初中数学人教九年级下册第二十七章相似-相似三角形的性质

A B
A′ D C
B′
D′ C′
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
【例题】 【例】如图在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D， △ABC的周长是24，面积是 1 2 5 ，求△DEF 的周长和面积.
A D
B
CE
F
【解析】 面 积 为 (1)212535 2
【跟踪训练】
你能类比前 面的方法证 明吗？
相似三角形对应中线的比等于相似比.
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对应高、对 应中线、对应角平分线的比各是多少？ 如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AF和A'F'．
A'
A
B
F
C
B'
猜想 AF k A' F'
F'
C'
你能类比前
面的方法证
高
角平分线
中线
它们的这些几何量之间有什么关系呢？
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对应高、 对应中线、对应角平分线的比各是多少？
如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'． A
则∠ADB =∠A'D'B'.
∵△ABC∽△A'B'C' ∴∠B＝∠B' ∴△ABD∽△A'B'D'
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么 它的三边也扩大为原来的9倍. ( × )
相似三角形(多边形)的性质:
中线
（1）相似三角形对应 高线 的比等于相似比.
角平分线
（2）相似
三角形 的周长的比等于相似比. 多边形
பைடு நூலகம்
（3）相似
三角形 的面积的比等于相似比的平方.
多边形
1.（潍坊·中考）如图，在△ABC中，BC = 2，DE是它的 中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC； ⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1 : 4.其中正确的 有（ ） A.0 个 B.1个 C.2 个 D.3个
AB BC CA k AB BC CA
A
A′
AB k AB BC k BC CA k CA
B
C B′
C′
lABC AB BC CA kAB kBC kCA k lABC AB BC CA AB BC CA
相似三角形周长的比等于相似比.
（1）如图△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们
的面积比是多少？
AB BC CA AD k
A
AB BC CA AD
SABC SABC
1 BC AD
2
kk k2
1 BC AD
B
2
D C B′
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
A′ D′C′
（2）如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相 似比为k，它们的面积比是多少？ k2
诚实无须假手于笔墨，美丽无须借助于粉黛. ——莎士比亚
（1）相似三角形有哪些判定方法？ （2）相似三角形有什么性质？根据是什么？相似多边
形呢？
根据定义：对应角相等， 对应边的比相等.
（3）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比 （4）△ABC与△A′B′C′ 的相似 比为k,则△A′B′C′ 与△ABC的相似比是多少？ 1
k
三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
明吗？
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平 分线的比都等于相似比. 相似三角形对应线段的比等于相似比.
A′
A
B
猜想 C△ABC k C△A' B'C '
C B′
相似三角形 C的′周长有什 么关系？
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
1.（1）已知ΔABC与ΔA′B′C′ 的相似比为2﹕3，则周 长之比为 2﹕3 ，对应边上中线之比为 2﹕3 ，面 积之比为 4﹕9 . （2）已知ΔABC∽ΔA′B′C′，且面积之比为9﹕4，则周 长之比为 3﹕2 ，相似比为 3﹕2 ，对应边上的高线 之比为 3﹕2 .
2.判断题： （1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么 它的周长也扩大为原来的5倍. ( √ )
BD
C
A'
AD AB
k
A' D' A' B'
B' D'
C'
相似三角形对应高的比等于相似比.
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对应高、 对应中线、对应角平分线的比各是多少？
如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AE和A'E'，
A'
A
B
E
C
B'
E'
C'
猜想 AE k A' E'
【解析】选D.由中位线定理可知 DE 1 BC 1,
2
因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC，相似比为 1﹕2，则面积比为相似比的平方即1﹕4.
2.如图，在△ABC中,DE‖BC，且△ADE的面积等于梯形BCED
的面积，则△ADE与△ABC的相似比是__1_:__2__.
A
D B
E C
3.在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由 原图中的2cm变成了6cm,这次复印的放缩比例是多 少?这个多边形的面积发生了怎样的变化? 答案：这次复印后的图形与原图形的比为31，多 边形的面积扩大为原来的9倍.