七年级下册初一数学《生活中的轴对称》教案

生活中的轴对称
§5.1 轴对称现象 §5.2 轴对称的性质
【知识梳理】
1．如果一个平面图形沿一条直线_________，直线两旁的部分能够__________，那么这个图形．．．．叫做_________________，这条直线叫做它的________，这时，我们也就说这个图形．．．．关于这条直线（或轴）________．
2．如果两个平面图形沿一条直线对折后能够 ___ ，那么称这两．个．图形．．__________，这条直线叫做这两个图形的．．．．．
___________． 轴对称与轴对称图形的区别
轴对称是指两个图形之间的形状和位置关系。

而轴对称图形是对一个图形而言的，轴对称图形是一个具有特殊形状的图形。

它们都有沿某条直线对折使直线两旁的图形能重合的特征。

轴对称
轴对称图形
图形
3、轴对称的性质
● 如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

● 如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。

● 轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

● 轴对称图形的对应线段、对应角相等。

注意：轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形 【基础练习】
1．在图1－1中，是轴对称图形．．．．．
的是（ ）
图1－1
2．下列图形中，是轴对称图形的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 3．在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有 （ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
4．如图，ΔABC 与ΔA 'B 'C '关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （ ） A ．30° B ．50°
C ．90°
D ．100°
5．将一个正方形纸片依次按图1－4a ，b 的方式对折，然后沿图c 中的虚线裁剪，成图d 样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图1－5中的 （ ）
图1－
4
图1－5
【综合运用】
1．请分别画出下列各图的对称轴．
（1）正方形 （2）正三角形 （3）相交的两个圆
2．如图，ΔABC中，AB＝BC，ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A'处，若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BDA'的度数．
§5.3 简单的轴对称图形
【等腰三角形】
等腰三角形是轴对称图形。

1、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

注意：等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

2、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。

3、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：
(1）两条边相等的三角形是等腰三角形；
(2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。

【等边三角形】
1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。

2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。

3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。

4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是60o。

【基础练习】
1．等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____．
2．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其他两边长分别为_____________．
3．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是_____________．
4．等腰直角三角形的底边长为5cm，则它的面积是（）
A．25cm2B．12.5cm2C．10cm2D．6.25cm2
5．等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，则它的周长是（）
A．63cm B．51cm C．63cm和51cm D．以上都不正确
6．△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于（）A．45°B．36°C．90°D．135°
【综合运用】
1．如图1，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______．
图1 图2 图3
2．如图2，ΔABC中，AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，则∠BAC＝______．
3．如图3，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．
4．如右图，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交
BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝________cm.
5．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．
求证：BD＝CE．
6．已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．
7．已知：如图5－4，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED 与BC的位置关系，并证明你的结论．
8．已知：如图，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．求证：（1）DE＝DF；（2）ΔDEF为等腰直角三角形．
【线段】
●线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。

●垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

●性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

【用尺规作线段的垂直平分线】
已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线MN．
作法：
1．如图，若P是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则
（1）ΔP AC≌__________；（2）P A＝__________；
（3）∠APC＝_________；（4）∠A＝__________．
2．ΔABC中，若AB－AC＝2cm，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14cm，则
AB＝__________，AC__________.
3．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_________；
（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_________．
【综合运用】
1．已知：如图2－4，∠ABC及两点M、N．
求作：点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．
图2－4
2．已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l 上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．
【角】
●角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。

●性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

【用尺规作角平分线】
已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC．
作法：
1．如图1，若OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是（ ） A ．PC ＝PD
B ．O
C ＝O
D C ．∠CPO ＝∠DPO D ．OC ＝PC
图1 图2 图3
2．如图2，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）
A ．mn 31
B ．mn 2
1
C ．mn
D ．2mn
3．已知：如图3，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，沿着过点B 的一条直线BE 折叠ΔABC ，使C 点恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A 的度数等于_____．
4．已知：如图，在ΔABC 中，BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB ，且BD 、CE 交于点O ，过O 作OP ⊥BC 于P ，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ，则OP 、 OM 、ON 的大小关系为_____________．
5．如图，已知∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BD ＝2CD ，若点D 到AB 的距离等于 5cm ，则BC 的长为________cm ． 6．已知：如图，直线AB 及其上一点P ． 求作：直线MN ，使得MN ⊥AB 于P ．
7．已知：如图，△ABC ．
求作：点P ，使得点P 在△ABC 内，且到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．
【综合运用】
1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：DE＝DF．
2．已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．
求证：OB＝OC.
3．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）
4．已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
（1）可选择的地点有几处?
（2）你能画出塔台的位置吗?
5．已知：如图，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD ．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点? 若存在，请找出此点，这样的点有几个? 若不存在，请说明理由．
【轴对称变换及应用】
【例1】一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把2+3=8变成一个真正的等式? ”过了很长时间，
也没有人答出，小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题目。

你知道她是怎样做的吗? (现实与镜中的像关于镜面成轴对称
)
【例2】已知：点A 、B 分别在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA +PB 最短。

【例3】已知点A 、B ，在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。

例2图 例3图
【基础练习】
1．从镜子中看到钟的时间是8点25分，正确的时间应是几点? ( ) A .3点25分 B .3点30分 C .3点35分 D .3点45分 2．小明衣服上的号码在镜子中如图，则小明衣服上的实际号码为 .
3．一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是
，则这辆汽车的牌照号码应为 .
·
4．试分别作出已知图形关于给定直线l的对称图形．
5．如图所示，已知平行四边形ABCD及对角线BD，求作ΔBCD关于直线BD的对称图形．（不要求写作法）
6．如图所示，已知长方形纸片ABCD中，沿着直线EF折叠，求作四边形EFCD关于直线EF的对称图形．（不要求写作法）
7．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植不同的花草，现将这块空地按下列要求分成四块：（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；
（2）四块图形形状相同；
（3）四块图形面积相等，现已有两种不同的分法：
①分别作两条对角线（图①），②过一条边的四等分点作该边的垂线段（图②），（图②中的
两个图形的分割看作同一种方法）．请你按照上述三个要求，分别在图③的三个正方形中，给出另外三种不同的分割方法．（只画图，不写作法）
【综合运用】
1．已知：如图，A、B两点在直线l的同侧，点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于P点，若A'B＝a.
（1）求AP＋PB；
（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：AM＋MB＞AP＋PB．
2．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．
（1）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；
（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大；
（3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．
3．（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；
（2）如图，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q 的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．
4．（1）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；
（2）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．
5．如下图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在图中添一个小正方形，使它成为轴对称图形.。