《正切函数的图像与性质》教学案

《正切函数的图像与性质》教学案
一、教学目标：
1、知识与技能
(1)了解任意角的正切函数概念；
(2)理解正切函数中的自变量取值范围；
(3)掌握正切线的画法；
(4)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；
(5)熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；
(6)能熟练掌握正切函数的图像与性质；
(7)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板
第一课时 正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P35。

【探究新知】 1．
正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2
π＋kπ(k ∈Z)，那么，角α的终
边与单位圆交于点P(a ，b)，唯一确定比值a
b .根据函数定义，比值a
b 是角α的函数，
我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tanα，其中α∈R ，α≠2
π＋kπ，k ∈Z.
比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝α
αcos sin (α∈R ，α≠2
π＋kπ，k
∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A(1 ，0)，任意角α 的终边与单位圆交于点P ，过点A(1 ，0)作x 轴的垂线，与角 的终边或终边的延长线相交于T 点。

从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时，T 点位于x 轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时，T 点位于x 轴的下方。

分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两
x
y
o T A
21
30P
个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT 的值相等。

因此， 我们称有向线段AT 为角α的正切线。

2．正切函数的图象 (1)首先考虑定义域：
()
z k k x ∈+
≠2
π
π
(2)为了研究方便，再考虑一下它的周期：
()()()⎪
⎭
⎫
⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,t a n c o s s i n c o s s i n t a n πππππ且 ∴
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛∈+≠∈=z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T (最小正周期)
(3)因此我们可选择⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数
R x x y ∈=tan ，且
()
z k k x ∈+≠
ππ
2
的图像，称“正切曲线”
x
y
2
π
-
2
πO
π2
3-π-2
π
-
2
ππ2
3
y
x
从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x ＝2
π＋kπ(k ∈Z)隔开的
无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。

3．正切函数y ＝tanx 的性质 引导学生观察，共同获得： (1)定义域：
⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，
(2)值域：R 观察：当x 从小于
()
z k k ∈+
2
π
π，
2
π+
π−→−k x 时，∞−→−x tan
当x 从大于()
z k k ∈+ππ2
，
π
π
k x +−→
−2
时，-∞−→−x tan 。

(3)周期性：π=T
(4)奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。

(5)单调性：在开区间z
k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

二、归纳整理，整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思。