电子科技大学随机信号分析中期考题(2011)中期考试评讲

一.（10分）设随机变量X 的概率密度为
1,01()0,x f x other ≤≤⎧=⎨⎩，求：
1． 41Y X =+的概率密度； （5分）
2． Y 的数学期望、方差。

（5分）
解：1、41Y X =+
14Y X -= 14dX dY =
()()Y X dx f y f x dy =⋅
1,154
0,y other ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
2、 []1
012E X xdx ==⎰，122013E X x dx ⎡⎤==⎣⎦⎰
[][]221113412D X E X E X ⎡⎤=-=-=⎣⎦
[][]1414132
E Y E X =+=⨯+= [][][]441163
D Y D X D X =+==
二、 （10分）若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数：
（1）X 为常数c ，即{}1P X c ==；（3分）
（2）（－3，3）伯努利分布：
()0.4(3)0.6(3)f x x x δδ=-++（3
分）
（3）指数分布：303(),0
x
x e f x -≥⎧=⎨⎩其他（4分） 解：（1）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦
（2）()0.4(3)0.6(3)f x x x δδ=-++
()3333()0.40.60.40.6jv jvX jv X j v j v v E e e e e e φ--⎡⎤⎢⎥⎣⎦
==⨯+⨯=+
（3）303(),0x
x e f x -≥⎧=⎨⎩其他
33(),()33X X v v jv jv φφ-==+-
三、（15分）设有随机过程()cos X t A t π=，其中A 是均值为零，方差是2的正态随机变量，求：
（1） X(t)的均值函数和自相关函数；（4分）
（2） X(1)和14X ⎛⎫ ⎪⎝⎭的概率密度函数；（8分）
（3） X(t)是否为广义平稳随机过程？（3分）
解：（1）[()][cos ][]cos 0E X t E A t E A t ππ=== 2(,)[cos ()cos ]
[]cos ()cos 2cos ()cos cos (2)cos X R t t E A t A t E A t t
t t
t τπτππτππτππτπτ+=+=+=+=++
与t 有关
(2 ) 注意正态随机变量的线性变换仍然是正态随机变量。

()()
(,)(,)cos (2)cos X X X X C t t R t t m t m t t τττπτπτ
+=+-+=++ (,)(,)cos(2)1X X C t t R t t t π==+
[(1)]0E X =，[(1)]2Var X =
(
)220224
11(;1)x x f x e e ---⋅∴== 104E X ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，114Var X ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
22(0)212
111(;)4x x f x e e ---⋅∴==
（3）因为(,)cos (2)cos X R t t t τπτπτ+=++ 与t 有关，所以X(t)不是广义平稳随机过程。

四、（15分）已知随机信号0()sin()X t A t ω=+Φ，0ω为常数，Φ是)2,0[π的均匀分布随机变量，讨论当A 满足如下条件时，X(t)的广义平稳性。

1. A 为常数； （5分）
2. A 为时间函数A (t )； （5分）
3. A 为随机变量且A 与Φ独立。

（5分） 解：1、当A 为常数时，
()()()0200
sin 1sin 02E X t E A t A t d π
ωωϕϕπ=+Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=+⋅=⎰ ()()()()()()()()21201022
01201022012,sin sin cos cos 22
cos 2X R t t E A t t A E t t t t A t t ωωωωωωττ⎡⎤=+Φ+Φ⎣⎦
⎡⎤=--++Φ⎣⎦==- 此时X (t )是广义平稳的；
2、当A =A (t )为时间函数时，
()()()()()0200sin 1sin 02E X t E A t t A t t d π
ωωϕϕπ
=+Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=+⋅=⎰ 常数 ()()()()()()()()()()()()()()()()1212120102120120102012,sin sin cos cos 22
cos 2
X R t t E X t X t E A t A t t t A t A t E t t t t A t A t t t ωωωωωτωττ=⎡⎤⎣⎦
=+Φ+Φ⎡⎤⎣⎦
⎡⎤=--++Φ⎣⎦+==-是绝对时刻t 的函数，此时X(t)不是广义平稳的；
3、当A 为随机变量且A 与Φ独立时，
()()[]()0200sin 1sin 02E X t E A t E A t d π
ωωϕϕπ
=+Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=+⋅=⎰
()()()()()()()()()()121220102201201022012,sin sin 1cos cos 22
1cos 2
X R t t E X t X t E A t t E A E t t t t E A t t ωωωωωωττ=⎡⎤⎣⎦
⎡⎤=+Φ+Φ⎣⎦
⎡⎤⎡⎤=--++Φ⎣⎦⎣⎦⎡⎤==-⎣⎦
只与相当位置τ有关
此时X (t )是广义平稳的。

