[理学]离散傅里叶变换及其快速算法

可先使信号通过一个低通滤波器使滤波后的信号中的最高频率成为fmax然后根据采样定理来确定采样频率f2称为nyquist频率或称混叠频率离散傅里叶变换的泄漏问题leakage在实际应用中通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内也就是说在时域对信号进行截断操作或称作加时间窗亦即用时间窗函数乘以信号即由卷积定理可知时域相乘频域为卷积则有有时会造成能量分散现象称之为频谱泄漏频谱泄漏
非周期序列的离散时间傅里叶变换 (DTFT) /序列的傅里叶变换
• 定义序列x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)为：
X (e ) DTFT{x(n)}
j n jn x ( n )e
• 序列x(n)的离散时间傅里叶逆变换(IDTFT)为：
x(n) IDTFT{X (e j )} 1 2
按时间抽取的FFT算法
• 设N=2M，M为正整数，如取N=23=8，即离散时间信号为
x(n) {x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)}
• 按照规则①将序列x(n)分为奇偶两组，一组序号为偶数， 另一组序号为奇数，即
{x(0), x(2), x(4), x(6) | x(1), x(3), x(5), x(7)}



X (e j )e jn d
傅里叶变换对小结
• 傅里叶级数(FS)（时域：连续周期；频域：非周期离散）
1 Xk T

T 2
T 2
x(t )e jk1t dt
x(t )
k


X k e jk1t
k 0, 1, 2,
• 傅里叶变换(FT)（时域：连续非周期；频域：非周期连续）
常用窗函数
(1) 矩形窗(Rectangular) w(t)=1 (2) 汉宁窗(Hanning) w(t)=1-cos(2t/T), (3) 凯塞窗(Kaiser-Bessel) w(t)=1-2.4 cos(2t/T)+0.244 cos(4t/T)-0.00305 cos(6t/T) (4) 平顶窗（FlatTop） w(t)=1-1.93 cos(2t/T)+1.29 cos(4t/T)-0.388 cos(6t/T) +0.0322 cos(8t/T)
• 例：利用DFT的矩阵表达式求4点序列 x(n) cos(2 n / N ) 的DFT • 解：由N=4得 WN e j 2 / N j
X (k ) x(n)W
n 0 N 1 nk N
1 N 1 nk x(n) X (k )WN N k 0
• x(n)和X(k)的波形图如下所示
1
有时会造成能量分散现象，称之为频谱泄漏。
• 余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏 余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏
• 对于连续周期函数，在符合采样定理的条件下， 保证窗函数b(t)的时段τ等于被截函数的周期T的 整倍数，可以保证逆变换后准确地恢复原波形， 不产生泄漏。 • 对于随机振动信号（非周期函数），控制泄漏的 方法是采用特定的窗函数，以达到控制旁瓣的效 果。
FFT原理
• FFT算法主要利用了 WNnk 的两个性质：
1. 对称性
W
( nk N ) 2
W nk
nk ) N
2. 周期性
W nk W
mod( nk ) N
mod(
表示用N除nk之后的余数
• FFT算法利用
WNnk
的对称性和周期性，将一个大的
DFT分解成一些逐次变小的DFT来计算。 • 分解过程遵循两条规则： ①对时间进行偶奇分解——按时间抽取的FFT算法 ②对频率进行前后分解——按频率抽取的FFT算法
DFT的计算量
• 有限长序列x(n)的DFT为：
X (k ) x(n)W
n 0 N 1 nk N
1 N 1 nk x(n) X (k )WN N k 0
WN e j 2 / N
• 将DFT定义式展开成方程组
写为矩阵形式
• 用向量表示
X Wx
• 用复数表示
Wx {Re[W ] Re[ x] Im[W ] Im[ x]} j{Re[W ] Im[ x] Re[ x] Im[W ]}
• 计算一个X(k)值需要N次复数乘法和(N-1)次复数加法，那 么N个X(k)共需N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。每次 复数乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包 括2次实数加法，因此计算N点的DFT共需要4N2次实数乘 法和(2N2+2N(N-1))次实数加法，如N=2048时，计算量为 419万次。
离散时间序列
• 数字计算机只能处理有限长的数字信号。因此， 必须把一个连续的变化的模拟信号转换成有限长 的离散时间序列，才能由计算机来处理。这一转 换称模拟信号数字化。 • 对x(t)进行抽样，抽样间隔为Δ， x(t)的离散值在 时间t=kΔ，写为xk。{xk},k= …,-1,0,1,2,3, …叫做 离散时间序列。
• 上两式可写为矩阵形式
DFT与DTFT的区别
• DTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一 个连续函数；而DFT是把有限长序列作为周期序 列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析， DFT的特点是无论在时域还是频域都是有限长序 列。
• DFT提供了使用计算机来分析信号和系统的一种 方法，尤其是DFT的快速算法FFT，在许多科学 技术领域中得到了广泛的应用，并推动了数字信 号处理技术的迅速发展。
x(n)e
x (n) X k e
n0
N 1
j
k 0,1, 2,
, N 1
• 离散时间傅里叶变换(DTFT)（时域：离散非周期；频域：周期连续） 1 j jn j j n x(n) X (e )e d X (e ) x(n)e 2 n
离散傅里叶变换(DFT)的定义和基本概念
• 现借助于DFS的概念对有限长序列进行傅里叶分 析： • 设x(n)为有限长序列：
x ( n) 0 n N 1 x ( n) n其他值 0
• 正变换：
X (k ) DFT [ x(n)] x(n)e
N 1 n 0
j
窗函数用法
• 矩形窗：瞬态信号、伪随机或周期随机、窗长等 于周期信号整周期时 • 汉宁窗：纯随机 • 平顶窗：周期或准周期信号 • 力窗或指数衰减窗：锤击法测频响函数时的力信 号和脉冲响应信号
快速傅里叶变换(FFT)
• 直接利用DFT进行谱分析时，存在一个突出矛盾，即当序 列长度N较大时计算量大、计算时间长、数据占用内存多 ，难以利用DFT进行实时处理，其应用受到很大的限制。 • 1965 年库利 (Cooley) 和图基 (Tukey) 提出了一种 DFT 的快速 算法，这就是 FFT 。 FFT 算法使计算量大大降低，计算时 间减少，特别是当序列长度N较大时，效果更为显著。 • FFT并不是一种新的变换形式，它只是DFT的一种快速算 法。并且根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算法。 • FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也 有重要应用。
• 周期函数的离散傅里叶级数(DFS):
1 Xk N
x(n)e
n0
N 1
j
2 nk N
x (n) X k e
n0
N 1
2 nk j N
k 0,1, 2,
, N 1
离散傅里叶级数(DFS)的性质
• 离散傅里叶系数 X k 是一个由 N 个独立谐波分量 组成的傅立叶级数 • 离散傅里叶系数 X k 也是离散周期的，周期为N。
离散傅里叶变换的泄漏问题(Leakage)
在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔 内，也就是说，在时域对信号进行截断操作，或称作加时间 窗，亦即用时间窗函数乘以信号，即 ˆ (t ) b(t ) x(t ) x
由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，则有 ˆ ( f ) B( f ) X ( f ) X
1 fs t
N T N t fs
fN= fs/2称为 Nyquist频率， 或称混叠频率
N T 2 f max
• 若提高采样频率fs将使采样时间减少，从而造成频率分辨 率Δf变粗。可先使信号通过一个低通滤波器，使滤波后的 信号中的最高频率成为fmax ，然后根据采样定理来确定采 样频率fs 。通常fs是fmax的3~4倍
非周期函数的离散傅里叶变换的物理逻辑过程
• (a) 原函数，(b)截断后保留部分，(c)周期拓广，(d)离散 采样，(e)离散傅里叶变化后的离散谱
离散傅里叶变换的频混问题(Aliasing)
• 采样间隔为Δt，采样频率 f 1/ t 。若采样频率过 小，则有可能高频部分重叠到低频部分上，形成 “频混”。
s
(a) fs=f ，采样频率与 信号频率相等； (b) 恢 复 信 号 的 频 率 为 0 ，波形严重失 真； (c) 采样频率fs=1/9f； (d) 恢 复 信 号 的 频 率 为1/9f，波形失真。
Shannon采样定理
• 若信号中的最高频率为fmax，为了不产生频混，信号频率 成份可以正确复原，必须保证采样频率fs大于两倍的fmax， 即 f s 2 f max • 因为 • 则
X ( f ) F [ x(t )]
1

