第八讲 格点和面积

A12标准奥数教程
格点和面积
【知识点与基本方法】
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。

见右图：
这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。

借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。

利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1
【典型例题】
例1：计算下列各图的面积。

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分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。

解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。

(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。

（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。

（4）图中三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3个面积单位。

（5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。

合起来有6个面积单位。

所以它的面积为6个面积单位。

（6）将图中梯形互相平行的一组对边延长，补出一个与原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。

长方形面积为（2+4）×3=18，而梯形的面积为长方形面积的一半，所以梯形的面积是（2+4）×3÷2=9（个）面积单位。

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【随堂练习】
1.求格点多边形的面积（如图1）。

2.求格点多边形的面积（如图2）。

图1 图2
例2：计算下列这个格点多边形的面积。

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分析:这是一个不规则多边形，不能直接求出它的面积，可用长方形的面积减去4个直角三角形的面积，如图1；另外还可以将该四边形分成几块，如图2.
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··········
··········
【随堂练习】
1.求格点多变形的面积（图3）。

2．求格点多边形的面积（图4）。

图3 图4
例3：相邻四点连成的小正方形面积是1平方厘米。

分别连接各点，组成下列12个图形，你发现有什么排列规律？
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①②③④
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⑤⑥⑦⑧
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⑨⑩⑾⑿
分析：横看，从左到右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数保持不变。

竖看，从上往下图形一周的格点数保持不变，中间的格点数逐渐增多。

图形一周的格点数，中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有格点，中间
有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。

第一组 中间没有格点时，面积＝一周格点数÷２－１
第二组 中间有一个格点时，面积＝１＋一周格点数÷２－１
第三组 中间有２个格点时，面积＝２＋一周格点数÷２－１
解：（１）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积随着中间的格点数增加而增加。

（２）各图形面积（见上表）的大小与一周的格点数，中间的格点数都有关系，格点图形面积的计算公式是：图形的面积＝中间格点数＋图形一周的格点数÷２－１ 【随堂练习】
1.通过割补图形求格点多边形的面积（图5）。

2.通过割补法求格点多边形的面积（图6）。

3.利用格点多边形面积公式计算，结果一样吗？
图5 图6
例4：下图中的每一个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积。

分析：内部格点数为9个，周界上格点数为8个， 根据格点面积公式可求出阴影部分的面积为： 解：4×（9＋8÷2﹣1）=48（平方厘米） 【随堂练习】
1.求格点图形面积（图7）。

2.求格点图形面积（图8）。

例5：在下面图中有21个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC的面积。

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A •• A •I •
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••••B ••••C
••••••Ⅱ••Ⅲ••
•B••••••B•••••
（图1）（图2）
分析：方法一：内部格点数为4个，周界上格点数为4个，三角形ABC的面积是：
2×(4＋4÷2－1)=10（单位面积）
方法二：如图2，给三角形ABC添加Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分小的三角形，则得到由25个单位三角形形成的大三角形，现在只要求出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个三角形的面积即可。

而三角形Ⅰ是一个平行四边形面积的一半，即6÷2=3，同理三角形Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4和8。

所以，三角形面积为：
25-3-4-8=10 （单位面积）
【随堂练习】
1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成
的面积（图
的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC
9）.
2.右图中有21个点，其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成
的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的
面积.
（图9）（图10）例6：下图中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积是1，试计算四边形的面积。

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分析：方法一：这个四边形格点的一周共有4个格点，中间共有5个格点，所以得出：
2×（5＋4÷2－1）=12（面积单位）
方法二：加一条对角辅助线，（如上图），将四边形分成2个三角形，左上角面积是4×1=4，右下角三角形面积为4×2=8，所以四边形面积为：4+8=12（面积单位）
【随堂练习】
1.计算下图三角形格点中多边形的面积（图11）。

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（图11）（图12）
2.（如图12），把等边三角形ABC 每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12
cm ,试求图中三角形DEF 的面积.
例7：如下图中小猫图的面积是多少？
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分析：将小猫图分为左右两部分，头和身子的部分（可直接计算）是10，尾部部分是一平行四边形，它的面积与一个单位面积相同，所以小猫图的面积是11. 【随堂练习】
1.右图中（如图13）每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占
的面积是多少? 2. 右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH
的面积.
（图14） （图13）
例8:你知道下图中共有多少个三角形吗？每个三角形的面积各是多少？
分析：图中共有8个三角形，每个三角形面积分别为
三角形ADE 、BED 的面积为4×3÷2=6 三角形ADC 、BCD 的面积为4×4÷2=8 三角形ACE 、BCE 的面积为6＋8=14 三角形ADB 的面积为6×2=12 三角形ABC 的面积为14×2=28 【随堂练习】
1. 右图(图14)是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD 的面积.
2. 右图(图15)中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?
（图形见下页）
(图14) （图15）
【课后练习】
1.计算下例题各多边形的面积（点与点之间的距离都是1厘米）
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2.求下列图形的面积。

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3.求下列图中三角形的面积。

A
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▪▪▪▪▪▪▪ C
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B ▪▪▪▪▪▪▪
4.下面的图形面积是。

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5.下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。

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6.计算下列三角形的格点的面积。

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7.下图中有21个点，其中相邻的三点组成的等边三角形的面积是1，试求下图的面积。

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8.在下图中，如果点和点之间的距离是1厘米，如果将适当的三个点连起来得到一个三角形，在这些三角形中，面积是2平方厘米的三角形有多少个？
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9.在下图中含有多少个格点正方形？
••••（10题图）
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10..右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,
求阴影部分的面积. （11题图）
11.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积
是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).
12. 右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都
等于1个长度单位).
（12题图）(13题图) （14题图）
13.如图右上角是一个5 5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,
所用图形的面积1是多少平方厘米？
14. 把大正三角形每边八等份,组成如右上角图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗
线所围成的三角形的面积.
15.将图中的图形分割成面积相等的三块.
（15题图）。