2023年安徽中考数学专题01 三角形常见模型综合

培优专题01 三角形常见模型综合
本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中都有考查。

（2022年鄂尔多斯中考试卷第14题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD 中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是．
【模型】倍长中线类模型：∥＋中点→三角形全等
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE ＝EF，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠BCE，
∵∠FED＝∠BEC，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，
在Rt △ABF 中，由勾股定理可得AB ＝12． 故答案为：12．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键。

三角形常见模型是解决中考数学问题的有效“捷径”，因为各个模型总结了不同类题的问题特征，并且给予了问题的解决方向，熟悉模型能有效提高做题速度，节约考试时间。

本考点是中考五星高频考点，难度中等或较大，个别还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。

全等常见模型：
①K 型图：
K 型全等模型变形——三垂定理：
如图，亦有△ADC ≌△CEB(AAS)
总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K 型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系
②手拉手：
模型名称
几何模型
图形特点
具有性质
图形
条件与结论
辅助线
注意事项
条件：AC=BC,AC ⊥BC 结论： △ADC ≌△CEB(AAS) 分别过点A 、B 作AD ⊥l , BE ⊥l
K 型图可以和等腰直角三
角板结合，
也可以和正方形结合
当∠A=∠C 时
△AJB ∽△CJD 性质：
JD
JB
JC
JA CD
AB ==全 等 型 手 拉 手
AD=AE AB=AC ∠BAC=∠DAE
连结BD 、CE ①△ABD ≌△ACE ②△AOB ∽△HOC ③旋转角相等 （即∠1=∠2=∠3） ④A 、B 、C 、D 四点共圆 ⑤AH 平分∠BHE
③倍长中线：
相似常见模型： ①A 字图：
变型
②8字图：
变型
③一线三等角：
3
21321.3.2.1∽△∽△，则△，且如右图，若两相似中，可得三个三角形两中点型“一线三等角”；
≌△时，△如图②，当；
∽△易得△常用结论：右左DC BD CFD BDE DF DE =∠=∠=∠=
基本图形
辅助线
条件与结论
应用环境
延长AD 到点E ， 使DE=AD ，连接CE
条件：△ABC ，AD=BD
结论：
△ABD ≌△CED(SAS)
①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围
②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题
当DE ∥BC 时
△ADE ∽△ABC 性质：
当∠ADE=∠ACB 时
△ADE ∽△ACB 性质：
当AB ∥CD 时
△AOB ∽△DOC 性质：
一般地：当动点E 运动到底边的中点时，
CF 有最大值
BC DE
AC AE AB AD ==①EC
AE
DB
AD =②BC
DE
AB AE AC AD ==OC
OB OD OA CD AB ==
组合常见模型：
①知2得1：
②勾股定理面积应用：
图形
结论
3
2
1
S
S
S=
+
总结当分别以直角三角形的三边为边（或底边、半径）做规则的正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆时，均满足两直角边所做图形的面积和等于斜边所做图形的面积
【中考真题练】
1．（2022•哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD 的长为（）
A．B．4C．D．6
2．（2022•营口）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（）
①AD为角平分线；②DE∥AB；③AE=ED
若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。

即：三条件满足“知2得1”
A．BD＝BC B．AD＝BD C．∠ADB＝108°D．CD＝AD 3．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D 作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（）
A．2+2B．5﹣C．3﹣D．+1 4．（2022•包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1 5．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC．
6．（2022•牡丹江）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEC．
7．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．
8．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE 的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．
9．（2022•哈尔滨）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE．
（1）如图1，求证：△BEO≌△CEO；
（2）如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线
交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．
【中考模拟练】
1．（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝8，△ABC的面积是32，那么这个正方形的边长是（）
A．4B．8C．D．2．（2023•常州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝7，M、N分别为边CD，AB上的点，将四边形ADMN沿MN翻折至四边形EFMN，点E落在BC边上，且BE＝3，则DM的长为（）
A．B．C．D．3．（2023•临清市一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且AE：EB＝1：2，AC与DE相交于点F，S△AEF＝3，则S△ACD为（）
A．9B．12C．27D．36
4．（2023•鹿城区校级模拟）已知△ABC中，D为BC边上一点，连结AD，E，F分别为AB，AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG并延长交AC于点H，若AE：AB＝2：3，CD：BD＝2：3，则GH：BG的值为（）
A．4：9B．4：11C．2：5D．2：3 5．（2023•平阳县一模）如图，以正方形ABCD的两边BC和AD为斜边向外作两个全等的直角三角形BCE和DAF，过点C作CG⊥AF于点G，交AD于点H，过点B作BI⊥CG 于点I，过点D作DK⊥BE，交EB延长线于点K，交CG于点L．若S四边形ABIG＝2S△BCE，GH＝1，则DK的长为（）
A．6B．C．7D．6．（2023•南岗区校级二模）如图，在矩形ABCD中，E是BC中点，G是CD上一点，且∠BAE＝∠EAG，EF⊥AG于点F，若AD＝8，FG＝2，则AE的长为．
7．（2023•庐江县二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF ＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是．
（2）若，则AM＝．
8．（2023•中原区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，有一动点P以2cm/s 的速度沿着B﹣C﹣D的方向移动，连接AP，沿AP翻折△ABP，得到△APB'，则经过s点B′落在边CD所在直线上．
9．（2022•淮安二模）【问题情境】
学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上中线AD的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．思路1：将△ADC绕着点D旋转180°，使得CD和BD重合，得到△EDB…
思路2：延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，根据SAS可证得△ADC≌△EDB…
根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到AD的取值范围为．
【类比探究】
如图②，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，DF是△ADE的边AE上的中线，试探索DF与BC的数量关系，并说明理由．
【迁移应用】
【应用1】如图③，已知⊙O的半径为6，四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形．AD＝8，∠AOD+∠BOC＝180°，求BC的长．
【应用2】如图④，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，BD⊥DE，AE＝a，BC ＝b（a＞b），AB、CE相交于点G，连接DG，若∠BDC的度数发生改变，请问DG是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由．。