学而思几何模型 (1)

D 中点模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行线延长相交
A A
E
B C B
D
C
F C A
D
B E
E
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1、直接连接中点；
2、连对角线取中点再相连
A
A
B
D
C
【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC＝60°，G 是DF 的中点，连接GC、GE．
（1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB＝10，BF＝4，求GE 的长；
（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．
D C
D C D C
F G
E
F A B A B
图1 图2
G
E A B
图3
F
【解答】
（1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG≌△CEG，则D E B
C
F
G
E
G
E
注意G 的两端点D、E
所在的直线DC∥FE
G
E
G E
G F
D H C
F
A B
（2）延长CG 交AB 于点I，
易证明△BCE≌△FIE，则△CEI 是等边三角形，GE＝GC，且GE⊥GC
D C
A I B
F
（3）
D C
J F
【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E、F 分别是BC、CD 上一点，连接DE、EF，且AE＝AF，∠DAE ＝∠BAF.
（1）求证：CE＝CF；
（2）若∠ABC＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG、EG，求证：DG⊥EG.
A D
B E C
【解答】
（1）证明△ABE≌△ADF 即可；
（2）延长DG 与AB 相交于点H，连接HE，证明△HBE≌△EFD 即可
G
A
E
B
3
为什么是证明△BCE
≌△FIE 你理解吗？
你能写出解题思
路和过程吗？
类似的为什么要延长
CG 呢，可以延长EG
吗？
H G F
A D
B E C
【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB＝CD，E、F 分别为BC、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE＝∠CHE.
A
G
F
【解答】
取BD 中点可证，如图所示：
A
D H
B E C
G
F
H D
B J
C
E
为什么为什么为什么？
可以取AC 中点吗？
角平分线模型
【模型 1】构造轴对称
【模型 2】角平分线遇平行构等腰三角形
【例 4】如图，平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交 BC 边于 E ，EF ⊥AE 交边 CD 于 F 点，交 AD 边于 H ，延长 BA 到 G 点，使 AG ＝CF ，连接 GF .若 BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则 GF 的长为 .
G
A
D
H
F
B
【解答】
延长 FE 、AB 交于点 I ，易得 CE ＝CF ，BA ＝BE ，设 CE ＝x ，则 BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝
，作 AJ ⊥BC ，连接 AC ，求得 GF ＝AC ＝3
G
H
I
A
D
B J
F
E
C
O
E
B
F
O F
O E
F 手拉手模型
【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD
【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AED
D
O
C O
D C
E
C
A
B
A
A
B
导角核心图形：八字形
【例 5】（2014 重庆市 A 卷）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC 、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE 2CE ，连接 BE ．过点 C 作 CF ⊥BE ，垂足是 F ，连接 OF ，则 OF 的长为
．
A D
E
B
C
【答案】 6 5
5
A
D
E
B
C
【例 6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点 D ，点 E 在 AC 边上，连接 BE ，AG ⊥BE
于 F ，交 BC 于点 G ，求∠DFG ．
A
B
D
G
C
【答案】45°
模型很重要，对吗？
E
G
F 2 H
H
A
B
D G
C
【例 7】（2014 重庆 B 卷）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线
一点，BE ＝DG ，连接 EG ，CF ⊥EG 交 EG 于点 H ，交 AD 于点 F ，连接 CE 、BH ．若 BH ＝8，则 FG ＝
．
A
F
D
G
E
B
C
【答案】5
A
F
D
G
E
B
C
2
注意挖掘模型成立的条件
这个图包括两个经典
模型，哪两个呢？
2
F H
F
【模型 1】
邻边相等对角互补模型
【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCD
A
A
E
B
E
C
D
【模型 2】
【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°
【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CD ＝ AC
E
A
A
B
B
C
D
E
C
F
D
【例 8】如图，矩形 ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为 CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于 F ，则 DF 为
.
D
G
C
E
A
B
【答案】 9
5
5
D G C
E A
B
B C
F D
这个图包括两个经典模型，哪两个呢？
O
3
【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M，使BM＝1，连接AM，过点B 作BN⊥AM，垂足为N，O 是对角线AC、BD 的交点，连结ON，则ON 的长为.
N M
A B
D C
【答案】
6
5
5
【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE、BF 交于点G，则DG 的长为.
D C
E
A B
【答案】4 ＋4
D C
E
A B
F
G
F
H
G
模型又来了！
F
E
【模型 1】
半角模型
【条件】如图，四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝ 1 ∠BAD ， 点 E 在直线 BC 上，点 F 在直线 CD 上
2
【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系
A
B D
C
【模型 2】
【条件】如图，在正方形 ABCD 中，已知 E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、 AF 分别与对角线 BD 交于点 M 、N ．
【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② S ∆ABE + S ∆ADF = S ∆AEF ；③AH ＝AB ；④ C ∆ECF = 2AB ；⑤BM 2＋DN 2
＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由 AO ：AH ＝AO ：AB ＝1： 可得到
△ANM 和△AEF 相似比为 1： ）⑦ S ∆AMN = S 四边形MNFE ；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆， A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．
A
D
N
F
M H B
E
C
2 2
B
【模型 2 变形】
【条件】在正方形 ABCD 中，已知 E 、F 分别是 CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】BE ＋EF ＝DF
A
D
E
C
F
【模型 2 变形】
【条件】在正方形 ABCD 中，已知 E 、F 分别是 BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BE
F
A
B
C
E
【例 11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合，将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P ， 射线 EF 与线段 AB 相交于点 G ，与射线 CA 相交于点 Q .若 AQ ＝12，BP ＝3，则 PG ＝ .
