高中数学必修2期中测试卷

高中数学必修2期中测试卷
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高二数学立体几何试卷
满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1. 已知平面α与平面β、γ都相交，则着三个平面可能的交线有 （ ）
A ．1条或2条
B ．2条或3条
C ．1条或3条
D ．1或2条或3条
2．过正方体一面对角线作一平面去截正方体，截面不可能是 （ ）
A ．正三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．矩形 3. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为2:6，则侧面与底面的夹角为（ ）
A ．
12
π B ．
6
π
C ．
4
π D ．
3
π 4. 在斜棱柱的侧面中，矩形的个数最多是 （ ）
A ．2
B ． 3
C ．4
D ．6
5.设地球半径为R,若甲地在北纬45︒东经120︒,乙地在北纬45︒西经150︒,甲乙两地的球面距离为( )
A ．3R π
B ．6R π
C 2R
D ．
R
6. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，2
3=EF ，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为 （ ） A ．2
9
B ．5
C ．6
D ．2
15
7. 已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β
D ．若m ⊥α，β⊂m
，则α⊥β
8. 下列命题中，正确命题的个数是 （ ） （1）各个侧面都是矩形的棱柱是长方体（2）三棱锥的表面中最多有三个直角三角形 （3）简单多面体就是凸多面体 （4）过球面上二个不同的点只能作一个大圆
Ａ.0个
Ｂ.1个
Ｃ.2个
Ｄ. 3个
9. 将鋭角B 为60°, 边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角θ,若[]60,120θ∈︒︒
则折后两条对角线之间的距离的最值为
（ ）
A. 最小值为43
, 最大值为23
B. 最小值为43, 最大值为43
D
A
B
F
3
C. 最小值为41, 最大值为43
D. 最小值为43, 最大值为23
10．设有如下三个命题： 甲：相交的直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内；
乙：直线l ,m 中至少有一条与平面β相交； 丙：平面α与平面β相交 .
当甲成立时， （ ）
A ．乙是丙的充分而不必要条件；
B ．乙是丙的必要而不充分条件
C ．乙是丙的充分且必要条件
D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件.
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．边长为2的正方形ABCD 在平面α内的射影是EFCD ，如果AB 与平面α的距离为
2，则AC 与平
面α所成角的大小是 .
12.设三棱锥的三个侧面两两互相垂直,且侧棱长均为23则其外接球的表面积为 . 13.足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成的多面体.则这个多面体有
条棱,有 个顶点.
14．已知异面直线a 、b ，A 、B 是a 上两点，C 、D 是b 上两点，AB=2，CD=1，直线AC 为a 与b 的公垂线，
且AC=2，若a 与b 所成角为60︒，则BD= .
15．长方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，BC=2，1BB =1，则A 到1C 在长方体表面上的最短距离为 . 16.已知点P ，直线βα、以及平面、、c b a ，给出下列命题：
①若b a b a //成等角，则与、α
②若βαβα⊥⊥c c
，则，//
③若αα//b a b a
，则，⊥⊥
④若βαβα⊥⊥a a ，则，//
⑤若相交、异面或、或，则，b a b a b a c b c a //⊥⊥
其中正确命题的序号是_______________.(把所有正确命题的序号都填上)
三、解答题（本大题共6题，共70分）
17.（本题满分10分）已知平面⊥α平面β，直线α//a ，a 垂直于α
与β的交线AB ，试判断a 与β 的
位置关系，并证明结论.
4
18. （本题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1.AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点P 为BD 1中点.
（Ⅰ）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （Ⅱ）求点D 1到面BDE 的距离.
19．（本题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中，60ABC ∠=︒，PA=AC=a ，PB=PD=2a ，
点E 为PD 的中点，
（Ⅰ）PA ABCD PB EAC ⊥平面，平面；
（Ⅱ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的θ正切值。

20．（本题满分12分）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，M 为D 1D 的中点. （Ⅰ）求证：异面直线B 1O 与AM 垂直； （Ⅱ）求二面角B 1—AM —C 的大小；
（III ）若正方体的棱长为a ，求三棱锥B 1—AMC 的体积。

A B
C
P
E
5
21．（本题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，90ABC ∠=︒，
BC=2，AC=2311AA A C ⊥，1AA =1A C ，求：
（Ⅰ）侧棱1AA 与底面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）侧面
11A ABB 与底面ABC 所成二面角的大小；
（Ⅲ）顶点C 到侧面11A ABB 的距离。

22．（本题满分12分）三棱锥P-ABC 中，AP=AC ，PB=2，将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直
角梯形123PP P A （Ⅰ）求证：侧棱PB AC ⊥
；
（Ⅱ）求侧面PAC 与底面ABC 所成角θ的余弦。

P A
P1P2B
A 1
C1
B1
A
C
高二期末数学试卷答案
一．选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分).
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A A D B A B C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．12．36πcm 13．90，60 14．711
或15 ．3216．②⑤
三、解答题（本大题共5题，共70分）17．解：a与β的位置关系是：直线⊥a平面β．证明过直线a作平面=α
γ 直线c,（2分）∵
c⊥.（6分）又α
//
a,∴c//a.（4分）又∵,AB
a⊥∴AB
∵α
c，AB
⊂
=
α 且β⊥α，∴β⊥c,（8分）故β⊥a.（10β
分）
6
7
18．（Ⅰ）取BD 中点M.连结MC ，FM . ∵F 为BD 1中点 ， ∴FM ∥D 1D 且FM=2
1D 1D .（2分） 又EC=21CC 1且EC ⊥MC ，∴四边形EFMC 是矩形
∴EF ⊥CC 1.（4分） 又CM ⊥面DBD 1 .∴EF ⊥面DBD 1 .
∵BD 1 面DBD 1 . ∴EF ⊥BD 1 . 故EF 为BD 1 与CC 1的公垂线.（6分）
（Ⅱ）解：连结ED 1，有V E －DBD 1
=V D 1
－DBE .
由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD 1 ，设点D 1到面BDE 的距离为d.
M
b
N
a c
8
分）（分）
（分）则6.3322
3
222d 23)2(2321S 4.2222
1
S ,22EF ,2ED BE BD .
1AB ,2AA .EF 2(S d S 2DBE DBD 1DBD DBE 11=⨯
=∴⋅=⋅⋅==⋅⋅=∴====∴==⋅=⋅∆∆∆∆
故点D 1到平面DBE 的距离为332. 19．（Ⅰ）略（6分）（Ⅱ）233（6分）
20．（Ⅰ）设AD 的中点为N ，连结ON ，由O 为正方形ABCD 的中心，
得ON ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊥平面ADD 1A 1，所以A 1N 为B 1O 在平面ADD 1A 1内的射影.（2分）在正方形ADD 1A 1中，
)
4.(,,2
,,111111分所以AM O B AM N A AM A N AA MAD N AA ADM Rt AN A Rt ⊥⊥=
∠+∠∠=∠∆≅∆π
（Ⅱ）因为AC ⊥平面BB 1D 1D ，所以AC ⊥B 1O.由（1）知
B 1O ⊥AM ，所以B 1O ⊥AM ，所以B 1O ⊥平面AMC. (6分)
作OG ⊥AM 于G ，连结B 1G,则∠B 1GO 为二面角B 1—AM —C 的平面角. （7分）
设正方体棱长为1，则,10
30=
⋅=AM
OA
OM OG 所以
9。