3.4习题分析
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问题向垂直关系转化，如等腰三角形底边上的高与底边垂直， 圆的直径所对的圆周角为直角，点关于直线对称时的垂直关
系等，都是向垂直转化的依据，此类问题均可间接利用垂直
关系解决.
x 2 y2 【例3】已知直线x+y-1=0与椭圆 ＝1(a＞b＞0) 相交于A、 a 2 b2 B两点，线段AB的中点M在直线l：y 1 x 上. 2
(1)方法：①用直线的斜率之积为-1表示垂直关系.
②利用线段所在的向量之积为0表示垂直关系，这两种方法的 共同特点是可将垂直关系转化为相关点的坐标关系，从而利 用坐标关系解题.其中利用向量积为0更具一般性，而利用斜 率时一般要讨论斜率不存在的情况.
(2)转化思想的应用.题目中若未直接给出垂直关系，则要将
3 2
这两条公路的总费用最低是(
(A) (2 7 2)a万元
)
(B)5a万元
(C) (2 7 1)a万元
(D) (2 3 3)a万元
【审题指导】由题意首先确定PQ在以B为焦点的双曲线一支上， 这是解题的前提，总费用可表示为a(|MB|+2|MC|)，因此求出 |MB|+2|MC|的最小值是解题的关键. 【规范解答】选B.如图所示，以AB所在直线为x轴. AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，过M作MD⊥l，垂足 为D，过C作CD1⊥l，垂足为D1，交PQ于点M1，
1 1且m＞0. m 1, 又m 5, m
∴m∈［1,5)∪(5,+∞),故选C.
3.设θ 是三角形的一个内角，且sinθ +cosθ = 1 , 则方程
x y 1 所表示的曲线是( sin cos
2 2
5
)
(A)焦点在x轴上的双曲线 (C)焦点在x轴上的椭圆
5
(B)焦点在y轴上的双曲线 (D)焦点在y轴上的椭圆
【解析】设y=2x+b与x2=y相切， 则由Δ＝0得b=-1.故可得切点(1，1). 所以 5 2 1 m ，
5
得m=-6或m=4(不合题意，舍去). 答案：-6
9 5.已知一动点P与点F(5，0)和定直线l：x 的距离比等于 , 5
百度文库
5 3
点A(9,2)，试在动点P的曲线上求一点M，使 MA 3 | MF |
样的直线应有两条.
x 2 y2 2.已知k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆 ＝ 恒有公共点，则 1 5 m
实数m的取值范围是( (A)(0，1) (C)[1，5)∪(5,+∞)
) (B)(0，5) (D)[1,5)
【解析】选C.直线恒过点(0，1)，当且仅当点(0，1)在椭圆
上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.
其中lab现在要在pq上选一处m建一座码头向bc两地转运货物经测算从m到bm到c修建公路的费用分别为a万元km2a万元km那么修建这两条公路的总费用最低是审题指导由题意首先确定pq在以b为焦点的双曲线一支上这是解题的前提总费用可表示为amb2mc因此求出mb2mc的最小值是解题的关键
3.4习题分析
练习：
|MA|+d=|MA|+|MN|≥|AB|,
36 ∴点M的坐标为 ( 3 5 ， 时，最小值为 . 2)
2
5
例题：
圆锥曲线的共同特征及其应用
1.关于圆锥曲线共同特征的几点认识 (1)从方程的形式来看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程
(包括圆)f(x,y)=0都是二元二次方程，所以统称为二次曲线.
(1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求 椭圆的方程.
【审题指导】本题涉及中点对称问题，解(1)可先表示出点M
的坐标然后代入直线l的方程，即可求出椭圆的离心率.(2)可
先求出右焦点，并求出其关于l的对称点后，代入圆的方程可
求出椭圆方程.
【规范解答】(1)设A，B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，
5
的值最小，并求出这个最小值. 【解析】设P(x,y)， 则 x 5
2
y2
9 |x | 5 x 整理得： 2 y2 1. 9 16
5 , 3
如图所示：分别过M、A作l的垂线，
垂足分别为N、B，
设M到直线l的距离为d. 则
MF 5 5 , MF d. d 3 3 3 MA MF MA d. 5
线、双曲线又统称为圆锥曲线.
2.圆锥曲线共同特征的应用
设F为圆锥曲线的焦点，A为曲线上任意一点，d为点A到定直
线的距离，由
AF AF ＝e 变形可得 d . 由这个变形可以实现 d e
由|AF|到d的转化，借助d则可以解决一些最值问题.
