制图基础知识：点直线平面的投影
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点、直线、平面的投影
2.1 投影的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
1
2.1 投影的基本知识
一、投影的概念 利用投射线在投影面上产生物体投影的
方法称为投影法
2
二、投影的分类
1.中心投影法
S
投影中心
投射线
B A C
物体 投影 P
c
b a
投影面
中心投影法
用于画透视图
3
Y=0,Z=0 Z=0
● 8 ● 3 5 ● 4 ●
●
●
12
● ●
7
16
二、两点的相对位置
△X=|XA-XB| △Y=|YA-YB| △Z=|ZA-ZB|
以A点为基准，B点在A点的右、前、上方。
17
三、重影点
当Xa=Xb、Ｚa=Zb、 Ya≠Yb时，点在Ｖ面重影。 当Xa=Xb 、Ya=Yb 、Za≠Zb时，点在Ｈ面重影。 当Ya=Yb 、Za=Zb 、Xa≠Ｘb时，点在Ｗ面重影。
az a′
2．点到投影面的距离等于点的投影 到投影轴的距离。
Z
a〞 ax X a A ay Y
点的三面投影
14
点的三面投影图
例2-1 已知点A的正面投影a’和水平投影a，求A的侧面投影a”。
●
15
例2-2 已知点A的坐标（5，7，4）；点B的坐标（12，3，0），点C 的坐标（8，0，0），求作各点的三面投影图。 分析点A位空间点，B在H面上，C在X轴上。
31
三、两直线的相对位置
１．两直线平行
如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定 相互平行；反之，如果两直线的各同面投影相互平行， 则两直线在空间一定相互平行。
２．相交两直线
如果空间两直线相交，则它们的同面投影必定相交， 且交点符合点的投影规律；反之，如果空间两直线的各 同面投影均相交，且交点符合点的投影规律，则这两直 线在空间一定相交。
4．点在直线上，其投影必在该直线的同面投影上。（从属性）
直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。（定比性）
20
一、直线的三面投影及投影特征
Z b′ B a′ β b〞
γ α
b a〞
X
A
a
Y
1、一般位置直线 ∠Ｖ、Ｈ、Ｗ 直线 类似性 α、β、γ 在三投影面上都不反映真实大小
21
二、直线上的点
返回
18
前课复习
平面图形分析及绘制
本课预告
直线的投影
X平线、X垂线、定比性
点的三面投影
两点的相对位置
上下、前后、左右、重影
两直线相对位置
平行、相交、交叉
面的投影
X垂面、X平面
2.3 直线的投影
直线的投影特征
Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ
１
Ｂ
Ａ Ａ
b a
Ｃ ２
b a
a (b)
a
１ c
２
b
Ｐ
直线的投影特征 1．AB∥P 直线 2．AB∠P 直线 3．AB⊥P 直线 实形性——投影面的平行线 类似性——一般位置直线 积聚性——投影面的垂直线
7
3.类似性
当直线或平面倾斜于投影面时，直线的投影短于实 长，平面的投影为平面图形的类似形，面积小于实形。
（a）
8
4.平行性 空间相互平行的直线，其投影一定平行。
AB//CD,则ab//cd
9
4.从属性、定比性 点在线上，点的投影在线的同名投影上。 点分线段的比，投影后保持不变。
返回
H∈EF,则h∈ef； eh:hf =EH:HF
Z
Z
V a′
az
a〞W a′
az
X
ax O
ayw
a〞
YW
ax
X
A ay a Y
H
a
ayh
YH
三投影面的展开
点的三面投影
13
3．点的直角坐标和投影规律
a′a⊥ox a′a〞⊥oz 1．点的投影连线垂直于投影轴。
Ａa′=aax=a〞az=oy Aa=a′ax=a〞ay=oz Aa〞=a′az=aay=ox
AB∥CD
kk’⊥OX
故
AB∥CD
●
a’2=cd a’1=c’d’ a’3=ab ab:cd=a’b’:c’d’ 故
●
AB∥CD
40
例2-5 已知直线AB、CD的两面投影和点E的水平投影e，求 作直线EF与CD平行，并与AB相交于点F。
f
ef∥cd e’f’∥c’d’
●
●
f’
e’
●
返回
41
2.4 平面的投影
10
2.2 点的投影
点的一个投影不能唯一确定点的空间位置，至少需 要两个投影。
11
一、点在三投影面体系中的投影
1．三投影面体系的建立
Z
Z
V
W
O
X
O
YW
X H
YH
Y
三投影面的展开
三投影面体系的建立
12
2. 点的三面投影 从前向后投影—Ｖ（正面）—正面投影 从上向下投影—Ｈ（水平面）—水平投影 从左向右投影—Ｗ（侧面）—侧面投影
