导数的应用(2)

点a叫做函数y=f(x)的极大值点. 叫做函数 的极大值点. 叫做函数y=f(x)的极小值点. 点b叫做函数 的极小值点.
回味反思
我行 我能 我要成功 我能成功
观察下列图像，结合定义思考以下问题： 观察下列图像，结合定义思考以下问题： （1）极值是某一点附近的小区间而言 ） 1、极值是局部性质还是整体而言？ 、极值是局部性质还是整体而言？ 是函数的局部性质,不是整体的最值 的,是函数的局部性质 不是整体的最值 是函数的局部性质 不是整体的最值; 2、极值唯一吗？ 、极值唯一吗？ （2）函数的极值不一定唯一 在整个定 ）函数的极值不一定唯一,在整个定 义区间内可能有多个极大值和极小值； 义区间内可能有多个极大值和极小值； 3、极大值与极小值大小关系是否确定？ 、极大值与极小值大小关系是否确定？ （3）极大值与极小值没有必然关系， ）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. 极大值可能比极小值还小 y P(x1,f(x1)) a x1 Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b x y=f(x)
2 3
x
f ′( x)
f (x)
1 (−∞, ) 12
–
1 12 0
1 ( ,+∞) 12 +
单调递减
49 − 24
单调递增
1 49 1 所以, 所以 当 x = 时, f (x)有极小值 f ( ) = − 有极小值 . 12 24 12
练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值
(1) f ( x) = 6x − x − 2; (2) f ( x) = x − 27 x; 3 3 (3) f ( x) = 6 +12x − x ; (4) f ( x) = 3x − x . 解: 列表: (2) 令f ′( x) = 3x2 − 27 = 0, 解得 x1 = 3, x2 = −3.列表
思考： 思考 y f(x) x 0 x 2 函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的 函数值，与它们附近所有各点处 的函数值，比较有什么特点?。
f(0)
f(2)
数学建构 函数极值的定义
我行 我能 我要成功 我能成功
一般地，设函数 附近有定义， 一般地，设函数f(x)在点a、b附近有定义， 在 附近有定义 如果对a附近的所有的点 都有f(x)﹤f (a) ,我们 附近的所有的点,都有 如果对 附近的所有的点 都有 ﹤ 我们 就说f 是函数 是函数f(x)的一个极大值 的一个极大值 就说 (a)是函数 的一个极大值, 记作: 记作 y极大值= f (a)； ； 如果对b附近的所有的点 都有f(x)﹥f (b)， 附近的所有的点,都有 如果对 附近的所有的点 都有 ﹥ ， 我们就说f 是函数 是函数f(x)的一个极小值， 的一个极小值 我们就说 (b)是函数 的一个极小值， 记作: 记作 y极小值=f (b). 极大值与极小值统称为极值 极大值与极小值统称为极值. 极值
(-2,2)
f′(x) f(x)
+
0
极大值f(-2) 极大值
-
2 0
极小值f(2) 极小值
(2,+∞) +
∴ 当x=-2时,y极大值=17/3；当x=2时, y极小值=-5. = =
练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值
(1) f ( x) = 6x − x − 2; (2) f ( x) = x − 27 x; 3 3 (3) f ( x) = 6 +12x − x ; (4) f ( x) = 3x − x . 解: 1 列表: (1) f ′( x) = 12 x −1, 令 f ′( x) = 0, 解得 x = . 列表 12
(1) f ( x) = 6x − x − 2; (2) f ( x) = x − 27 x; 3 3 (3) f ( x) = 6 +12x − x ; (4) f ( x) = 3x − x . 解: ′( x) = 12 − 3x2 = 0, 解得 x1 = 2, x2 = −2. (3) 令f
渐入佳境篇
我行 我能 我要成功 我能成功
y
若寻找可导函数极值点,可否 若寻找可导函数极值点 可否 只由f 只由 ′(x)=0求得即可? 0求得即可?