【例1】如图，B点在A地正东方向4 km处，C在B处的北偏东 30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到B的距离 与到直线l的距离比为2.其中l⊥AB, BK ＝ ，现在要在PQ上选 一处M建一座码头，向B、C两地转运货物，经测算，从M到B， M到C修建公路的费用分别为a万元/km,2a万元/km，那么修建
【规范解答】(1)由题意得直线l的方程为：y=x-1，
x2 y2 1 由 2 , 得： 2 4x 0. 3x y x 1
设M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2= 4 ,x1x2=0,
3
MN 1 1 | x1 x 2 | 1 1
2
2k 2 2 k 2 0, 2 2 1 2k 1 2k
解得 k 2, ∴直线l的方程为 y 2 x 1 .
与中点、垂直相关的问题
1.关于中点问题的几点认识 (1)若题目条件中含有中点，则隐含了直线与圆锥曲线的位置 关系是相交，直线与圆锥曲线联立，消元后的一元二次方程Δ 应大于0，一般用来限制参数的取值范围.
∴a2=2b2=2(a2-c2). ∴a2=2c2,
c 2 e . a 2
(2)由(1)知b=c，设椭圆右焦点F(b,0)关于直线l： 1 x 的对称 y
2
点为(x0,y0).
y0 0 1 3 1 x b 2 x b 0 0 5 由 , 解得 . y 0 1 x 0 b y 4 b 0 5 2 2 2 ∵x02+y02=1, ( 3 b) 2 ( 4 b) 2 1. 5 5 2 2=1.∴所求椭圆的方程为 x ∴b y 2 1. 2
(2)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与一个 定点和一条定直线的距离的比是常数e的点的集合(或轨迹)， 只是当0＜e＜1时为椭圆，当e=1时为抛物线，当e＞1时为双 曲线.
(3)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面 截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物
(2)解题过程中交点P(x1,y1),Q(x2,y2)与中点M(x0,y0)的关系
x x2 x0 1 2 ， 是 然后根据根与系数的关系， y y1 y 2 0 2
求x1+x2或y1+y2,再利用直线的方程求y1+y2或x1+x2，从而构造
中点坐标.
2.关于垂直问题的解题策略
x y 1 0 2 2 2 2 2 2 2 由 x 2 y2 ， 得(a +b )x -2a x+a -a b =0. a 2 b2 1 2a 2 x1 x 2 2 , 2 a b 2b 2 y1 y 2 x1 x 2 2 2 . 2 a b a2 b2 ∴点M的坐标为 ( 2 2 , 2 2 ). a b a b a2 2b 2 又点M在直线l上， 2 2 2 2 0. a b a b
则A(-2，0)，B(2，0)，l： . x
设PQ上任意一点M(x,y)(x＞0),
MB 2. 则 MD
1 2
x 2 y2 y2 即 2, 整理得： 2 x 1 x＞0 . 1 3 |x | 2
2
∴|MB|=2|MD|.
∴总费用a(|MB|+2|MC|) =a(2|MD|+2|MC|)=2a(|MD|+|MC|)
直线l过右焦点F，与椭圆交于M、N两点.
(1)当直线l的倾斜角为 时，求线段|MN|的长度. 4
(2)当以线段MN为直径的圆过原点时，求直线l的方程.
【审题指导】本题涉及直线与椭圆相交时弦长的问题，解答
(1)可利用弦长公式求弦长|MN|,解答(2)可利用OM⊥ON构造条 件求k,从而求出l的方程.
【解析】选A. sin cos 1 ,
1 2sincos
2
∵ <θ<π.∴sinθ>0,cosθ<0,
1 24 , 2sincos 0， 25 25
∴方程表示焦点在x轴上的双曲线.
4.抛物线x2=y上的点到直线y=2x+m的最短距离为 5 ，则
m＝
.
1.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点, 它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( (A)有且仅有一条 (C)有无穷多条 )
(B)有且仅有两条 (D)不存在
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则由抛物线的定义可得
|AB|＝x1+x2+p=5+2=7＞2p=4.所以直线AB与x轴不垂直，故这
∴当|MD|+|MC|最小时总费用最低.
∴当M位于M1处时，|MD|+|MC|最小为 CD1 5 ，
2
此时总费用最低为5a，故选B.
直线与圆锥曲线的位置关系
关于直线与圆锥曲线的位置关系的几点认识：
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2+bx+c=0.
x2 【例2】(2011·张家界高二检测)已知椭圆C的方程是 y 2 1， 2
x1 x 2 4x1x 2
2
4 2 . 3
(2)由题意知直线l斜率存在，设直线l：y=k(x-1),
y k(x 1) 由 x2 , 得： 2k 2 x 2 4k 2 x 2k 2 2 0. 1 2 y 1 2
4k 2 2k 2 2 x1 x 2 , x1 x 2 . 2 2 1 2k 1 2k k 2 y1 y 2 k x1x 2 x1 x 2 1 1 2k 2 . 由题意得 OMON 0， 1x2+y1y2=0. 即x
系等，都是向垂直转化的依据，此类问题均可间接利用垂直
关系解决.
x 2 y2 【例3】已知直线x+y-1=0与椭圆 ＝1(a＞b＞0) 相交于A、 a 2 b2 B两点，线段AB的中点M在直线l：y 1 x 上. 2
(1)方法：①用直线的斜率之积为-1表示垂直关系.
