4.2.2指数型复合函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版

∴ 原函数 y 2x2 ax5 与t=f(x)= x2 ax5 单调性相同
又t=f(x)的单调递增区间是 [ a ,+∞) 2
∴ 原函数 y 2x2 ax5 的单调递增区间是[ a ,+∞)
2 ∴ a =2 即 a=4
2
（2）定义域为x∈R
∵ 底数a=2>1
∴ 原函数 y 2x2 ax5 与t=f(x)= x2 ax5 单调性相同
2
五、小结
方法1
定义法
判断 y a f x 单调性
方法2
方法3
同增异减 a>1
0<a<1
y a f x 与t=f(x) 单调性相同 y a f x 与t=f(x) 单调性相反
思考题：
已知函数
f
x
1 2
ax2 2 x3
在区间(-1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是
.
解：∵
底数a=
1 2
∴原函数
y
1 2
x2 2x3
的单调递增区间为（-∞，1
)，
单调递减区间为(1,+∞)
例3、（1）已知函数 y 2x2 ax5 单调递增区间是[2,+∞)，则 a 的取值是
。
（2）已知函数 y 2x2 ax5 在[2,+∞)上单调递增，则 a 的取值范围是
。
解：（1）定义域为x∈R
∵ 底数a=2>1
A. (-∞,-2]
B. [-2,0)
C. (0,2]
D. [2,+∞)
二、复合函数的单调性 对于复合函数y=f(g(x)),设t=g(x)在(a,b)上是单调函数，且y=f(t)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上也是单调函数， 那么y=f(g(x))在(a,b)上的单调性如下表所示： 同 增 异 减
指数函数单调性
指数型复合函数 y a f x 的单调性
当a>1时，y ax 在R上单
调递增
当a>1时
若t=f(x) 在(m,n)上单调递增，则 y at 在(f(m),f(n)) 上单调递增， y a f x 在 (m,n) 上 单调递增 若t=f(x) 在(p,q)上单调递减，则 y at 在 (f(q),f(p)) 上单调递增， y a f x 在 (m,n) 上 单调递减
f
x
1 3
x2 x2
的单调递增区间为
，单调递减区间为
。
4、若 f x a 2x4 (a>0,a≠1)满足 f(1)=1/9 ，求f(x)的单调递增区间为
，单调递减区间为
。
5、若函数
f
x
1 5
x2
ax
在区间[1,2]上单调递减，则实数a
的取值范围是（
）
A. (-∞,-4]
B. (-∞,-2]
∴原函数 y 2x22x3的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为（-∞，1）
变式、函数
y
1 2
x2 2x3
的单调递增区间为
，单调递减区间为
。
解：定义域为x∈R
∵a=
1 2
<1
∴原函数 y
1 2
x2
2
x3
与t=f(x)=
x2 2x 3 单调性相反
又t=f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为（-∞，1）
当0<a<1时，y ax在R上
单调递减
当0< a<1时
若t=f(x) 在(m,n)上单调递增，则 y at 在(f(m),f(n)) 上单调递减， y a f x 在 (m,n) 上 单调递减 若t=f(x) 在(p,q)上单调递减，则 y at 在 (f(q),f(p)) 上单调递减， y a f x 在 (m,n) 上 单调递增
A. (-∞,-2]
B. [-2,0)
C. (0,2]
D. [2,+∞)
解：定义域为x∈R
∵ 底数a=2>1
∴ 原函数与t=g(x)= x(x-a) 单调性相同 又t=g(x)的单调递减区间是（- ∞， a )
2 ∴ 原函数的单调递减区间是 （- ∞，a )
2
∴ (0,1) （- ∞， a )
2 ∴ a ≥1 即 a ≥2
<1
∴ 原函数与t=g(x)= ax2 2 x3 单调性相反
又t=g(x)= ax2 2 x3 在区间(-1,2)上单调递减
(1)a=0 时
(3)a<0 时
∵ t=g(x)= ax2 2 x3 在区间(-1,2)上单调递减
∴ 1 ≤-1 ，又 a<0 a
∴-1 ≤ a < 0
t=g(x)=-2x-3在区间(-1,2)上单调递减 符合题意
。
9、已知函数 f x 4x a 2x 在区间[2,+∞) 上单调递增，则实数a 的取值范围是
。
10、已知函数 y 4x 2x1 5 的定义域为[-1,3] .
