2 2 3 2 2 4 E 3 I B 2 2 3 1 C 1 F 4 4 3 t
algorithm函数大全
partition ：对范围内元素重新排序，使用输入的函数，把计算结果为 true 的元素都放在结果为 false 的元素之前。
prev_permutation ：取出范围内的序列并将它重新排序为上一个序列。如果不存在上一个序列则返回 false 。重载版本使用自定义的比较操作。
set_symmetric_difference ：构造一个排过序的序列，其中的元素在第一个序列中出现，但是不出现在第二个序列中。重载版本使用自定义的比较操作。
set_union ：构造一个排过序的序列，它包含两个序列中的所有的不重复元素。重载版本使用自定义的比较操作。
sort ：以升序重新排列范围内的元素，重载版本使用了自定义的比较操作。
rotate ：将范围内的元素移到容器末尾，由 middle 指向的元素成为容器第一个元素。
rotate_copy ：类似与 rotate ，不过将结果写入另外一个容器。
search ：给出了两个范围，返回一个 iterator ，指向在范围内第一次出现子序列的位置。重载版本使用自定义的比较操作。
for_each ：依次对范围内的所有元素执行输入的函数。
generate ：通过对输入的函数 gen 的连续调用来填充指定的范围。
generate_n ：填充 n 个元素。
includes ：判断 [first1, last1) 的一个元素是否被包含在另外一个序列中。使用底层元素的 <= 操作符，重载版本使用用户输入的函数。
remove_if ：删除所有范围内输入操作结果为 true 的元素。
algorithm(第一次出现缩略语需要提供英文全称
*This project was supported by the National Natural Science Foundation of China (60600000;60500000), the National High Technology Research and Development Program of China (863 Program) and the Excellent Y outh Project of Hubei Provincial Department of Education (Q20080000).Title*Li Mingming 1，2, Wang Liang 1 & Ouyang Hai 21. School of Electronics and Information Engineering, Harbin Inst. of Technology, Harbin 150001, P.R.China;2. Beijing Inst. of Radio Measurement, Beijing 100854, P.R.ChinaAbstract: A novel algorithm is proposed to solve some problems. … Simulation results show theeffectiveness of the proposed algorithm.（第一次出现缩略语需要提供英文全称，格式为“multiple input multiple output (MIMO)”）Keywords: word1, word2, word3, word4.1 IntroductionDirection of arrival (DOA) estimation of multiple narrowband sources is a major research issue in array signal processing [1].★ 正文中提到的所有缩略词在第一次出现时，必须提供英文全称，格式为“multiple input multiple output (MIMO)”。
Chapter09 求根
• 为了寻求一个好的新的点 x2，首先画直线 从(x0, f(x0)) 至(x1, f(x1))，这是函数y = f(x)曲 线的割线，它是y = f(x)在点x0 和 x1的领域 内的线性近似。作为一个新的猜测的点的 横坐标x2，取为该割线和x轴的交点。
• 割线方程为：
• 由此得x2
二分法： bisection method
求根：log x−exp(−x) 导数为：1/x+exp(−x)
割线法： secant method
• Newton–Raphson algorithm的一个问题是需要 知道导数f′。若导数计算很困难或不存在，则 我们可以使用割线法。该法仅要求函数f是连 续的。 • 和Newton–Raphson method类似，割线法也是 基于对函数f 的线性逼近。假设f在a点存在一 个根。假设有两个猜测的值x0，x1。我们认为 x0作为一个旧的猜测，用新的一对点x1, x2替 换x0, x1 ，其中x2是一个新的猜测的点。
求根 Root-finding
• • • • •
本章主要讨论求根： （1）不动点法 fixed-point iteration （2）Newton–Raphson method （3）割线法secant method （4）二分法 bisection me根是满足方程 f(x)=0的解。及存在实数a使得f(a)=0.