②利用线段所在的向量之积为0表示垂直关系，这两种方法的 共同特点是可将垂直关系转化为相关点的坐标关系，从而利 用坐标关系解题.其中利用向量积为0更具一般性，而利用斜 率时一般要讨论斜率不存在的情况.
(2)转化思想的应用.题目中若未直接给出垂直关系，则要将
3 2
这两条公路的总费用最低是(
(A) (2 7 2)a万元
)
(B)5a万元
(C) (2 7 1)a万元
(D) (2 3 3)a万元
【审题指导】由题意首先确定PQ在以B为焦点的双曲线一支上， 这是解题的前提，总费用可表示为a(|MB|+2|MC|)，因此求出 |MB|+2|MC|的最小值是解题的关键. 【规范解答】选B.如图所示，以AB所在直线为x轴. AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，过M作MD⊥l，垂足 为D，过C作CD1⊥l，垂足为D1，交PQ于点M1，
1 1且m＞0. m 1, 又m 5, m
∴m∈［1,5)∪(5,+∞),故选C.
3.设θ 是三角形的一个内角，且sinθ +cosθ = 1 , 则方程
x y 1 所表示的曲线是( sin cos
2 2
5
)
(A)焦点在x轴上的双曲线 (C)焦点在x轴上的椭圆
5
(B)焦点在y轴上的双曲线 (D)焦点在y轴上的椭圆
【解析】设y=2x+b与x2=y相切， 则由Δ＝0得b=-1.故可得切点(1，1). 所以 5 2 1 m ，
5
得m=-6或m=4(不合题意，舍去). 答案：-6
9 5.已知一动点P与点F(5，0)和定直线l：x 的距离比等于 , 5
百度文库
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点A(9,2)，试在动点P的曲线上求一点M，使 MA 3 | MF |
样的直线应有两条.
x 2 y2 2.已知k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆 ＝ 恒有公共点，则 1 5 m
实数m的取值范围是( (A)(0，1) (C)[1，5)∪(5,+∞)
) (B)(0，5) (D)[1,5)
【解析】选C.直线恒过点(0，1)，当且仅当点(0，1)在椭圆
上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.
其中lab现在要在pq上选一处m建一座码头向bc两地转运货物经测算从m到bm到c修建公路的费用分别为a万元km2a万元km那么修建这两条公路的总费用最低是审题指导由题意首先确定pq在以b为焦点的双曲线一支上这是解题的前提总费用可表示为amb2mc因此求出mb2mc的最小值是解题的关键
3.4习题分析
练习：
|MA|+d=|MA|+|MN|≥|AB|,
36 ∴点M的坐标为 ( 3 5 ， 时，最小值为 . 2)
2
5
例题：
圆锥曲线的共同特征及其应用
1.关于圆锥曲线共同特征的几点认识 (1)从方程的形式来看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程
(包括圆)f(x,y)=0都是二元二次方程，所以统称为二次曲线.
(1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求 椭圆的方程.
【审题指导】本题涉及中点对称问题，解(1)可先表示出点M
的坐标然后代入直线l的方程，即可求出椭圆的离心率.(2)可
先求出右焦点，并求出其关于l的对称点后，代入圆的方程可
求出椭圆方程.
【规范解答】(1)设A，B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，
5
的值最小，并求出这个最小值. 【解析】设P(x,y)， 则 x 5
2
y2
9 |x | 5 x 整理得： 2 y2 1. 9 16
5 , 3
如图所示：分别过M、A作l的垂线，
垂足分别为N、B，
设M到直线l的距离为d. 则
MF 5 5 , MF d. d 3 3 3 MA MF MA d. 5
线、双曲线又统称为圆锥曲线.
2.圆锥曲线共同特征的应用
设F为圆锥曲线的焦点，A为曲线上任意一点，d为点A到定直
线的距离，由
AF AF ＝e 变形可得 d . 由这个变形可以实现 d e
由|AF|到d的转化，借助d则可以解决一些最值问题.
