椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式

θ

2222

21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有

命题：

若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ

2222

21cos 2c a ab F F -=。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长

AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X

PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦

点弦长公式θ

2222

21c o s 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αc o s ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3

π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2

2

22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32

+=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222π

c a ab -=5

16 （2）又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，

从而所求椭圆E 的方程为13

)1(4)4(2

2=-+-y x 。 例3、已知椭圆C ：12222=+b

y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦

长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5

2，求椭圆C 的方程。 分析：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有82

2=+b a ， （1）又由焦点弦长公式得θ2222cos 2c a ab -=54a ， （2） 因tan θ=3，得3

πθ=，（3） 又 222c b a += （4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：62=a ，22

=b ，从而所求椭圆E 的方程为12

62

2=+y x 。