人教版九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 一元二次方程

整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
不同 点
探究新知
素养考点 一元二次方程一般形式的有关概念
例 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常 数项.
二次项、二
解： 去括号，得
次项系数、一次
3x2-3x=5x+10
解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
课堂检测
(3)若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1. 4a+2b +c=0可转化为
a×22+b×2+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2.
课堂小结
一元二次 方程
定义 等号两边都是整式，只含一个未知 数且未知数的最高次数是2的方程
概念
判断 ① 是整式方程； ② 含一个未知数；（一元） ③ 最高次数是2.（二次）
巩固练习
（3）4x(x+2)=25
(4)(3x-2)(x+1)=8x-3
解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二 次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0 ，二次 项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1．
根据题意，得
200×150-3x2=200×150× 3 . 4
整理，得 x2-2500=0.
200cm
课堂检测
2.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有 量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均 增长率为x.
4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值为 _______．
课堂检测
能力提升题
1.如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖 去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求 挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积 为 3x2 cm2.
（100-2x）（50-2x）=3600
整理，得
x2-75x+350=0
50cm 3600cm2 100cm
探究新知
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比 赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天 安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各
ax2+c=0
当a≠0，b=0,c=0时，ax2+bx+c=0ax2+bx=0
一元 二次 方程
ax2=0
【结论】只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数.
探究新知
【思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区别与 联系？
一元一次方程 一元二次方程
一般 式
相同 点
Ax+b=0 (a≠0)
ax2+bx+c=0 (a≠0)
人教版 数学 九年级 上册
21.1 一元二次方程
导入新知
要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕 像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与 全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
设雕像下部高x m，依题意得方程
A
x2=2(2-x)
C
2m
整理，得
x2+2x-4=0
【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程
，求a的值.
解：依题意把x=3代入原方程，得
32+3a+a=0
整理，
9+4a=0，
即
a9 .
4
连接中考
1.已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的 值为（ B ）
A．﹣2
B．2 C．﹣4
D．4
连接中考
2.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾 馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间 房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的 费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房 价定为x元．则有（ ）
解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-2≠0，即a≠2 时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次 方程.
方法总结：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用 二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
解：依题意把x＝2代入原方程，得
4（m-1）+6-5m+4=0,
整理，得 -m+6=0,
解得
m=6.
方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方 程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系 数的方程来解决问题.
巩固练习
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3
（3）指出一元二次方程各项系数时，不 要漏掉前面的符号.
巩固练习
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项
系数、一次项系数、常数项：
（1）5x2-1=4x;
(2)4 x2=81
解：(1)把5x2-1=4x化为一般形式5x2-4x-1=0 ，二次 项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1.
(2)把4 x2 =81化为一般形式4x2-81=0 ，二次项系 数为4，一次项系数为0，常数项为-81．
B
A.（180+x-20）（50- x ）=10890 解析：设房价定为x元.依题
B.（x-20）（50-x 1801）0 =10890
意，得
C. x（50-
）-1500×20=10890 （x-20）（50- x 180）=10890
D.（x+18x01）108（0 50- ）-50×20=10890
区未知数最 别 高次数为2
特 （1）这两个方程的两边都是整式； （2）都只含一个未知数x；
点 （3）它们的未知数的最高次数都是 2 次的.
探究新知
一元二次方程的概念
像上述两个方程式这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次 数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必须满 足三个特征）.
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要 条件；
解（根）
使方程左右两边相等的未知数的值.
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
-项2
3y2 1 2 3y 3y2 2 3y 1 0
3
1
4x2 5
4x2 5 0
4
(2 x)(3x 4) 3 3x2 2x 5 0
3
0
-5
-2
-5
课堂检测
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k ＝－1 时，是一元一次方程．当k ≠±1时 ，是一元二次方程．
根据题意有 75（1+x）2 =108.
整理，得 25x2+50x-11=0.
课堂检测
拓广探索题
（1）已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 一个根为1, 求a+b+c的值.
解：依题意把x=1代入原方程，得 a×12+b×1+c=0,
即 a+b+c=0.
课堂检测
（2）若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比
赛 1 x（x-1）场.可列方程 2
整理，得 1 x(x 1) 7 4 2 x2-x=56.
探究新知
【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个方程都不 是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程 的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,
如果要制作的方盒的底面积为3600平
方厘米,那么铁皮各角应切去多大的
正方形?
50cm 3600cm2
100cm
探究新知
【分析】 设切去的正方形的边长为x cm,则
x
盒底的长为(100-2x)cm ,宽为 (50-2x)cm.
根据方盒的底面积为3600cm2,得
探究新知
一元二次方程的一般形式
二次项
一次项
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
探究新知
【思考】为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
当a=0时，ax2+bx+c=0 bx+c=0（一元一次方程）
当a≠0，b=0时，ax2+bx+c=0 当a≠0，c=0时，ax2+bx+c=0
整理，得
3x2-8x-10=0
项、一次项系数、 常数项都是包括 符号的.
其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.
探究新知
方法点拨
（1）一元二次方程的一般形式不是唯一 的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数.
（2）一元二次方程的二次项、二次项系数 、一次项、一次项系数、常数项等都是针对 一般形式而言的.
10
x
10
课堂检测
基础巩固题 1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
课堂检测
2.填空：
方程
一般形式 二次项 一次项 常数
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 系1数
系3数
探究新知
【想一想】1
答：不是.等号左边含有分式；化简整理后，
未知数的最高次数为3次.
探究新知
素养考点 1 一元二次方程的识别
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ C ）
含两个未知数
不是整式方程
A. x2＋ 1 =0
B. 3x2-5xy+y2=0
x2
巩固练习
方程(2a-4)x2－2bx+a=0. （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当 2a-4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程. （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程.
探究新知
知识点 2 一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经 过整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式,我们把 ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方 程的一般形式. 其中ax2是二次项，a是二次项系数 ；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
C.（x-1）（x-2）=0
D. ax2+bx+c=0
整理x2-3x+2=0
a≠0
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后 再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知 数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足，缺一不可．
巩固练习
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x2+ x=36 (3) x+3y=36 (5) x+1=0
B
一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？
素养目标
3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能 解决相关问题.
2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般形式，确定各项系数.
探究新知
知识点 1 一元二次方程的概念
有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一
(7)4x2 1 (2x 3)2
(2) x3+ x2=36
(4)
1 x2
2 x
0
(6) x2 6 3
(8)( x)2 2 x 6 0
探究新知 素养考点 2 利用一元二次方程的定义求字母的值
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2-x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
探究新知 知识点 3 一元二次方程解的概念
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值 叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫 做一元二次方程的根.
探究新知
素养考点 利用一元二次方程的解确定字母的值
例 已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一个 根为2，求m.
分析: 一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.