点在直线上，则点的各个投影必 在该直线的同面投影上，且点分 直线段长度之比等于其投影分直 线段投影长度之比。 ● ●
●
●
AC:CB=ac:cb=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”
30
例2-3 已知线段AB的投影，试将AB分成1：3两段，求分 点C的投影
●
aC0 ：C0B0 =1：3 B0b∥ L0 L0 ●
一、平面的表示法
Ｐ
1、几何要素表示
42
2 .平面的线迹表示法
空间的平面和投影面的交线，称为平面的迹线。平面与H面的交线， 称为水平迹线；平面与V面的交线，称为正面迹线；平面与W面的交线， 称为侧面迹线。如图所示，如果平面用P标记，则其三条迹线分别用PH、 PV、PW标记。 由于平面的迹线是投影面上的直线，所以它的一个投影和其本身重 合，另外两个投影与相应的投影轴重合，如PV,其V面投影PV与它本身重合， H、W面投影分别与OX、OZ轴重合。 如图所示，为了简化起见，在投影图上，通常只画出与迹线自身重 合的那个投影，并进行标记，而和投影轴重合的投影不加标记。
３．交叉两直线
既不平行又不相交的两直线。
32
2.2 直线的投影（习题册P9）
36
2.2 直线的投影（习题册P9）
37
2.2 直线的投影（习题册P9）
38
2.2 直线的投影（习题册P9）
39
例2-4 判断两侧平线AB、CD的相对位置。
方法一： ● ● ● ●
k
方法二：
方法三：
k’
a”b”∥c”d” 故
•投影特性 • 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 • 度量性较好
(a)．斜投影
（c） 正投影
平行投影法
斜投影 正投影
用于画斜轴测图 用于画工程图样及正轴测图
6
三、正投影法的基本性质
1.实形性
当直线或平面平行于投影面时，其投影反映原线段的 实长或原平面图形的实形。 2.积聚性
当直线、平面垂直于投影面，则投影分别积聚为点、 直线。
S
物体位置改变， 投影大小也改变
S
B
B A C A
C
b a c
P
a
b c
P
(b)．中心投影
•投影特性 • 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影 的大小有影响。 • 度量性较差
4
5
2.平行投影法
倾投 斜射 于线 投互 影相 面平 行 且
B A
B
A C
C
b a
P
c
ab cP垂投 直射 于线 投互 影相 面平 行 且
2.1 投影的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
1
2.1 投影的基本知识
一、投影的概念 利用投射线在投影面上产生物体投影的
方法称为投影法
2
二、投影的分类
1.中心投影法
S
投影中心
投射线
B A C
物体 投影 P
c
b a
投影面
中心投影法
用于画透视图
3
Y=0,Z=0 Z=0
● 8 ● 3 5 ● 4 ●
●
●
12
● ●
7
16
二、两点的相对位置
△X=|XA-XB| △Y=|YA-YB| △Z=|ZA-ZB|
以A点为基准，B点在A点的右、前、上方。
17
三、重影点
当Xa=Xb、Ｚa=Zb、 Ya≠Yb时，点在Ｖ面重影。 当Xa=Xb 、Ya=Yb 、Za≠Zb时，点在Ｈ面重影。 当Ya=Yb 、Za=Zb 、Xa≠Ｘb时，点在Ｗ面重影。
az a′
2．点到投影面的距离等于点的投影 到投影轴的距离。
Z
a〞 ax X a A ay Y
点的三面投影
14
点的三面投影图
例2-1 已知点A的正面投影a’和水平投影a，求A的侧面投影a”。
●
15
例2-2 已知点A的坐标（5，7，4）；点B的坐标（12，3，0），点C 的坐标（8，0，0），求作各点的三面投影图。 分析点A位空间点，B在H面上，C在X轴上。
31
三、两直线的相对位置
１．两直线平行
如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定 相互平行；反之，如果两直线的各同面投影相互平行， 则两直线在空间一定相互平行。
２．相交两直线
如果空间两直线相交，则它们的同面投影必定相交， 且交点符合点的投影规律；反之，如果空间两直线的各 同面投影均相交，且交点符合点的投影规律，则这两直 线在空间一定相交。
4．点在直线上，其投影必在该直线的同面投影上。（从属性）
直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。（定比性）
20
一、直线的三面投影及投影特征
Z b′ B a′ β b〞
γ α
b a〞
X
A
a
Y
1、一般位置直线 ∠Ｖ、Ｈ、Ｗ 直线 类似性 α、β、γ 在三投影面上都不反映真实大小
21
二、直线上的点
返回
18
前课复习