• 探索 x =0是否为函数 探索: 是否为函数f(x)=x3的极值点 的极值点? 是否为函数
f (x)=x3 )
O
x
f′(x)=3 当f′(x)=0时，x =0， =3x =0时 =0， =3 =0 =0不是该函数的极值点 不是该函数的极值点. 而x =0不是该函数的极值点.
o
数学建构
我行 我能 我要成功 我能成功
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方 看极值与导数之间有什么关系? 法,看极值与导数之间有什么关系 看极值与导数之间有什么关系
y x f(x) x0左侧 x0
f′(x) =0 极大值
x0右侧
f′(x) <0
f′(x) f′(x) >0 增 x0左侧
2
f′(x0) =0
x0 是可导函数 的极值点 是可导函数f(x)的极值点
x0 是函数 是函数f(x)的极值点 的极值点
x0左右侧导数异号
f′(x0) =0
一览众山小
我行 我能 我要成功 我能成功
请思考求可导函数的极值的步骤: 请思考求可导函数的极值的步骤
1.确定函数的定义域，求导数 f ′(x) 确定函数的定义域， 确定函数的定义域 2. 求方程 f ′(x ) =0的根 这些根也称为可能极值点； 的根,这些根也称为可能极值点 的根 这些根也称为可能极值点； 3,检查 f ′(x )在方程 f ′(x )＝0的根的左右两侧的 检查 的根的左右两侧的 符号，确定极值点。 通过列表法 通过列表法) 符号，确定极值点。(通过列表法
我行 我能 我要成功 我能成功
开胃果
我行 我能 我要成功 我能成功
观察下图中的曲线
图（1）
图（2）
1、观察图（1）中 a点的函数值f(a)，比较它与其临近点的函数值！ 2、观察图（2）中 b点的函数值f(b)，比较它与其临近点的函数值！
开胃果
我行 我能 我要成功 我能成功
f ( x ) = 2 x 3 − 6 x 2 + 7 的图象， 2、观察函数 这时的函数值叫 做函数的极值
2 3
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 所以 有极小值 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 . 有极大值
(4) 令f ′( x) = 3 − 3x = 0, 解得 x1 = 1, x2 = −1.
2
所以, 所以 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 有极小值 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 . 有极大值
=0左右侧导数的符号 须判断 f′(x0)=0左右侧导数的符号 =0左右侧导数的符号.
一吐为快篇
我行 我能 我要成功 我能成功
本节课主要学习了哪些内容？ 本节课主要学习了哪些内容？
1、极值的判定方法 、 2、极值的求法 、 注意点： 注意点：
请想一想？ 请想一想？
1、f ′ (x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 是函数取得极值的必要不充分条件
2、数形结合以及函数与方程思想的应用 、 3、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必 、
2 3
x
f ′( x)
(–∞, –3)
–3
(–3, 3) – 单调递减
3 0
( 3, +∞)
+
0
+
单调递增
f (x) 单调递增
54
− 54
所以, 所以 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 有极大值 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 . 有极小值
练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值
学生活动
我行 我能 我要成功 我能成功
函数y=f(x)的导数 '与函数值和极值之间的关系为 D ) 的导数y 与函数值和极值之间的关系为( 函数 的导数 A、导数y'由负变正 则函数 由减变为增 且有极大值 、导数 由负变正,则函数 由减变为增,且有极大值 则函数y由减变为增 B、导数y'由负变正 则函数 由增变为减 且有极大值 、导数 由负变正,则函数 由增变为减,且有极大值 则函数y由增变为减 C、导数y'由正变负 则函数 由增变为减 且有极小值 、导数 由正变负,则函数 由增变为减,且有极小值 则函数y由增变为减 D、导数y'由正变负 则函数 由增变为减 且有极大值 、导数 由正变负,则函数 由增变为减,且有极大值 则函数y由增变为减
小试牛刀篇
我行 我能 我要成功 我能成功
1 3 1 例1：求函数 f(x) =x − 4 x + 的极值 求 3 3 1 3 1 解: ∵ f(x) = x − 4 x +
3
3
又 ∵ f′(x)=x - 4,由f′(x) =0解得 x1=2, 2=-2. 由 解得 =2,x
2
当x变化时 f′(x) 、 f(x)的变化情况如下表： 变化时, 的变化情况如下表： 变化时 的变化情况如下表 x (-∞,-2) ∞,-2
减 x0右侧
f′(x) >0
o a
y
x0
b x x f(x) x0
f′(x) =0 极小值
f′(x) f′(x) <0 o 减 a x0 b x
增
请问如何判断f 是极大值或是极小值？ 请问如何判断 (x0)是极大值或是极小值？ 是极大值或是极小值
导数左正右负为极大，右正左负为极小 左正右负为极大， 左增右减为极大， 函数左增右减为极大，右增左减为极小