五、（12分）试判断下列函数那些可作为实平稳
过程的自相关函数？为什么？
（1）()()21u u ττ+--； （2）()315e τ-+
（3）e τ
τ-； （4）()2
Sa πτ （5） 2236τ
τ++ （6）21(1),0
,a a others σττ⎧-≤⎪⎨⎪⎩ 解：判断原则：
(1)偶对称性 (2)非负，最大值点 ，()(0)R R τ≤
(3)连续性 (4)周期性
（1）()()21u u ττ+--
该函数不具有偶对称，故非自相关函数。

（2）()315e τ-+
该函数不具有偶对称，故非自相关函数。

（3）e ττ- ()()0R R τ≤不成立，故非自相关函数。

（4）()2Sa πτ 偶函数，()()0R R τ≤，连续。

是自相关函数。

（5）22233166τττ+=-++ ，()()0R R τ≤不成立，故非自相关函数。

（6）21(1),0,a a others σττ⎧-≤⎪⎨⎪⎩
偶函数，()()0R R τ≤，连续。

是自相关函数。

六、（18分）设X (t )是雷达的发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱信号为1(), X t ατ-其中1αα<<是常数且，常数1τ是信号返回时间。

由于接收到的信号伴有噪声，记噪声信号为N (t )，故接收到的信号为1()()()Y t X t N t ατ=-+。

若X (t )
和 N (t )都是零均值的广义平稳随机信号，且相互独立，其中X (t )的自相关函数为()X R τ，N (t )的自相关函数为()N R τ。

（1） 求接收到的信号Y (t )的均值函数和自相关函数；（5分）
（2） 求接收到的信号Y (t )和发射信号X (t )的互相关函数(,)YX R t t τ+（4分）
（3） 判断接收到的信号Y (t )的广义平稳性。

（5分）
（4） 发射信号X (t )和接收到的信号Y (t )是否联合广义平稳。

（4分）
解：(1) X(t)和 N(t)都是零均值的广义平稳随机信号，且相互独立，所以X (t )和 N (t )正交（且联合广义平稳），即
[][]()()0E X t E N t ==
1212(,)(,)0XN NX R t t R t t ==
所以：
[][][][]11()()()()()0E Y t E X t N t E X t E N t ατατ=-+=-+= 常数
()()[][]
[][]121112122
1121112121122
1121212(,)
()()()()()()()()()()()()()(,)(,)()()()
Y X XN NX N X N R t t E X t N t X t N t E X t X t E X t N t E N t X t E N t N t R R t t R t t R R R αταταττατατατατατταττ=-+-+⎡⎤⎣⎦=--+-+-+=+-+-+=+只与相当位置τ有关 （2） []{}[][]111(,)
()()()()()()()()
YX X R t t E X t N t X t E X t X t E N t X t R ταττταττταττ+=+-++=+-++=- 只与相当位置τ有关
（3） 由（1）知，Y(t)均值为常数0，相关函数
只与τ有关，所以Y (t )是广义平稳的随机信号。

（4） 1(,)()YX X R t t R ταττ+=-
又由于X(t)和Y(t)都是广义平稳的随机信号， 所以X(t)和Y(t)是联合广义平稳的随机信号。

七、（10分）随机信号()cos()X t A t ω=与
()()1cos()Y t B t ω=-，其中A 与B 同为均
值2、方差2
σ的高斯随机变量，A 、B 统计独立，ω为非零常数。

（1） 求两个随机信号的均值
()()E X t E Y t ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦、，互相关函数),(21t t R XY 、
互协方差函数12(,)XY C t t ；并讨论两个随机信号的正交性、互不相关性、统计独立性（7分） （2） （3分）求(,;0,0)XY f x y 。

解：（1）
()()[]()()
cos cos 2cos E X t E A t E A t t ωωω==⋅=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()(1)cos cos E Y t E B t t ωω=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()()[][]()()()()1212121212,(1)cos cos 1cos cos 2cos cos 0
XY R t t E X t Y t E A B t t E A E B t t t t ωωωωωω=⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦=⋅-=-⨯≠
()()()()121212,,0XY XY C t t R t t E X t E Y t =-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以，随机信号X(t)与Y(t)不正交，但互不相关，又因为X(t)与Y(t)是高斯随机信号，故两者相互独立。

（2）(0)X A =与()(0)1Y B =-，
[][][]2
(0)2,(0)E X D X D A σ===
[][][][]2
(0)11,(0)1E Y E B D Y D B σ
=-=-=-=
于是，根据独立性，
222
2
22
2
(2)(1)22(2)(1)22(,;0,0)(;0)(;0)1112XY X Y x y x y f x y f x f y e e e σ
σσπσ
-+--
-++-===
八、（10分）已知平稳信号()X t 的自相关函数为
()6exp()2
X R τ
τ=-
；
对于任意给定的t ，求信号四个状态()X t ，
(1)X t +，(2)X t +，(3)X t +的协方差矩阵。

解：
2lim ()0X X
R m
ττ→∞
== ,
()()6exp()
2X X C R τ
ττ==-
又由于协方差矩阵的对称性，得到：
1312
2
11122
1112
2311
22
6666666666666666e
e e e e
e C e e
e e e
e
-----
-------⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭。