控制系统的能控性与能观性

然是不能控的，即该系统的状态是不 完全能控的。
▪ 式（3-2）表示的系统中，没有孤立的部分， 状态变量 x2 直接受控于 u(t) ，状态变量 x1 通过 x2 等受控于 u(t) ，也就是说改变 u(t) 即
可改变系统的状态。因此，该系统是完全能 控的。
▪ 注意到（3-1）中的A是对角线型，（3-2）中的A是 约当标准型，因此，可总结出系统能控性的判别准 则如下：
▪ 根据所要解决的问题需要，常常将状态空 间表达式变换成一些特定的形式，前边讲 述的约旦标准型不仅容易计算状态转移矩 阵，求解状态方程，而且对于可控性和可 观性的分析也是十分方便的。然而对于后 续要讲解的状态反馈和状态观测器来说， 需要新的形式，即：能控标准型和能观标 准型。
▪ 一、能控标准型
▪ 1. 能控标准Ⅰ型
y
1 0
1 1
0 1
x
2 1 0 0 0 0 1
0
2
1
0
0
0 0
x& 0 0 2 0 0 x 3 0 u
0
0
0
5
1
0 0
0 0 0 0 5 2 1
y [1 0 1 0 2]x
系统能控能观性与传递函数的关系
▪ 传递函数的实现可有无穷多，若传递函数 没有零极点对消现象，则传递函数的阶次 最低，由此得到状态方程的维数也最低， 称为最小实现。最小实现所得到的状态空 间表达式必定是能控和能观的；
x&
1
0
1
1
x
0 b2
u;
y
c1
c2 x
画出模拟结构图
（3-2）
u b2
x1
c1
1
x2
c2
y
2
u b2
x2
1
c2
x1 c1
y
1
▪ 由图可以看出: (3-1) 的系统模拟结构 图中状态变量 x1 是一个与 u(t) 无任 何联系的孤立部分，也就是说 x1 不 受 u(t)的控制，因此，x1 是不能控的。 尽管 x2受到的 u(t) 控制，但整个系统仍
▪ 如图中的初始状态 P1
点能在输入的作用
P2
下被驱动到终端状
态 P2。显然可以有
多种输入，只要能
够达到这个目的，
就说明系统是能控
的。
x2
x1
P1
二、线性定常系统的能控性判别
▪ 1. 图形判断和约当标准型判断 ▪ 例：已知系统的状态方程为：
（3-1） x&
1
0
0
2
x
0 b2
u;
y
c1
c2 x
2 4 16
Tc2 B
AB
A2B 1
6
8
1 2 12
0 0 a0 0 0 2
A 1
0
a1
1
0
9
0 1 a2 0 1 0
1
B 0，C CTc2 1 2 12
0
（4）写出能控标准Ⅱ型
0 0 2 1
▪ 解：（1）判别系统的能控性
2 4 16
M B
AB
A2B 1
6
8
1 2 12
2 4 16 2 4 16 2 4 16
1 6
8
~
0
8
0
~
0
4
4
1 2 12 0 4 4 0 0 8
▪ rankM 3 满秩，所以系统能控。 ▪ （2）计算系统的特征多项式 I A 2 9 2
▪ 得： a2 0，a1 9，a0 2
▪ 对于
x& Ax Bu
x Tc1x
y Cx
1
▪ 是能控的，则存在线性非奇异变换
an1 1
Tc1 An1B An2B L
B
M a2
a3
O L
O
a1 a2 L an1 1
▪ 使其状态空间表达式化成 x& Ax Bu y Cx
▪ 其中
0
0
A
T 1 c1
ATc1
M 0
a0
1L 01
1 a2 a1 a22 系统是完全能控的。
▪ 例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性
2 1 3 2 5 4
[B
AB
A2
B]
1
1
2
2
4
4
-1 -1 -2 -2 -4 -4
▪ 系统的能控矩阵M的秩等于2，即rankM=2，所 以系统是不完全能控的。
▪ 3. 通过系统的输入和状态矢量间的传递函数来判别 系统的能控性
AT CT L
( An1)T CT T
满秩，即RankN=n。
x&
1 2
1 0 1 x 1 u
y 1 0 x
N
C CA
1 0
1 1
rankN=2，满秩，系统是能观的。
▪ 状态能观性实例
x&
1
0
0 2 2 x 5 u
y 2 3 x
1 1 0 0
x&
0
1
0
x
4
u
0 0 2 3
3.1 线性定常连续系统的能控性