x(t )e j2 πft dt
X ( f )e j2 πft df
2 nk N
x(t ) F [ X ( f )]
1 Xk N
N 1 n0 j 2 nk N

• 离散傅里叶级数(DFS)（时域：离散周期；频域：周期离散）
离散傅里叶变换及其快速算法
概述
• 傅里叶变换实现了时域到时域到频域的转换，在连续信号 和离散信号处理技术领域有广泛的应用。
• 为利用计算机计算傅里叶变换 ,对信号与频谱有如下要求：
1. 信号与频谱应是离散的
2. 数据长度都是有限的 • 本节介绍如何将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用 于离散时间信号，它们是由傅里叶变换发展而来的一种变 换方法。 • 离散傅里叶变换(DFT)和快速傅里叶变换(FFT)在理论上解 决了利用计算机进行傅里叶分析的问题。
2 nk N
0 k N 1
• 逆变换：
1 x(n) IDFT [ X (k )] N
X (k )e
k 0
N 1
j
2 nk N
0 n N 1
•
j 2 / N W e 通常记 N
，则DFT简化为
nk N
X (k ) x(n)W X (k )WN N k 0
• 分别表示为
g (r ) x(2r ) ——偶数项 r 0,1, h(r ) x(2r 1) ——奇数项 , N 1 2
• 根据DFT的定义
2 1 • 因为 WN WN / 2
• 上式中的G(k)和H(k)都是N/2点的DFT
• 注意到G(k)和H(k)只有N/2个点，而X(k)却需要N个点，如果以G(k)和 H(k)表示全部X(k)，应利用G(k)和H(k)的两个重复周期，则有：
离散傅里叶变换(DFT)
• 上面讨论的傅里叶变换对，都不适用在计算机上 运算。因为从数字计算角度，我们感兴趣的是时 域及频域都是离散的情况。而工作中经常要对有 限长序列进行频谱分析,这就是我们这里要谈到的 离散傅里叶变换。
• 可借助于DFS定义DFT，思路如下： (1) 把时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延 拓； (2) 把频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延 拓； (3) 这样只要把DFS的定义式两边（时域、频域）各 取主值区间,就得到关于有限长序列的时频域的对 应变换对——离散傅里叶变换(DFT)。
1 Xk N
x(n)e
n0
N 1
j
2 nk N
X kN
1 N
x(n)e
n0
N 1
j
2 ( k N ) n N
Xk
离散傅里叶级数(DFS)的性质
• DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷 长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个 周期内信号的变化情况），根据DFS的周期性就 可求出其余各周期的全部数值，所以这种无穷长 序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因 此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
周期序列的离散分析
• 连续周期函数x(t)，抽样间隔Δt=T/N
周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
• 连续周期函数x(t)的傅里叶级数：
x(t )
n
Xe
k

jk1t
1 Xk T

T 2
T 2
x(t )e jk1t dt
k 0, 1, 2,
2 • 抽样间隔Δt=T/N，1 T