【例1】如图，B点在A地正东方向4 km处，C在B处的北偏东 30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到B的距离 与到直线l的距离比为2.其中l⊥AB, BK ＝ ，现在要在PQ上选 一处M建一座码头，向B、C两地转运货物，经测算，从M到B， M到C修建公路的费用分别为a万元/km,2a万元/km，那么修建
【规范解答】(1)由题意得直线l的方程为：y=x-1，
x2 y2 1 由 2 , 得： 2 4x 0. 3x y x 1
设M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2= 4 ,x1x2=0,
3
MN 1 1 | x1 x 2 | 1 1
2
2k 2 2 k 2 0, 2 2 1 2k 1 2k
解得 k 2, ∴直线l的方程为 y 2 x 1 .
与中点、垂直相关的问题
1.关于中点问题的几点认识 (1)若题目条件中含有中点，则隐含了直线与圆锥曲线的位置 关系是相交，直线与圆锥曲线联立，消元后的一元二次方程Δ 应大于0，一般用来限制参数的取值范围.
∴a2=2b2=2(a2-c2). ∴a2=2c2,
c 2 e . a 2
(2)由(1)知b=c，设椭圆右焦点F(b,0)关于直线l： 1 x 的对称 y
2
点为(x0,y0).
y0 0 1 3 1 x b 2 x b 0 0 5 由 , 解得 . y 0 1 x 0 b y 4 b 0 5 2 2 2 ∵x02+y02=1, ( 3 b) 2 ( 4 b) 2 1. 5 5 2 2=1.∴所求椭圆的方程为 x ∴b y 2 1. 2
(2)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与一个 定点和一条定直线的距离的比是常数e的点的集合(或轨迹)， 只是当0＜e＜1时为椭圆，当e=1时为抛物线，当e＞1时为双 曲线.
(3)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面 截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物
(2)解题过程中交点P(x1,y1),Q(x2,y2)与中点M(x0,y0)的关系
x x2 x0 1 2 ， 是 然后根据根与系数的关系， y y1 y 2 0 2
求x1+x2或y1+y2,再利用直线的方程求y1+y2或x1+x2，从而构造
中点坐标.
2.关于垂直问题的解题策略
x y 1 0 2 2 2 2 2 2 2 由 x 2 y2 ， 得(a +b )x -2a x+a -a b =0. a 2 b2 1 2a 2 x1 x 2 2 , 2 a b 2b 2 y1 y 2 x1 x 2 2 2 . 2 a b a2 b2 ∴点M的坐标为 ( 2 2 , 2 2 ). a b a b a2 2b 2 又点M在直线l上， 2 2 2 2 0. a b a b
则A(-2，0)，B(2，0)，l： . x
设PQ上任意一点M(x,y)(x＞0),
MB 2. 则 MD
1 2
x 2 y2 y2 即 2, 整理得： 2 x 1 x＞0 . 1 3 |x | 2
2
∴|MB|=2|MD|.
∴总费用a(|MB|+2|MC|) =a(2|MD|+2|MC|)=2a(|MD|+|MC|)
直线l过右焦点F，与椭圆交于M、N两点.
(1)当直线l的倾斜角为 时，求线段|MN|的长度. 4
(2)当以线段MN为直径的圆过原点时，求直线l的方程.
【审题指导】本题涉及直线与椭圆相交时弦长的问题，解答
(1)可利用弦长公式求弦长|MN|,解答(2)可利用OM⊥ON构造条 件求k,从而求出l的方程.
【解析】选A. sin cos 1 ,
1 2sincos
2
∵ <θ<π.∴sinθ>0,cosθ<0,
1 24 , 2sincos 0， 25 25
∴方程表示焦点在x轴上的双曲线.
4.抛物线x2=y上的点到直线y=2x+m的最短距离为 5 ，则
m＝
.
1.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点, 它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( (A)有且仅有一条 (C)有无穷多条 )
(B)有且仅有两条 (D)不存在
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则由抛物线的定义可得
|AB|＝x1+x2+p=5+2=7＞2p=4.所以直线AB与x轴不垂直，故这
∴当|MD|+|MC|最小时总费用最低.
∴当M位于M1处时，|MD|+|MC|最小为 CD1 5 ，
2
此时总费用最低为5a，故选B.
直线与圆锥曲线的位置关系
关于直线与圆锥曲线的位置关系的几点认识：
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2+bx+c=0.
x2 【例2】(2011·张家界高二检测)已知椭圆C的方程是 y 2 1， 2
x1 x 2 4x1x 2
2
4 2 . 3
(2)由题意知直线l斜率存在，设直线l：y=k(x-1),
y k(x 1) 由 x2 , 得： 2k 2 x 2 4k 2 x 2k 2 2 0. 1 2 y 1 2
4k 2 2k 2 2 x1 x 2 , x1 x 2 . 2 2 1 2k 1 2k k 2 y1 y 2 k x1x 2 x1 x 2 1 1 2k 2 . 由题意得 OMON 0， 1x2+y1y2=0. 即x