（1）求函数在[-1,3] 的单调区间. （2）求函数在[-1,3] 的最大值和最小值.
11、已知函数 f x 1 2x a 4x， x ∈(- ∞，1]，f(x)>0 恒成立，求实数a 的取值范围。
例1、判断下列函数的单调性
（1） y 2x2
（2） y 3 x
（3） y
1 3
x 1
（4）y
1 3
2 x
例2、函数 y 2x2 2x3 的单调递增区间为
，单调递减区间为
。
解：定义域为x∈R
∵a=2>1
∴原函数 y 2x22x3 与t=f(x)= x2 2x 3 单调性相同
又t=f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为（-∞，1）
又t=f(x)的单调递增区间是 [ a ,+∞) 2
∴ 原函数 y 2x2 ax5 的单调递增区间是 [ a ,+∞)
2
∴ [2,+∞) [ a ,+∞)
2 ∴ a ≤2 即a≤4
2
（2023新课标Ⅰ卷4）
设函数 f x 2xxa 在区间 (0,1) 单调递减，则 a 的取值范围是（ ）
若减函数有偶数个，则这个复合函数为增 函数； 若减函数有奇数个，则这个复合函数为减 函数。
小结： 判断y=f(g(x)) 单调性
确定函数的定义域 将复合函数分解成y=f(t)与t=g(x) 分别确定 y=f(t)与t=g(x)的单调性
根据“同增异减”判断y=f(g(x)) 单调性
三、指数型复合函数 y a f x 的单调性
指数型复合函数 的单调性
一、指数函数单元知识结构
整数指数幂
有理数指数幂
定义
指数
实数指数幂 运算性质
定义
指数函数
图象、性质
定义
指数型复合函数
性质
①y a f (x) ②y f ax
（2023新课标Ⅰ卷4）
设函数 f x 2xxa 在区间 (0,1) 单调递减，则 a 的取值范围是（ ）
小结：
判断 y a f x 单调性
a>1 0<a<1
y a f x 与t=f(x) 单调性 相同 y a f x 与t=f(x) 单调性 相反
判断 y a f x 单调性
a>1 0<a<1
y a f x 与t=f(x) 单调性 相同 y a f x 与t=f(x) 单调性 相反
四、例题分析
C. [-2，+ ∞）
D. （-4，+ ∞）
6、已知函数 f x ax22ax5 (a>0,a≠1)在(-∞,-1]上单调递减，则实数a 的取值范围是
。
7、已知函数 f x a2x2 ax1(a>0,a≠1)在(1,3)上单调递增，则实数a 的取值范围是
。
8、已知函数 f x 4x 2x1 2 在区间(-∞,a] 上单调递减，则实数a 的取值范围是
综上可知 a ∈Байду номын сангаас-1,1/2]
(2)a>0 时
∵ t=g(x)= ax2 2 x3 在区间(-1,2)上单调递减
1 ∴ a ≥2 ，又 a>0
∴0<a≤1/2
六、课后作业
1、函数 f x 2x22x2 的单调递增区间为
，单调递减区间为
。
1
2、函数 f x 3x 的单调递减区间为
。
3、函数
t=g(x)
y=f(t)
y=f(g(x))
在(a,b)上增 在(g(a),g(b)上增 在(a,b) 增
在(a,b)上增 在(a,b)上减
在(g(a),g(b)上减 在(a,b) 减 在(g(b),g(a)上增 在(a,b) 减
在(a,b)上减 在(g(b),g(a)上减 在(a,b) 增
若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定。