第2章 平面体系的几何组成分析

第2章 平面体系的机动分析
2-1　概述
2-2　平面体系的计算自由度
2-3　几何不变体系的基本组成规则
2-4 瞬变体系
2-5　机动分析示例
2-6　三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
2-7　几何构造与静定性的关系
1
2-1 概 述
一、 几何不变体系和几何可变体系
　1.几何不变体系——受到荷载等外因作用后，
若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保
持不变的体系。

1
　2. 几何可变体系——在荷载作用下，即使不考
虑材料的弹性变形，也不能保持其几何形状和位置，
而发生机械运动的体系。

1
二、 造成几何可变的原因
　1. 内部构造不健全
（a) 几何不变体系（b) 几何可变体系
1
2. 外部支承不恰当
（a) 几何不变体系（b) 几何可变体系
1
三、机动分析的目的
1. 判别某一体系是否为几何不变，从而决定
它能否作为结构。

2. 区别静定结构、超静定结构，从而选定相
应计算方法。

3. 搞清结构各部分间的相互关系，以决定
合理的计算顺序。

1
§2-2　平面体系的计算自由度
一、 几个基本概念
1. 刚片
　体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一
杆件（或体系中一几何不变部分）均可看为一个
刚体，一个平面刚体称为一个刚片。

1
2. 自由度
　体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称
为该体系的自由度。

1.一个结点在平面内有两个自由度，因为确
定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何
参数x、y。

1
3. 约束
减少自由度的装置称为约束（或联系）。

可
以减少一个自由度的装置是一个约束。

　杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰
支座和固定支座，称为外部约束；杆件之间常
用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。

1
约束的种类分为：
　1）链杆或支杆
★ 一根支杆或一根链杆相当于一个约束
1
2）铰
★ 1个单铰相当于2个约束,减少2个自由度。

1
★连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个单铰，
相当于2(n-1) 个约束。

1
3）刚结
　单刚结—连接两个刚片的刚结
★ 1个单刚结相当于3个约束, 减少3个自由度。

　复刚结—连接两个以上的刚片的刚结
★连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚
结，相当于3(n-1)个约束。

1
4. 必要约束和多余约束
1）必要约束
　在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度
数目将随之变化，则此约束称为必要约束。

　2）多余约束
　在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度
数目并不因此而改变，则此约束称为多余约束。

1
5. 实铰和虚铰
1）实铰
2）虚铰（瞬铰）由不直接相交的两根链杆构
成。

两根链杆的约束作用相当于在链杆交点
处一个简单铰所起的约束作用。

故两根链杆
可以看作为在交点处有一个瞬铰（虚铰）。

1
形成虚铰的两根链杆可以平行、交叉或延
长线交于一点。

★形成虚铰的两根链杆必须连接相同的两个
刚片。

1
相交在∞点
关于∞点的情况需强调几点：
——每一个方向有一个∞点;
——不同方向有不同∞点;
——各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线;
——各有限点都不在∞线上。

1
二、平面体系的计算自由度
1. 体系的实际自由度S与计算自由度W
1）体系的实际自由度S
体系是由对象（刚片或铰结点部件）加上
约束组成的。

令体系的实际自由度为S，各对象的自由
度总和为a，必要约束数为c，则
S ＝a – c
1
S ＝a – c
2）体系的计算自由度W
　将上式中的必要约束数c改为全部约束
数d，则
W ＝ a – d
　只有当体系的全部约束中没有多余约束时，体
系的计算自由度W才等于实际自由度S。

1
3）体系的多余约束数n
n ＝ d – c
4）计算自由度W≤实际自由度S 证明：因为
W ＝a– d = a–c–n = S–n 而n≥0，因此W ＝S–n≤S。

S ＝a – c
W ＝ a – d
1
2. 平面体系的计算自由度
1) 刚片体系的计算自由度
　以刚片为对象，以地基为参照物，其刚片体系
的计算自由度为
W＝3m-(2h+r)
m—刚片数；
h—单铰数；r—与地基之间加入的支杆数
1
注意：
(1)地基是参照物，不计入m中。

(2)计入m的刚片，其内部应无多余约束。

如果
遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多
余约束的刚片，而把它的附加约束在计算体系的“全
部约束数”d时考虑进去。

　图a是内部没有多余约束的刚片，
而图b、c、d则是内部分别有1、
2、3个多余约束的刚片，它们可
以看作在图a的刚片内部分别附加
了一根链杆或一个铰结或一个刚
结。

1
(3)刚片与刚片之间的铰结数目（复铰结应
折算为单铰结数目）计入h。

(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座
不计入h，而应等效代换为三根支杆或两根支
杆计入r。

【例】试求图示体系的计算自由度。

1
【例】 计算图示体系的自由度
W=3×8-(2 ×10+4)=0
AC CDB CE EF CF DF DG FG
3
2
3
1
1
几个单铰？几个刚片？几个支座链杆？
【例】试求图示体系的计算自由度W。