• 不动点法是一种迭代法。即生成一个点的 序列 x0, x1, x2, . . . 使得它收敛于某个点，满 足 g(a) = a。初始点记为x0，下一个点由 x1 = g(x0)生成，不断地重复。由此给出了一阶 递推关系（也称为是差分方程）：
不动点的代码
• 下列代码用函数fixedpoint 实现不动点算法。 为了要使用该函数，首先需要生成一个函 数ftn(x) ，它返回函数g(x)。如 • fixedpoint(ftn, x0, tol = 1e-9, max.iter = 100) 有四个参数：
算法导论第9章
定义：语言L是NP完全的当且仅当 (1)L∈NP； (2)对于所有L’∈NP有L’ ∝p L。 如果有一个语言L满足上述性质(2)，但不一定满足性质(1)， 则称该语言是NP难的。所有NP完全语言构成的语言类称为NP完全 语言类，记为NPC。
18
9.3.1 多项式时间变换
定理9-2：设L是NP完全的，则 (1)L∈P当且仅当P＝NP； (2)若L∝p L1 ，且 L1∈NP，则 L1 是NP完全的。
Cset用来存储顶点 覆盖中的各顶点。初 始为空，不断从边集 e1中选取一边(u,v)， 将边的端点加入cset 中，并将e1中已被u 和v覆盖的边删去， 直至cset已覆盖所有 边。即e1为空。
12
9.2.2 P类与NP类语言
P类和NP类语言的定义： P={L|L是一个能在多项式时间内被一台DTM所接受 的语言} NP={L|L是一个能在多项式时间内被一台NDTM所接 受的语言}
由于一台确定性图灵机可看作是非确定性图 灵机的特例，所以可在多项式时间内被确定性图灵 机接受的语言也可在多项式时间内被非确定性图灵 机接受。故P NP。
2
9.1 计算模型
在进行问题的计算复杂性分析之前，首先必须建立求解问题所用的计算模型，包括定
义该计算模型中所用的基本运算。
建立计算模型的目的是为了使问题的计算复杂性分析有一个共同的客观尺度。 3个基本计算模型： 随机存取机RAM(Random Access Machine)； 随机存取存储程序机RASP(Random Access Stored Program Machine) 图灵机(Turing Machine)。 这3个计算模型在计算能力上是等价的，但在计算速度上是不同的。
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Kruskal算法
算法 Kruskal(G)
//构造最小生成树的Kruskal算法 //输入：加权连通图 //输出：ET 按照边的权重w(ei)的非递减顺序对集合E排序
ETφ; ecounter0;k0; While ecounter<|V|-1 kk+1 if ETU{eik}无回路 ETET U{eik};ecounterecounter+1; Return ET
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Prim算法
连通图的一棵生成树是包含图的所有定点的 连通无环子图（一棵树）。 加权连通图的一棵最小生成树是图的一棵权 重最小的生成树。
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Prim算法
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每个集合用一棵“有根树”表示
定义数组
set[1..n]
set[i] = i , 则i表示本集合，并是集合对应树的根 set[i] = j, j<>i, 则 j 是 i 的父节点.