▪ 状态方程描述了输入 u(t) 引起状态 x(t) 的变化过程，输出方程描述了由状态变 化引起的输出 y(t) 的变化。能控性和能 观性正是分析 u(t) 对状态 x(t) 的控制能 力以及输出 y(t) 对状态 x(t) 的反映能力。 要看看通过输入 u(t) 是否可以控制状 态 x(t) ，通过输出 y(t) 是否可以观测到 状态 x(t) 。
▪ 状态完全能控
x&
1
0
0 2 2 x 5 u
1 1 0 0
x&
0
1
0
x
4 u
0 0 2 3
2 1 0 0 0 0 1
0
2
1
0
0
0 0
x& 0 0 2 0 0 x 3 0 u
0
0
0
5
1
0 0
0 0 0 0 5 2 1
▪ 状态不完全能控
x&
1
0
0 2
x
2 0
u
1 1 0 4
▪ 二、定常系统的能观性判别
▪ 1. 图形判别法
▪
例：
x&
2
0
0 3
x
1 1
u
x&
2
0
0 3
x
1 1
u
y 1 1 x
y 4 0 x
x1
x1
4
y
u
y
2
u
2
x2
x2
3 3
x x 第我一们个可图以由通y过可输以出观来测获到得全1 部和的状2 ，态也变就量是信说息两，个第状二态个变图量只都能对观输测出到产x1生。影响，
1 a2s2
a1s
a0
s
s2
▪ （1）的传递函数矩阵中有相同的零点和极点，系统不能控。 ▪ （2）的传递函数没有极点和零点可以对消的，所以系统能控。
▪ 总结
▪ 系统能控性完全取决于系统的结构、参数以及控制 作用的施加点；
▪ A为对角阵情况下，若B阵存在全为0的行，则与之 对应的状态方程必为齐次方程，即与u(t)无关，系 统一定不完全能控；
▪ （3）求变换矩阵 Tc1 和 A，B，C
1 0 0 16 4 2 1 0 0 2 4 2
Tc1 A2B
AB B a2
1
0
8
6
1
0
1
0
1
6
1
a1 a2 1 12 2 1 9 0 1 3 2 1
0 1 0 0 1 0
A
0
0
1
0
0 1
a0 a1 a2 2 9 0
0
B 0，C CTc1 3 2 1
则称系统1,2互为对偶，即系统1的能控性（能观 性），等价于系统2的能观性（能控性）。
对偶系统的特点
对偶关系，意味着输入输出端的互换，信号传 递的反向，信号引出点和比较点的互换，以及 对应矩阵的转置；
对偶系统的传递函数阵互为转置； 对偶系统的特征值是相同的。
u1 B1
x1
x1
C1
y1
A1
3.3 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
▪ （1）图形判别法：系统模拟结构图中如果没有孤 立部分，系统是能控的，否则是不能控的。
▪ （2）约当标准型系统能控性判据：若系统矩阵A的 特征值互异，则系统能控性的充要条件为变换为约 当标准型之后的控制矩阵的各行元素没有全为0的； 若系统的特征值为重根，则系统完全能控的充要条 件是变换为约当标准型后的控制矩阵的最后一行元 素不全为0。
▪ 例：（1）
x&
4
1
5 5
0
x
1
u
（2）
x&
0 0
1 0
0 0
1
x
0
u
a0 a1 a2 1
Wux (s) (sI A)1 B
s 4 51 5
1
s
1
s 1 0 1 0Wux(s)来自0s1
0
a0 a1 s a2 1
1
(s
1 5)(s
1)
5(s 1)
(s 1)
s3
y Cx
▪ 是能控的，则存在线性非奇异变换
x Tc2x B AB L An1B x
▪ 使其状态空间表达式化成 x& Ax Bu y Cx
▪ 其中
0 0 L
1 0 L
A
T 1 c2
ATc
2
0
M
1 M
L L
L
0 a0
0
a1
0 M
a2 M
1 an1
1
0
B Tc21B 0
M
0
C CTc2 0
0L a1 L
L O 0 an2
1
an1
0
0
B
T 1 c1
B
M 0
1
C CTc1 b0 b1 L bn1
▪ 这样的状态空间表达式称为能空标准Ⅰ型，ai 是特征方程的系数。
▪ 例：将下列状态空间表达式变换成能控标准Ⅰ型
1 2 0 2 x& 3 1 1 x 1 u
0 2 0 1
y 0 0 1 x
▪ 2、转换成约旦标准型的判别方法
▪ 例:
x&
2
0
0 3
x
1 1
u
x&
2
0
0 3
x
1 1
u
y 1 1 x
y 4 0 x
▪ 这两道题本身就是对角线型的系统矩阵，因此，系统能观的
充要条件就是：输出矩阵C中没有全为零的列。如果系统的
特征矢量相等，如下：
x&
1
0
1
1
x
b1 b2
u
u
b1
▪ 一个系统的传递函数阵所表示的是该系统 既能控又能观的那一部分子系统（卡尔曼吉伯特定理）。
系统能控性与能观性的对偶关系
▪ 卡尔曼对偶原理
若有两系统 x&1 A1x1 B1u1 x&2 A2x2 B2u2
y1 C1x1
y2 C2x2
满足条件 A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
x&
0
1
0
x
0
u
0 0 2 3
2 1 0 0 0 0 1
0
2
1
0
0
0 0
x& 0 0 2 0 0 x 3 0 u
0
0
0
5
1
2 1
0 0 0 0 5 0 0
注意
▪ 当矩阵B为单列矩阵时，若系统矩阵A有相同的特征 值，则上述准则不成立。
▪ 若系统矩阵A的约当标准型有两个约当块的特征值 相同，则上述准则不成立。
一、定义:设 x Ax Bu (x Rn,u R p , A Rnn ) 若存在一分段连续控制向量 u(t)，能在[t0,t f ]内， 将系统从任意的初态 x(t0) 转移至任意终态 x(t f )，
则称此状态是能控的。若系统的所有状 态都是能控的，则称此系统是状态完全 能控的，简称系统能控。 实际上就是说：状态变量受输入量 u(t) 的控制，则该状态变量可控，所有的状 态变量可控的话，就是系统可控。
▪ 满秩，即rankM=n，否则系统为不能控的。
▪ 例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性
0 1 0 0
x&
0
0
1
x
0
u
a0 a1 a2 1
0
0
B 0
AB
1
1
a2
1
A2
B
a2
a1 a22
0 0 M 0 1
1 a2
▪ 系统的能控矩阵M的秩等 于3，即rankM=3，所以
1
▪ （4）写出能控标准Ⅰ型
0 1 0 0
x&
0
0 1 x 0 u
2 9 0 1
y 3 2 1 x
▪ 同时由能控标准Ⅰ型可以很方便地写出系统的传递函数
W (s)
b2s2 b1s b0
s2 2s 3
s3 a2s2 a1s a0 s3 9s 2
▪ 2. 能控标准Ⅱ型 ▪ 对于 x& Ax Bu
▪ 如下面系统不可控
x&
2
0
0 2
x
2 1
u
3 1 0 0
x&
0
3
0
x
1
u
0 0 3 3
▪ 2. 直接从A与B判别系统的能控性
▪ 前面已经看到，系统是否能控取决于系统 矩阵A和控制矩阵B，可以证明：线性定常 系统能控的充要条件是由A、B构成的能控 矩阵
M B AB A2B L An1B
1 L
n1
▪ 这样的状态空间表达式称为能空标准Ⅱ型，ai 是特征方程的系数。
▪ 例：将下列状态空间表达式变换成能控标准型
1 2 0 2 x& 3 1 1 x 1 u
0 2 0 1
y 0 0 1 x
▪ 解：（1）判别系统的能控性
▪
（2）计算系统的特征多项式系数
▪
（3）求变换矩阵 Tc2 和 A，B，C
▪ A为约当阵情况下，若B阵对应最后一行全为0，则 系统为不完全能控；
▪ 不能控的状态，在方块图中表现为存在与u(t)无关 的独立块；
▪ 若系统状态方程为能控标准型，系统一定是完全能 控的。
3.2 线性连续定常系统的能观性
▪ 一、能观性的定义
▪ 对于任意给定的输入 u(t) ，在有限观测时
间 t f t0 ，使得根据 [t0 ,t f ] 期间的输出 y(t)能 唯一地确定系统在初始时刻的状态 x(t0) ，则 称状态 x(t0) 是能观测的。若系统的每一个状 态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测 的，简称系统能观。
x1
c1
1
y
y c1 c2 x
显然，只有 c1 0 时，系统才可观，
b2
否则系统不可观。也就是说输出矩
阵C中，对应每个约旦块开头的一列
的元素不全为零，系统可观。
x2 c 2