福建省福州市2019-2020学年高一下期末质量检测数学试题含解析
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福建省福州市2019-2020学年高一下期末质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量 ， ，若 ， ，则 的最大值为( )
A． B． C．4D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，由 可得点 的轨迹方程，再对 两边平方，利用一元二次函数的性质求出最大值，即可得答案.
长方体外接球半径为其体对角线长度的一半
解得：
长方体表面积
本题正确选项：
【点睛】
本题考查与外接球有关的长方体的表面积的求解问题，关键是能够明确长方体的外接球半径为其体对角线长度的一半，从而构造方程求出所需的棱长.
6．数列 ，通项公式为 ，若此数列为递增数列，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可知直线与圆相切，如图，
设直线x+y−2=0与圆 相切于点P，
要使在圆 上存在点N,使得 ，
使得 最大值大于或等于 时一定存在点N，使得 ，
而当MN与圆相切时 ，此时|MP|取得最大值，
则有|MP|≤|OP|才能满足题意，
图中只有在M1、M2之间才可满足，
∴ 的取值范围是[0,2].
故选：D.
9．对于空间中的两条直线 ， 和一个平面 ，下列结论正确的是（）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】
依次分析每个选项中两条直线与平面的位置关系，确定两条直线的位置关系即可.
【详解】
平行于同一平面的两条直线不一定相互平行，
故选项A错误，
平行于平面的直线不一定与该平面内的直线平行，
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，根据数形结合思想，画图进行分析可得，属于中等题.
12．若 ， ， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得出 ，利用基本不等式，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，因为 ，
则
当且仅当 且 即 时取得最小值 .
故选B．
【点睛】
故选项B错误，
垂直于平面的直线，垂直于与该平面平行的所有线，
故选项C正确，
垂直于同一平面的两条直线相互平行，
故选项D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了直线与平面位置关系的辨析，属于基础题.
10．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正四棱锥的特征直接判定即可.
A．1024B．2012C．2026D．2036
【答案】C
【解析】
【分析】
根据优数的定义，结合对数运算，求得 的范围，再用等比数列的前 项和公式进行求和.
【详解】
根据优数的定义，
令 ，则可得
令 ，解得
则在 内的所有“优数”的和为：
故选：C.
【点睛】
本题考查新定义问题，本质是考查对数的运算，等比数列前 项和公式.
【详解】
设 ， ，
∵ ，∴ ，
整理得： .
∵ ，
∴ ，
当 时， 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.
2．已知全集 ，则集合
A． B． C． D．
14．若 ，则 __________．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
把分子的1换成 ，然后弦化切，代入计算．
【详解】
．
故答案为－1．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值．解题关键是“1”的代换，即 ，然后弦化切．
15．102,238的最大公约数是________．
【答案】34
【解析】
试题分析：根据辗转相除法的含义，可得238=2×102+34，102=3×34，所以得两个数102、238的最大公约数是34.
【详解】
正四棱锥俯视图可以看到四条侧棱与顶点,且整体呈正方形.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正四棱锥的俯视图,属于基础题.
11．设点M是直线 上的一个动点，M的横坐标为 ，若在圆 上存在点N，使得 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意画出图形，根据直线与圆的位置关系可得相切，设切点为P,数形结合找出M点满足|MP|≤|OP|的范围,从而得到答案．
4． 表示不超过 的最大整数，设函数 ，则函数 的值域为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可证 是奇函数， 是互为相反数，对 是否为正数分类讨论，即可求解.
【详解】
的定义域为 ，
,
， 是奇函数，
设 ，若 是整数，则 ，
若 不是整数，则 .
的值域是 .
故选:D.
【点睛】
本题考查函数性质的应用，考查对新函数定义的理解，考查分类讨论思想，属于中档题.
【解析】
因为 的对称轴为 ,因为此数列为递增数列,所以 .
7．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n ∈N＋)，那么a4的值为( )．
A．4B．8C．15D．31
【答案】C
【解析】
试题分析： ， ， ，故选C.
考点：数列的递推公式
8．已知数列 的通项为 ，我们把使乘积 为整数的 叫做“优数”，则在 内的所有“优数”的和为（）
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用集合补集的定义求解即可.
【详解】
因为全集 ，
所以0，2属于全集且不属于集合A,
所以集合 ，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查集合补集的定义，属于基础题.
3．在 中， ,则 =（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
解：因为由正弦定理 ，所以
又ｃ＜ａ
所以 ，
所以
本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题
13．函数f(x)＝cos cos 的最小正周期为________．
【答案】2
【解析】
f(x)＝cos cos ＝cos ·sin ＝ sinπx，最小正周期为T＝ ＝2
5．一个长方体长、宽分别为5，4，且该长方体的外接球的表面积为 ，则该长方体的表面积为（）
A．47B．60C．94D．198
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球的表面积公式求得半径 ，利用 等于体对角线长度的一半可构造方程求出长方体的高，进而根据长方体表面积公式可求得结果.