i
Set(i)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2 1
3
2 2 4 7
1
3
4
3
3
4
3 10 6 8
9
20
5
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i
Set(i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2 1
4
2 6
1 6 2
2
不相交集合： {1,3,7}, {4}, {2,5,9,10}, {6,8}
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Union-Find（并查）算法
1≤i≤n 1≤i≤n
约束条件 ∑ wi xi ≤W
0≤xi≤1, pi>0, wi>0, 1≤i≤n
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背包问题(Knapsack Problem)
方案1：按物品价 值降序装包
方案2：按物品重量 升序装包
算法的效率？
与动态规划的最优二叉树构造算法比较？
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哈夫曼树(Huffman Trees)
哈夫曼树(Huffman Trees)
带有限期的作业排序
问题描述
假定只能在一台机器上处理n个作业，每个作业均
Prim算法实例
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Prim算法是否能产生一个最优解
用归纳法和反证法来证明： 假设Ti-1是某些最小生成树T的一部分，我们需要证明，通过 Prim算法从Ti-1成生的Ti也是一棵最小生成树的一部分。
1个25，2个10，3个1，且该解是最优的。
这种方法称为贪婪法，建议通过一系列步骤来构 造问题的解，每一步对目前构造的部分解做一个 扩展，直到获得问题的完全解。 必须满足：可行、局部最优、不可取消
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路径 v0v2 v0v2v3 v0v2v3v1
长度 10 25 45
20 v2
(4)
v0v4
45
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产生最短路径的贪心策略
逐条构造这些最短路径; 假定已构造了i条最短 路径，则下面要构造的 路径应该是下一条最短 的最小长度路径。 生成从v0到所有其它结 点的最短路径的贪心方 法就是按照路径长度的 非降次序生成这些路径。
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算法实例
数组Θ(|V|2)， 邻接表Θ(|E|log|V|)
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要求
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找零钱问题(change-making problem)
用当地面额为d1>d2>…>dm的最少数量的硬币找 出金额为n的零钱。 如d1=25,d2=10,d3=5,d4=1，n=48 该问题的一个解是：
常见两种操作： 合并两个集合 查找某元素属于哪个集合
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Union-Find（并查）算法
用编号最小的元素标记所在集合； 定义一个数组 set[1..n] ，其中set[i] 表示元素i 所在的集合；
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Prim算法
为了知道连接树中顶点的最短边的信息，可以把 不在树中的顶点分为两个集合，“边缘”集合和 “不可见”集合。 边缘集合只包括那些不在树中，但至少和树中一 个顶点相邻的顶点。 图中所有其他顶点都是不可见顶点。 确定了一个加入树中的顶点u后，需要两步操作
算法分析与设计
Analysis and Design of Computer Algorithms
第九章 贪婪技术
Greedy Technique
武浩
云南大学信息学院 计算机科学与工程系
贪婪技术(Greedy Tecຫໍສະໝຸດ nique)教学内容
贪婪技术定义及其解题步骤 背包问题的贪婪策略(Knapsack Problem) Prim算法 Kruskal算法 Dijkstra算法 哈夫曼树(Huffman Trees) 掌握贪婪技术的原理、效率分析方法，以及在常见问 题问题中的应用。
可在单位时间内完成；又假定每个作业I都有一个 截止期限di>0(是整数)，当且仅当作业i在它的期 限截止之前被完成时，则获得pj>0的效益。 这个问题的一个可行解是这n个作业的一个子集合 J，J中的每个作业都能在各自的截止期限之前完 成，可行解的效益值是J中这些作业的效益之和 ∑p。具有最大效益值的可行解就是最优解。
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产生最短路径的贪心策略
给每一个顶点附加两个标记： 数字d指出目前为止的最短路径长度 另一个标记当前构造出来的树中标出顶点的父 母 在确定了加入树中的顶点v*以后，还要做两个操 作： 把u*从边缘集合移到树顶点集合 对于余下的每一个边缘顶点u，如果通过权重 为w(u*,u)的边和u*相连，当du*+w(u*,u)<du时， 把u的标记分别更新为u*和du*+w(u*,u)。
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Union-Find（并查）算法
在某个城市里住着n个人，任何两个认 识的人不是朋友就是敌人，而且满足：
我朋友的朋友是我的朋友； 我敌人的敌人是我的朋友；
已知关于 n个人的m条信息（即某2个 人是朋友或者敌人），假设所有是朋友 的人一定属于同一个团伙，请计算该城 市最多有多少团伙？
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Kruskal算法
Kruskal算法把一个加权连通图G=<V,E>的 最小生成树看作是一个具有|V|-1条边的无 环子图，并且边的权重和是最小的。 该算法通过对子图的一系列扩展来构造一 个最小生成树，这些子图总是无环的，但 在算法的中间阶段，并不一定是连通的。 该算法首先将图中边按照权重的非递减顺 序进行排序，然后从一个空子图开始，试 图安顺序把边加到当前的子图中。
把u*从集合V-VT移动到树的顶点集合中
对于集合V-VT中每个剩下的顶点u，如果它用一条比u
的当前距离标记更短的边和u*相连，分别把它的标记更 新为u*以及u*与u之间边的权重。
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