　解：m=6，h=8, r=6
W = 3m-(2h+r) = 3×6-(2×8+6) = -4
1
【例】试求图示体系的计算自由度。

解：m=9，g=4，h=7，r=3
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×4+2×7+3) = -2
1
【例】求图示体系的计算自由度。

解：
m=2 h=1 b=5
A
I II
1
23
45
1
2）铰结链杆体系的计算自由度
将体系看作结点以及链杆组成的体系，其
中结点为被约束对象，链杆为约束。

则计算
自由度公式为：
W=2j-(b+r)
j—结点数；b—链杆数；r—支杆数。

【注意】在计算j时，凡是链杆的端点，都应当
算作结点，而且无论一个铰结点上连接几根链杆，
都只以1计入j中；在计算b和r时，链杆与支杆应
当区别开来，因为链杆是内部约束，而支杆则是
外部约束，二者不可混淆。

1
【例】计算图示体系的自由度
W=3 ×9-(2×12+3)=0按刚片计算33
2
1
1
2
9根杆, 9个刚片有几个单铰？
3根支座链杆
按铰结链杆计算
W=2 ×6-(9+3)=0
【例】试求图示体系的计算自由度。

　解：在该体系中，4、5两处除应算作结点外，
同时还都是固定铰支座。

因此，该体系的铰结数
j=5，链杆数b=4，支杆数r=6。

故得
W = 2j-(b+r) = 2×5-(4+6) = 0
1
【例】 试求图示体系的计算自由度W。

1
3. 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
三种情况：
(1)W>0时，体系缺少必要的约束，具有运动
自由度，为几何可变体系。

S≥W>0，即S>0，体
系几何可变。

1
(2)W=0时，体系具有成为几何不变体系所必
须的最少约束数目，但体系不一定是几何不变的。

S≥W=0，即S ≥ 0，体系几何组成性质不确定。

1
　(3)W<0时，体系有多余约束，但体系也不一定
是几何不变的。

S≥W，但S不可能为负值，即S≥ 0，
体系几何组成性质不确定。

1
　(1) 若W＞0，体系一定是几何可变的。

　(2) 若W≤0，只表明具有几何不变的必要条件，
但不是充分条件。

因为体系是否几何不变还取决
于约束的布置是否合理。

1
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
一、二元体规则（固定一点规则）—— 一
个点与一个刚片的联结
规则I：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相
连，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。

被约束对象：结点A，刚片I
提供的约束：两根链杆1，2
1
由两根不共线的链杆联结(发展)
一个新结点的构造，称为二元体。

于是，规则I也可用二元体的组成表述为：
1
★在一个平面体系上加上（或取消）若干个二元
体，不影响原体系的几何可变性。

这一结论，常为
几何组成分析带来方便。

加上二元体1加上二元体2取消二元体
1
二、两刚片规则—平面内两个刚片的联结方式
规则II（表述之一）：两刚片用一铰和一链杆相连，
且链杆及其延长线不通过铰心，则组成内部几何
不变且无多余约束的体系。

被约束对象：刚片I，II
提供的约束：铰A及链杆1
1
规则II（表述之二）：两个刚片用三根链杆相连，
且三根链杆不全交于一点也不全平行，则组成内部
几何不变且无多余约束的体系。

被约束对象：刚片I，II
提供的约束：链杆1，2，3
1
三、三刚片组成规则
规则III：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不
在一直线上，则组成内部几何不变且无多余约束的
体系。

被约束对象：刚片I，II，III
提供的约束：铰A、B、C
1
刚片I, II——用铰A连接
刚片I, III——用铰B连接
刚片II,III——用铰C连接
1
规则I—二元体规则规则II—两刚片规则
规则III—三刚片规则
u 基本规律：由不共线三铰形成的一个铰结三角形
是几何不变体系且无多余约束。

(三角形规律)
u组成规则，指明了最低限度的约束数目。

1
在对以上三个基本规则内容正确理解的
基础上，可作如下简明小结：
1
1
§2-4 瞬变体系
常变体系—由于约束布置不当，可以持续发生
大的刚体运动的体系，称为几何常变体系。

瞬变体系—只能瞬时绕虚铰产生微小运动的体系，
称为几何瞬变体系。

1
一、两个刚片互相联结
1. 三根链杆常交于一点或平行且等长
——几何常变体系
1
2. 三杆瞬交于一点或平行但不等长
——几何瞬变体系
1
二、 当三个刚片互相联结时
若三个铰链共在一线，则该体系即为几何可变
体系（视约束布置具体情况，可判定其为几何瞬
变体系或几何常变体系）。

1. 若三铰共线，且全是有限远铰，则体系必为几
何瞬变。

1
2. 若三铰共线，且部分或全部是无穷远虚铰，则
体系可能为几何瞬变或几何常变。

1。