安徽省合肥市第一六八中学高三数学上学期第四次段考试题文

合肥一六八中学2016届高三第四次段考（文数）试卷
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

共60分． 1．已知集合A={2|450x x x --<}，B={|24x x <<}，则A
B=
A ．(1，3)
B ．(1，4)
C ．(2，3)
D ．(2，4)
2．已知向量a =(1，2)，b =(0，1)，c =(-2，k)，若(a +2b )//c ，则k= A ．-8 B ．12-
C ．1
2
D ．8 3
．若sin 10
α=-α为第四象限角，则tan α的值等于 A ．
13 B ．1
3
- C ．3 D ．-3 4．下列说法正确的是
A ．命题“若2
1x =，则1x =”的否命题为：“若2
1x =，则x ≠1” B ．若命题p ：x ∃∈R ，x 2
-x +1<0，则命题⌝P ：x ∀∈R ，x 2
-x +1>0
C ．命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题
D ．“2
560x x --=”的必要不充分条件是“1x =-” 5．曲线2
x
y x =
-在点（1，-1）处的切线方程为 A ．y =x -2 B ．y =-2x +3 C ．y =2x -3 D ．y =-2x +1
6．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S A ．
5
2
B ．5
C ．7
D ．9 7．函数ln ||
||
x x y x =
的图象是
8. 已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤--≥-,02,063,0y x y x y x 则y x +2的最小值是（ ）.
A.9
B.4
C.3
D.2
9．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-(m 为实数)为偶函数，记a =f (2-3
)，b =f (3m
)，
c =f (log 0.53)，则
A ．a<b<c
B ．a<c<b
C ．c<a<b
D ．c<b<a
10．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当-1≤x <1时，
3()f x x =，若函数()()log ||a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是
A ．1(0,](5,)5
+∞ B ． 1(0,)[5,)5+∞C ．11(,](5,7)75 D ．11
(,)[5,7)
75
11．定义在(0,
)2
π
上的函数()f x ，'()f x 是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x >⋅成立。

则( )
A
()()63f ππ< B ． )1(1cos 2)6
(3f f ⋅>⋅π
C
()2()64f ππ> D
()()43
f ππ
>
12．设函数32
()32t h x tx t =-，若有且仅有一个正实数0x ，使得700()()t h x h x ≥对任意的正数t 都成立，则0x =（ ）
A ．5 B
．
D ．
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．
13．已知12
33,3
()log (6),3
x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩
，则(f f 的值为 ． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．已知
，
， 则cosA= ．
15．函数log (3)1(0a y x a =+->
且1)a ≠ 的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny ++=,上，其中0mn >，则
11
m n
+的最小值为_______ 16．设x x f ln )(=，若函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）ABC ∆中,角,,A B C 所对边分别是a 、b 、c ,且
31cos =
A .
（1）求A C
B 2cos 2sin 2
++的值; （2）若3=a ,求ABC ∆面积的最大值.
18．(本小题满分12分)若数列{n a }中，1111
,33n n n a a a n
++==． (1)证明：{
n
a n
}是等比数列，并求{n a }的通项公式； (2)若{n a }的前n 项和为n S ，求证3
4
n S <．
19．(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上的动点，PA 垂直于圆O
所在的平面ABC
(1) 证明：平面PAC 丄平面PBC ；
20、（本小题满分12分）已知函数()2
1ln 22
f x ax x =--，R a ∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率；
(2)讨论函数()f x 的单调性；
(3)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．
21. （本小题满分12分） 已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=23
12ln 23
(1)若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；
(2)若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；
(3)当21-=a 时，方程()()x
b x x f +-=
-3113
有实根，求实数b 的最大值.
选做题：请考生从第22、23题中任选一题做答， 22．（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程。

设直线的参数方程为⎩⎨
⎧=+=t y t
x 22（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴
为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=θθ
2
sin cos 8．
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线与曲线C 交于A 、B 两点，求AB
．
23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。