平面图形分析及绘制
本课预告
直线的投影
X平线、X垂线、定比性
点的三面投影
两点的相对位置
上下、前后、左右、重影
两直线相对位置
平行、相交、交叉
面的投影
X垂面、X平面
2.3 直线的投影
直线的投影特征
Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ
１
Ｂ
Ａ Ａ
b a
Ｃ ２
b a
a (b)
a
１ c
２
b
Ｐ
直线的投影特征 1．AB∥P 直线 2．AB∠P 直线 3．AB⊥P 直线 实形性——投影面的平行线 类似性——一般位置直线 积聚性——投影面的垂直线
7
3.类似性
当直线或平面倾斜于投影面时，直线的投影短于实 长，平面的投影为平面图形的类似形，面积小于实形。
（a）
8
4.平行性 空间相互平行的直线，其投影一定平行。
AB//CD,则ab//cd
9
4.从属性、定比性 点在线上，点的投影在线的同名投影上。 点分线段的比，投影后保持不变。
返回
H∈EF,则h∈ef； eh:hf =EH:HF
Z
Z
V a′
az
a〞W a′
az
X
ax O
ayw
a〞
YW
ax
X
A ay a Y
H
a
ayh
YH
三投影面的展开
点的三面投影
13
3．点的直角坐标和投影规律
a′a⊥ox a′a〞⊥oz 1．点的投影连线垂直于投影轴。
Ａa′=aax=a〞az=oy Aa=a′ax=a〞ay=oz Aa〞=a′az=aay=ox
AB∥CD
kk’⊥OX
故
AB∥CD
●
a’2=cd a’1=c’d’ a’3=ab ab:cd=a’b’:c’d’ 故
●
AB∥CD
40
例2-5 已知直线AB、CD的两面投影和点E的水平投影e，求 作直线EF与CD平行，并与AB相交于点F。
f
ef∥cd e’f’∥c’d’
●
●
f’
e’
●
返回
41
2.4 平面的投影
10
2.2 点的投影
点的一个投影不能唯一确定点的空间位置，至少需 要两个投影。
11
一、点在三投影面体系中的投影
1．三投影面体系的建立
Z
Z
V
W
O
X
O
YW
X H
YH
Y
三投影面的展开
三投影面体系的建立
12
2. 点的三面投影 从前向后投影—Ｖ（正面）—正面投影 从上向下投影—Ｈ（水平面）—水平投影 从左向右投影—Ｗ（侧面）—侧面投影
点在直线上，则点的各个投影必 在该直线的同面投影上，且点分 直线段长度之比等于其投影分直 线段投影长度之比。 ● ●
●
●
AC:CB=ac:cb=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”
30
例2-3 已知线段AB的投影，试将AB分成1：3两段，求分 点C的投影
●
aC0 ：C0B0 =1：3 B0b∥ L0 L0 ●
一、平面的表示法
Ｐ
1、几何要素表示
42
2 .平面的线迹表示法
空间的平面和投影面的交线，称为平面的迹线。平面与H面的交线， 称为水平迹线；平面与V面的交线，称为正面迹线；平面与W面的交线， 称为侧面迹线。如图所示，如果平面用P标记，则其三条迹线分别用PH、 PV、PW标记。 由于平面的迹线是投影面上的直线，所以它的一个投影和其本身重 合，另外两个投影与相应的投影轴重合，如PV,其V面投影PV与它本身重合， H、W面投影分别与OX、OZ轴重合。 如图所示，为了简化起见，在投影图上，通常只画出与迹线自身重 合的那个投影，并进行标记，而和投影轴重合的投影不加标记。
３．交叉两直线
既不平行又不相交的两直线。
32
2.2 直线的投影（习题册P9）
36
2.2 直线的投影（习题册P9）
37
2.2 直线的投影（习题册P9）
38
2.2 直线的投影（习题册P9）
39
例2-4 判断两侧平线AB、CD的相对位置。
方法一： ● ● ● ●
k
方法二：
方法三：
k’
a”b”∥c”d” 故
•投影特性 • 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 • 度量性较好
(a)．斜投影
（c） 正投影
平行投影法
斜投影 正投影
用于画斜轴测图 用于画工程图样及正轴测图
6
三、正投影法的基本性质
1.实形性
当直线或平面平行于投影面时，其投影反映原线段的 实长或原平面图形的实形。 2.积聚性
当直线、平面垂直于投影面，则投影分别积聚为点、 直线。
S
物体位置改变， 投影大小也改变
S
B
B A C A
C
b a c
P
a
b c
P
(b)．中心投影
•投影特性 • 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影 的大小有影响。 • 度量性较差
4
5
2.平行投影法
倾投 斜射 于线 投互 影相 面平 行 且
B A
B
A C
C
b a
P
c
ab cP垂投 直射 于线 投互 影相 面平 行 且