Q
D
B E C
【解答】连接 AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型设 AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得 BP ＝BE ， 3/ （x ＋12），解得 x ＝12 CE CQ 2 x 2 x /
设 PG ＝y ，由 AG 2＋BP 2＝PG 2 得 32＋(12－3－x )2＝x 2，解得 x ＝5
D
F
A
G P
【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB＝BD，点E、F 在AB、AD 上，且AE＝DF．连接BF 与DE 交于点G，连接CG 与BD 交于点H，若CG＝1，则S 四边形BCDQ＝．
D C
F H
G
A E B
4
一线三等角模型
【条件】∠EDF＝∠B＝∠C，且DE＝DF
【结论】△BDE≌△CFD
A
B D C
【例13】如图，正方形ABCD 中，点E、F、G 分别为AB、BC、CD 边上的点，EB＝3，GC＝4，连接EF、FG、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为.
A D
G
E
B F
C
【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH≌△FGI 则BC＝BF＋CF＝HF－BH＋FI－CI＝GI－BH＋HE－CI 7 3
＝3
A D
G
E
H B F C I E
F
J
I K
L
弦图模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形
H
A
H D
E
G
G
E
F
B
F
C
【例 14】如图，点 E 为正方形 ABCD 边 AB 上一点，点 F 在 DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与 FD 交于点 G ，∠FAB 的平分线交 FG 于点 H ，过点 D 作 HA 的垂线交 HA 的延长线于点 I .若 AH ＝3AI ，FH ＝2 2，则 DG ＝ ．
I D
F
B
C
D
D
A
C
B
A
G
E H
E F
D G
【例 15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点 D ，点 E 是 AC 中点，连接 BE ，作 AG ⊥BE 于 F ，交 BC 于点 G ，连接 EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．
A
E F
B
C
D G
【解答】过点 C 作 CH ⊥AC 交 AG 的延长线于点 H ，易证
A
B
C
H
考查弦图模型，为什么不作 CH ⊥AG ？
【两点之间线段最短】 1、将军饮马
最短路径模型
B P
Q
B '
2、费马点
【垂线段最短】
【两边之差小于第三边】
【例 16】如图，矩形 ABCD 是一个长为 1000 米，宽为 600 米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站 P ，在铁路线 BC 段上建一个发货站台 H ，设铺设公路 AP 、DP 以及 PH 之长度和为 l ，求 l 的最小值．
G
H
2
P1
P
H
G
B '
【解答】600 + 500 ，点线为最短．
A 1
A D
B H E C
【例17】如图，E、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF 交BD 于G，连接BE 交AG 于H，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为．
A E F D
B C 【解答】如图，取AB 中点P，连接PH、PD，易证PH≥PD-PH 即DH≥-1．
A E F D
P
B C
【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝4 ，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△B'EF ，连接DB'，DB'最短为．
A D
E
B F C
3
5
记住是往外旋60°，
那为什么不是绕着
H 点呢？
怎样才能找到这样的P
点：实际上是某个圆的
圆心．
2 【解答】4
【例 19】如图 1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于 E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于 G ，延长 GE 、DC 交于点 F ，连接 AF ．
（1）若 BE ＝2EC ，AB ＝ （2）求证：EG ＝BG ＋FC ；
，求 AD 的长； （3）如图 2，若 AF ＝ 5 ，EF ＝2，点 M 是线段 AG 上一动点，连接 ME ，将△GME 沿 ME 翻折到△ G 'ME ，连接 DG ' ，试求当 DG ' 取得最小值时 GM 的长．
A
D
A D A D
M
G
G
G ' G
B
E
C
F
B
E
C F B
E
C F
图 1
图 2
备用图
【解答】 （1）3
（2）如图所示
A
D
G
B E
C H
F
（3）当 DG ′最小时 D 、E 、G ' 三点共线
A D
M G
G '
B
E C F
解得GM = G 'N + MN = 3
17 - 3
4
哪个点是圆心？应该将圆心与哪个点相连？用谁减去谁呢？
13
为什么这样做辅助线？ 还有其他方法吗？
为什么为什么为什么？ 自己去算吧！！！
O E
课后练习题
【练习 1】如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于 O ．已知 AE 、BE 的长分别为 3、5，求三角形 OBE 的面积．
C B
D
A
5 【解答】
2
【练习 2】
1
问题
1：如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ，点 M ，N 分别在 AD ，CD 上，∠MBN 2
∠ABC ，试探究线段 MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；
问题 2：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，点 M ，N 分别在 DA ，CD 延长
线，若∠MBN ＝ 1
∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段 MN ，AM ，CN 又有怎么样的关量关系？写出你
2
的猜想， 并给予证明。

【解答】问题一
方法一：如图所示
方法二：如图所示
问题二
方法一：
方法二：
【练习3】已知：如图1，正方形ABCD 中，为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG＝CG 且EG⊥CG；
（2）将图1 中△BEF 绕B 逆时针旋转45°，如图2 所示，取DF 中点G，连接EG，CG，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图1 中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？
【解答】
（1）略
（2）方法一：如图所示
方法二：如图所示
（3）
方法一：
方法二：。