【详解】
设长方体高为 ，外接球半径为 ，则 ，解得：
故答大会（简称 ）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中 ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记 的长度构成数列 ，则此数列的通项公式为 _____．
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量 ， ，若 ， ，则 的最大值为( )
A． B． C．4D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，由 可得点 的轨迹方程，再对 两边平方，利用一元二次函数的性质求出最大值，即可得答案.
长方体外接球半径为其体对角线长度的一半
解得：
长方体表面积
本题正确选项：
【点睛】
本题考查与外接球有关的长方体的表面积的求解问题，关键是能够明确长方体的外接球半径为其体对角线长度的一半，从而构造方程求出所需的棱长.
6．数列 ，通项公式为 ，若此数列为递增数列，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可知直线与圆相切，如图，
设直线x+y−2=0与圆 相切于点P，
要使在圆 上存在点N,使得 ，
使得 最大值大于或等于 时一定存在点N，使得 ，
而当MN与圆相切时 ，此时|MP|取得最大值，
则有|MP|≤|OP|才能满足题意，
图中只有在M1、M2之间才可满足，
∴ 的取值范围是[0,2].
故选：D.
9．对于空间中的两条直线 ， 和一个平面 ，下列结论正确的是（）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】
依次分析每个选项中两条直线与平面的位置关系，确定两条直线的位置关系即可.
【详解】
平行于同一平面的两条直线不一定相互平行，
故选项A错误，
平行于平面的直线不一定与该平面内的直线平行，
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，根据数形结合思想，画图进行分析可得，属于中等题.
12．若 ， ， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得出 ，利用基本不等式，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，因为 ，
则
当且仅当 且 即 时取得最小值 .
故选B．
【点睛】
故选项B错误，
垂直于平面的直线，垂直于与该平面平行的所有线，
故选项C正确，
垂直于同一平面的两条直线相互平行，
故选项D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了直线与平面位置关系的辨析，属于基础题.
10．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正四棱锥的特征直接判定即可.
A．1024B．2012C．2026D．2036
【答案】C
【解析】
【分析】
根据优数的定义，结合对数运算，求得 的范围，再用等比数列的前 项和公式进行求和.
【详解】
根据优数的定义，
令 ，则可得
令 ，解得
则在 内的所有“优数”的和为：
故选：C.
【点睛】
本题考查新定义问题，本质是考查对数的运算，等比数列前 项和公式.
【详解】
设 ， ，
∵ ，∴ ，
整理得： .
∵ ，
∴ ，
当 时， 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.
2．已知全集 ，则集合
A． B． C． D．
14．若 ，则 __________．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
把分子的1换成 ，然后弦化切，代入计算．
【详解】
．
故答案为－1．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值．解题关键是“1”的代换，即 ，然后弦化切．
15．102,238的最大公约数是________．
【答案】34
【解析】
试题分析：根据辗转相除法的含义，可得238=2×102+34，102=3×34，所以得两个数102、238的最大公约数是34.
【详解】
正四棱锥俯视图可以看到四条侧棱与顶点,且整体呈正方形.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正四棱锥的俯视图,属于基础题.
11．设点M是直线 上的一个动点，M的横坐标为 ，若在圆 上存在点N，使得 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意画出图形，根据直线与圆的位置关系可得相切，设切点为P,数形结合找出M点满足|MP|≤|OP|的范围,从而得到答案．
4． 表示不超过 的最大整数，设函数 ，则函数 的值域为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可证 是奇函数， 是互为相反数，对 是否为正数分类讨论，即可求解.
【详解】
的定义域为 ，
,
， 是奇函数，
设 ，若 是整数，则 ，
若 不是整数，则 .
的值域是 .
故选:D.
【点睛】
本题考查函数性质的应用，考查对新函数定义的理解，考查分类讨论思想，属于中档题.
【解析】
因为 的对称轴为 ,因为此数列为递增数列,所以 .
7．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n ∈N＋)，那么a4的值为( )．
A．4B．8C．15D．31
【答案】C
【解析】
试题分析： ， ， ，故选C.
考点：数列的递推公式
8．已知数列 的通项为 ，我们把使乘积 为整数的 叫做“优数”，则在 内的所有“优数”的和为（）
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用集合补集的定义求解即可.
【详解】
因为全集 ，
所以0，2属于全集且不属于集合A,
所以集合 ，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查集合补集的定义，属于基础题.
3．在 中， ,则 =（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
解：因为由正弦定理 ，所以
又ｃ＜ａ
所以 ，
所以
本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题
13．函数f(x)＝cos cos 的最小正周期为________．
【答案】2
【解析】
f(x)＝cos cos ＝cos ·sin ＝ sinπx，最小正周期为T＝ ＝2
5．一个长方体长、宽分别为5，4，且该长方体的外接球的表面积为 ，则该长方体的表面积为（）
A．47B．60C．94D．198
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球的表面积公式求得半径 ，利用 等于体对角线长度的一半可构造方程求出长方体的高，进而根据长方体表面积公式可求得结果.
【详解】
设长方体高为 ，外接球半径为 ，则 ，解得：
故答大会（简称 ）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中 ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记 的长度构成数列 ，则此数列的通项公式为 _____．