第2章 2.1 2.1.2 演绎推理

0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a2＞0”，显然结论错误，原
因是大前提错误．
[答案] A
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3．函数 y＝2x＋5 的图象是一条直线，用三段论表示为： 大前提：___________________________________________； 小前提：___________________________________________； 结论：_____________________________________________.
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演绎推理的综合应用
【例 2】 如图所示，D，E，F 分别是 BC， CA，AB 边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证： DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[思路探究] 用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形 AEDF 为平行四边形，(3)DE＝AF.
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第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理
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学习目标 1．理解演绎推理的含义．(重点)
核心素养
2．掌握演绎推理的模式，会利用 通过演绎推理的学习、提升学生的
三段论进行简单的推理．(重点、 逻辑推理、数学运算素养.
易混点)
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自主预习 探新知
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一、演绎推理 1．定义 根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结 论的过程，叫做 演绎推理 ． 2．特征 当前提为真时，结论 必然为真 ．
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1．将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱 形的对角线互相平分； (2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B 是等腰三角形的两底角， 则∠A＝∠B.
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[解] (1)平行四边形的对角线互相平分，大前提 菱形是平行四边形，小前提 菱形的对角线互相平分．结论 (2)等腰三角形的两底角相等，大前提 ∠A，∠B 是等腰三角形的两底角，小前提 ∠A＝∠B.结论
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1．用“三段论”证明命题的步骤 (1)理清证明命题的一般思路； (2)找出每一个结论得出的原因； (3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来． 2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析 出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结 论．
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2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分 另一底上的两个角．
[证明] 已知在梯形 ABCD 中(如图所示)， AB＝DC＝AD，AC 和 BD 是它的对角线，求证： CA 平分∠BCD，BD 平分∠CBA.
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证明：①等腰三角形的两底角相等， 大前提 △DAC 是等腰三角形，DC＝DA， 小前提 ∠1＝∠2.结论 ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提 ∠1 和∠3 是平行线 AD，BC 被 AC 所截的内错角，小前提 ∠1＝∠3.结论
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当堂达标 固双基
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1．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行 直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝π B．某校高三(1)班有 55 人，(2)班有 54 人，(3)班有 52 人，由此 得出高三所有班级的人数都超过 50 人 C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1－an1－1(n≥2)，通过计算 a2， a3，a4 猜想出 an 的通项公式
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE∥BA 且 DF∥EA，(小前提) 所以四边形 AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) DE 和 AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以 DE＝AF.(结论)
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二、三段论 1．三段论推理 (1)三段论推理是演绎推理的一般模式． (2)三段论的构成： ① 大前提 ：提供一般性原理； ② 小前提：指出一个特殊的对象； ③ 结论 ：结合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊对象之 间的内在联系．
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二、三段论
(3)“三段论”的常用格式 大前提：M 是 P； 小前提：S 是 M； 结论： S是P .
2．在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理 的分类，且必须把所有情况都考虑在内．
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3．求证：n∈N，当 1≤n≤4 时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 能被 36 整除．
[证明] 当 n＝1 时，f(1)＝(2＋7)·3＋9＝36，能被 36 整除； 当 n＝2 时，f(2)＝(2×2＋7)·32＋9＝108＝36×3，能被 36 整除； 当 n＝3 时，f(3)＝(2×3＋7)·33＋9＝360＝36×10，能被 36 整除； 当 n＝4 时，f(4)＝(2×4＋7)·34＋9＝1 224＝36×34，能被 36 整除． 综上，当 1≤n≤4 时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 能被 36 整除.
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5．用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相 等； (2)y＝x2(x∈R)是偶函数．
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[解] (1)因为矩形的对角线相等，大前提 而正方形是矩形，小前提 所以正方形的对角线相等．结论 (2)因为 x∈R，函数 f(x)有 f(－x)＝f(x)，则 f(x)是偶函数，大前 提 而 y＝x2 满足 x∈R，f(－x)＝f(x)，小前提 ∴y＝x2(x∈R)是偶函数．结论
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③等于同一个量的两个量相等， 大前提 ∠2，∠3 都等于∠1，小前提 ∠2 和∠3 相等．结论 即 CA 平分∠BCD. ④同理 BD 平分∠CBA.
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利用完全归纳推理证明问题 [探究问题] 1．演绎推理的结论一定正确吗？ 提示：演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎 推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确． 2．利用完全归纳推理证明方程 ax2＋2x－a＝0 有实根，a 的值应 分哪几种情况？ 提示：分 a＝0 和 a≠0 两种情况．
[答案] 一次函数的图象是一条直线 函数 y＝2x＋5 是一次函数 函数 y＝2x＋5 的图象是一条直线
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4．如图所示，因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AB＝CD，BC＝AD.
又因为△ABC 和△CDA 的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA. 上述推理的两个步骤中分别省略了 ________、________. [答案] 大前提 大前提
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又因为 f(－x)＝ln(－x＋ －x2＋1)
＝ln( x2＋1－x)
＝ln
x2＋1－x x2＋1＋x x2＋1＋x
＝ln x2＋11＋x＝－ln( x2＋1＋x)＝－f(x)．
故 f(x)是奇函数．
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1．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情 况，它不能说明结论的正确性，但完全归纳推理则把所有情况都作了 证明，因此结论一定是正确的．
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[解] (1)一切奇数都不能被 2 整除．(大前提) 75 不能被 2 整除．(小前提) 75 是奇数．(结论) (2)三角形的内角和为 180°.(大前提) Rt△ABC 是三角形．(小前提) Rt△ABC 的内角和为 180°.(结论)
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(3)数列{an}中，如果当 n≥2 时，an－an－1 为常数，则{an}为等差 数列．(大前提)
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3．下列几种推理过程是演绎推理的是______(填序号)． ①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导 电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④ 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
[解析] ①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．
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【例 3】 试证明函数 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)的定义域为 R，并判 断其奇偶性．
[思路探究] 只须对 x>0，x＝0，x<0 分别说明对数的真数均大 于 0 即可．
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[解] 当 x>0 时，x＋ x2＋1>0 显然成立； 当 x＝0 时，x＋ x2＋1＝1>0 成立； 当 x<0 时， x2＋1> x2＝|x|＝－x， 所以 x＋ x2＋1>x＋(－x)＝0. 因此对 x∈R，都有 x＋ x2＋1>0，即函数的定义域为 R.
通项公式 an＝3n＋2，n≥2 时， an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提) 通项公式为 an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
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把演绎推理写成“三段论”的一般方法 1．用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段 论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两 个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系． 2．在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结 论成立的充分条件作为大前提．
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[答案] ①
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合作探究 提素养
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把演绎推理写成三段论的形式
【例 1】 将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)一切奇数都不能被 2 整除，75 不能被 2 整除，所以 75 是奇数； (2)三角形的内角和为 180°，Rt△ABC 的内角和为 180°； (3)通项公式为 an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
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二、三段论 2．演绎推理的常见模式 (1)三段论推理 (2)传递性关系推理 用符号表示推理规则是“如果 aRb，bRc，则 aRc ”， 其中“R”表示具有传递性的关系． (3)完全归纳推理 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“三段论”就是演绎推理． (2)演绎推理的结论是一定正确的． (3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．
[答案] (1)× (2)× (3)×
() () ()
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2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝ sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误 的．
[解析] f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误． [答案] 小前提
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[解析] A 是演绎推理，B，D 是归纳推理，C 是类比推理． [答案] A
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2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于 0，因为 a 是实
数，所以 a2＞0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．是正确的
[解析] 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于