电大《微积分初步》复习题及答案

微积分初步复习试卷
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)
2ln(1)(的定义域是]4,1()1,2(-⋃--． ⒉若24sin lim 0=→kx
x x ，则=k 2． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋=+⎰e 12d )1ln(d d x x x 0． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,
0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1C ．2D ．3
⒊下列结论中（ C ）正确．
A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.
B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.
C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.
D ．函数的极值点一定发生在不可导点上.
⒋下列等式中正确的是（ D ）．
A .)cos d(d sin x x x = B.)1d(d ln x
x x = C.)d(d x x a x a = D.)d(2d 1x x x
= ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ）
A.2；
B.3；
C.4；
D.5
三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限2
386lim 222+-+-→x x x x x ． 原式21
4lim )1)(2()2)(4(lim 22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .
)sin (cos 312x x x
y -+=' x x x x
y d )cos sin 31(d 2-= ⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-
x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(22
1)12(d )12(21 ⒋计算定积分
x x d ln 2e 1⎰ x x d ln 2e 1⎰-=2
1ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x x x 四、应用题（本题16分） 欲做一个底为正方形，容积为108立方M 的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108x
h h x == x x x
x x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x
x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且0432226
3
>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336
108==h
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
⒈函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．
⒉当→x 0 时，x
x x f 1sin )(=为无穷小量. ⒊若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-．
⒋=+-⎰-x x x d )135(1
132． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =.
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数)
1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ C ）． A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃
C ．),2()2,1(+∞⋃
D ．),2()2,0(+∞⋃
⒉曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（D ）．
A ．2
B ．2e
C ．4e
D ．42e
⒊下列结论正确的有（ B ）．
A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点
B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0
C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点
D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点
⒋下列无穷积分收敛的是（A ）．
A ．⎰
∞+-02d e x x B ．⎰∞+1d 1x x C ．⎰∞
+1d 1x x
D ．⎰∞+0d in x x s ⒌微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D
4
6lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A.1； B.2； C. 3； D. 4
三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限4
6lim 222----→x x x x ． ⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y d .
)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=
x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= ⒊计算不定积分⎰+-x x
x x x d sin 33 ⎰+-x x
x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 323 ⒋计算定积分⎰π0d sin 2
x x x ⎰π
0d sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππ
ππ=+=+-=⎰x x x x x 四、应用题（本题16分）
用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方M10
元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24x
h = 所以,164)(22x
x xh x x S +=+= 2162)(x
x x S -='
令0)(='x S ，得2=x ， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小.
此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
⒈函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f 12-x ． ⒉=∞→x
x x 1sin lim 1． ⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2
121+=x y ． ⒋若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -．
⒌微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为5．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．
A ．非奇非偶函数
B ．既奇又偶函数
C ．偶函数
D ．奇函数
⒉当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.
A ．x 1
B ．x x sin
C ．)1ln(x +
D ．2x
x ⒊下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ B ）．
A ．x cos
B ．x -5
C ．2x
D ．x 2 ⒋设c x
x x x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （C ）． A. x ln ln B.x x ln C.2ln 1x
x - D.x 2ln ⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程．
A ．x y y x y x ln e sin ='-''
B ．x xy y y e 2=+'
C ．y y x y e ='+''
D ． y y yx '=+ln 2
三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限6
23lim 222-++-→x x x x x ． 原式5
131lim )3)(2()2)(1(lim 22=+-=+---=→→x x x x x x x x
⒉设x x y 2cos +=，求y d .
2ln 221sin x x
x y +-=' x x
x y x d )2sin 2ln 2(d -= ⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-
x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(22
1)12(d )12(21 ⒋计算定积分⎰π
2
0d sin x x x
⎰2
0d sin π
x x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰π
πx x x 四、应用题（本题16分）
欲做一个底为正方形，容积为108立方M 的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108x
h h x =
= x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-
='x
x y ，解得6=x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当
6=x ，336108==h 时用料最省.
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 32+x ．
⒉若函数⎩⎨⎧=≠+=0,
0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2． ⒊函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-．
⒋=⎰∞-dx e x 022
1． ⒌微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为4．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
⒉当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.
A ．x x sin
B ．)1ln(x +
C ．x x 1sin
D ．x
x +1 ⒊若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．
A ．函数f (x )在点x 0处有定义
B ．函数f (x )在点x 0处连续
C ．函数f (x )在点x 0处可微
D ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠ ⒋若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）. A.c x x ++23
22
3 B.c x x ++2 C.c x x ++ D.c x x ++2323
221
⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ） A.)(ln d d y x x y ⋅=； B. x y x
y +=e d d ； C. y x x y e e d d +=；D. )ln(d d y x x
y += 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限2
34lim 222+--→x x x x ． 原式41
2lim )1)(2()2)(2(lim 22=-+=---+=→→x x x x x x x x ⒉设x y x cos 2+=，求y d
x
x y x 21sin 2ln 2⋅-='. x x
x y x d )2sin 2ln 2(d -= ⒊计算不定积分x x x d e ⎰-
解：x xe x d ⎰-= c e xe x e xe x x x x +--=+-----⎰d ⒋计算定积分x x
x d ln 113e 1⎰
+ 解：x x x d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113
3
11=+=++=⎰e e x x x
四、应用题（本题16分）
某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？
解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是
2
r V h π=，则其表面积为 r
V r rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r V r S -=' 令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π
4V 时，用料最省．。