已知函数
()2,,(2)0
f x m x m R f x =--∈+≥的解集为
[]2,2-．
（1）求m 的值；
（2）若R x ∈∀，
23
()212f x x t t
≥---+恒成立，求实数的取值范围．
合肥一六八中学2016届高三第四次段考（文数）试卷
1-6 DABCDB 7—12 BCAA AD
13，，3+2，【ln4/4，1/e 】
17.解:(1)A C B A C B 2cos )]cos(1[21
2cos 2sin 2++-=++ 1cos 2cos 21212-++=A A 9
1
219123121-=-⋅+⋅= (6)
分
(2)
由
余
弦
定
理
得:bc b bc bc c b A bc c b a 3432232cos 2)3(222222=-≥-+=⋅-+==.∴4
9≤bc 当
且
仅
当
2
3
=
=c b 时,
bc
有
最
大
值
4
9，
()1cos ,0,,sin 3A A A π=∈===
∴
()
max
119sin 224ABC S
bc A ==⋅=………12分
21.（I ）当1=a 时，01
)(>-
='x x
x x f ， 0)1(='=∴f k 所以曲线y=f (x)在点))1(1(f ，处的切线的斜率为0. ………………………3分
(II)01
1)(2>-=-='x x
ax x ax x f ， …………………………………………4分
① 当)0()(,0)(0∞+<'≤，
在时，x f x f a 上单调递减； ………………………6分 ② 当a
a
x x f a =
='>解得时，令,0)(0. 0)()(0)()0(>'∞+∈<'∈x f a
a
x x f a a x 时，，；当时，，当.
内单调递增，内单调递减；在，在函数)()0()(∞+∴a
a
a a x f ………………8分
（III ）当0时，a ≤由（2）可知()0,()在(0，)f x f x '<+∞上单调递减，函数)(x f 不可能有两个零点； ………………………10分
当a>0时，由（2）得，()(0)f x +∞函数在内单调递减，在内单调递增，
且当x 趋近于0和正无穷大时，)(x f 都趋近于正无穷大，故若要使函数)(x f 有两个零点；
则)(x f 的极小值0f <，即11ln -2022a +<，解得30e a <<
所以a 的取值范围是)0(3
e ， ………………………………14分
21. （本小题满分1２分）
解：（I ）()()()[]
1
22441222122222
++--+=--++='ax a x a ax x a x x ax a x f
因为2=x 为()x f 的极值点，所以()02='f ，即021
42=-+a a a
，解得0=a 。

……4分
（II ）因为函数()x f 在[)+∞,3上为增函数，所以
()()()[]
01
22
441222≥++--+='ax a x a ax x x f 在[)+∞,3上恒成立。

………6 分
①当0=a 时，()()02≥-='x x x f 在[)+∞,3上恒成立，所以()x f 在[)+∞,3上为增函数，故0=a 符合题意。

… ……7分
②当0≠a 时，由函数()x f 的定义域可知，必须有012>+ax 对3≥x 恒成立，故只能
0>a ，所以()()
02441222≥+--+a x a ax 在[)+∞,3上恒成立。

………8分
令函数()()()
2441222+--+=a x a ax x g ，其对称轴为a
x 41
1-
=，因为0>a ，所以141
1<-
a
，要使()0≥x g 在[)+∞,3上恒成立，只要()03≥g 即可，即()016432≥++-=a a g ，所以
4
13
34133+≤
≤-a 。

因为0>a ，所以4
13
30+≤
<a 。

综上所述，a 的取值范围为⎡⎢⎣⎦。

………10分
（Ⅲ）当21-=a 时，方程()()x
b x x f +-=
-3113
可化为()()x b x x x =-+--11ln 2。

问题转化为()()322
ln 11ln x x x x x x x x x x b -+=-+--=在()+∞,0上有解，即求函数
()32ln x x x x x g -+=的值域。

因为函数()3
2
ln x x x x x g -+=，令函数()()0ln 2
>-+=x x x x x h ，………12分
则()()()x
x x x x x h -+=-+=
'112211
， 所以当10<<x 时，()0>'x h ，从而函数()x h 在()1,0上为增函数，
当1>x 时，()0<'x h ，从而函数()x h 在()+∞,1上为减函数，因此()()01=≤h x h 。

而0>x ，所以()0≤⋅=x h x b ，因此当1=x 时，b 取得最大值0. ………15分
22．解：（1）由28cos sin θρθ
=
得θθρcos 8sin 2=，∴θρθρcos 8sin 2
2= 又
cos ,sin x y ρθρθ==
∴x y 82
= … 2分 ∴ 曲线C 表示顶点在原点，焦点()2,0在x 轴上的抛物
线. …… 4分
（2）22x t y t =+⎧⎨=⎩化
为2x y ⎧=+⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩
代入x y 82
=得020522=--t t ，
20522121-==+t t t t ，
B
A ,两
点
分
别
对
应
2
1t t ，， ∴
10
)20(4)52(4)(22121212=-⨯-=-+=-=t t t t t t AB ……10分
（或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可）
23、解：(1)因为(2)f x m x ＋＝－，所以(2)0f x ≥＋等价于x m ≤，由x m ≤有解，得
0m ≥，且其解集为{|}x m x m ≤≤－．又(2)0f x ≥＋的解集为[2,2]－，故2m ＝. 5
分
(2) 23()212f x x t t ≥---+
等价于不等式23
21222
x x t t ---≥-+-， 记()212g x x x =---，则11,21()33,221,2x x g x x x x x ⎧
--≤⎪⎪
⎪
=-<<⎨⎪
+≥⎪⎪⎩
， …… 8分
故min 13()()22g x g ==-
，则有233222t t -≥-+-，即22310t t -+≥，解得1
2
t ≤或1t ≥ 即实数的取值范围[)1,1,2
⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝
⎦
……10分。