七年级下不等式(组)的解.doc

辅导讲义
知识点二、不等式的性质
1、不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子
1、由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、一元一次不等式组的两个步骤：
（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集。

二、同步题型分析
题型1：不等式的变形
例若a>b，试比较下列各题中两个代数式的大小.
(1)a+c与b+c；(2)3a与3b；(3)-a与-b；(4)ac与bc.
【解答】1、(1)不等式a>b两边都加上c，根据不等式性质1可知a+c>b+c；
(2)不等式a>b两边都乘以3，根据不等式性质2可知3a>3b；
(3)不等式a>b两边都乘以-1，根据不等式的基本性质3可知-a<-b；
(4)分三种情况，①若c>0，不等式a>b两边都乘以c，得ac>bc；
②若c=0，不等式a>b两边都乘以c，得ac=bc=0；
③若c<0，不等式a>b两边都乘以c，得ac<bc.
【点评】解答这类题应根据不等式的变形要求灵活选择运用不等式的性质.对于第(4)题，因c的值没有确定，还应分类讨论.
巩固说出下列变形的依据：
(1)由x-7<1，得x<8；
(2)由x+2>=4，得x>=2；
(3)由4x>=2，得；
(4)由-3x≤3，得x>=-1；
(5)由-2x-5<1，得x>-3.
【分析】用不等式的基本性质解答.
【解答】1、解：(1)由x-7<1，得x<8的依据是不等式的基本性质1，不等式两边都加上7得到的. (2)由x+2>=4，得x>=2的依据是不等式的基本性质1，不等式两边都减去2得到的.
(3)由4x>=2，得的依据是不等式的基本性质2，不等式两边都除以4得到的.
(4)由-3x≤3，得x>=-1的依据是不等式的基本性质3，不等式两边都除以-3得到的.
(5)由-2x-5<1得x>-3的依据是不等式的基本性质1和3，先是不等式两边都加5，得-2x<6，再是不等式两边都除以-2，得x>-3.
【点评】不等式的变形主要依据就是不等式的基本性质.
题型2：不等式的性质
例根据不等式的性质，将不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.
(1)x+3<5；(2)5x-7>4x；(3)2x-3>=4x；(4).
【解答】1、(1)不等式x+3<5的两边都减去3，不等号的方向不变，
所以不等式可化为x<2.
(2)不等式5x-7>4x的两边都减去4x，不等号的方向不变，得x-7>0；
两边都加上7，不等号的方向不变，
所以不等式可化为x>7.
(3)不等式2x-3>=4x的两边都减去4x，得-2x-3>=0，
两边都加上3，得-2x>=3，
两边同除以-2，不等号的方向改变，
所以不等式可化为.
(4)不等式的两边都加2得，
两边同除以，不等号的方向改变，
所以不等式可化为.
【点评】解答此类问题，就是要求灵活选择运用不等式的性质，按顺序进行变化.
巩固用不等式的性质，将不等式变形成x>a或x<a的形式.
(1)x+3>2+3；
(2)；
(3)-2x>8.
【分析】(1)在不等式两边都减去3；
(2)在不等式两边都乘以5；
(3)在不等式两边都除以-2，同时改变不等号的方向.
【解答】1、(1)根据不等式的性质1，不等式两边都减3，不等号方向不变，
所以x+3-3>2+3-3，得x>2；
(2)根据不等式的性质2，不等式两边都乘以5，不等号方向不变，
所以，得x>15；
(3)根据不等式的性质3，不等式两边都除以-2，不等号改变方向，
所以-2x÷(-2)<8÷(-2)，得x<-4.
【点评】熟练掌握和运用不等式的性质，是解不等式的前提.
题型3：解不等式
例1解不等式：，并把解集在数轴上表示出来.
【分析】根据不等式的性质得到2(x+1)≥x+4，即可求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来. 【解答】解：去分母，得2(x+1)≥x+4，
去括号，得2x+2≥x+4，
移项，合并同类项，得x≥2.
在数轴上表示为：
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知识点的理解和掌握，用数轴表示解集时注意空心圆和实心圆的使用也是很关键的.
例2 解不等式，并在数轴上表示它的解集.
【分析】根据一元一次不等式的解法求这个不等式的解集.
【解答】1、.
去分母得：
4(x-1)-3(2x+5)>-24，
去括号得：
4x-4-6x-15>-24，
移项得：
4x-6x>-24+4+15，
合并同类项得：
-2x>-5，
化系数为1得：
.
【点评】一元一次不等式解法与一元一次方程解法类似，关键在于“去分母”和“系数化成1”时，两者是不同的，记住：“在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变”.在用数轴表示
不等式的解集时，因为是，所以x能取的值在的左侧，而且这个数x不能取到，所以用空心圈表示.
巩固1解不等式
【分析】先去分母再求解，在系数化为1时，若两边同除以一个负数，要改变不等号的方向.
【解答】1、去分母，得
6-3(4x-5)>=5-8x.(注意：不要漏乘“1”和“”项)
去括号，得
6-12x+15>=5-8x.
移项，得
-12x+8x>=5-6-15.
合并同类项，得
-4x>=-16.
系数化为1，得
x≤4.(注意改变不等号方向)
【点评】解不等式应注意，解不等式与解方程步骤相同，前四步注意的问题也相同，如去分母注意不要漏乘原来没有分母的项，去括号注意符号的变化，移项注意变号等；解不等式更应注意最后一步系数化为1时，若不等式两边除以的是一个负数，不等号方向必须改变，此点应特别注意.
巩固2 解不等式：(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3)+2.
【分析】不等式左边运用平方差公式求解，右边用乘法法则计算，然后将得到的不等进行整理即可解.
【解答】解：(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3)+2
去括号得
移项得-9x<-36
系数化为1得x>4
【点评】本题主要考查平方差公式与乘法法则在解不等式中的应用，注意在解不等式时不等式基本性质的应用.
题型4：解不等式组
例1 解不等式.
【分析】本题可以看做是把两个不等式和连写在一起，所以这种连写在一起的不等式实质就是不等式组.
1、写为不等组的形式，得
解不等式①，得x>=-1，
解不等式②，得x<8.
将不等式①②的解集在同一数轴上表示出来，
如图所示.
所以原不等式的解集为-1≤x<8.
【点评】对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式，也可以按照解不等式的步骤两边求解.
例2解不等式组：
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再求两个不等式解集的公共部分.
1、解：
解不等式①得，x>=-1.解不等式②，得x<3.
所以原不等式组的解集为-1≤x<3.
【点评】本题是根据“大小小大取中间”的规律求不等式的解集，也可在数轴中画出直观解题.
巩固1 解不等式组：
【分析】分别解两个不等式，然后取两不等式解集的公共部分即可.
1、解不等式①，得
x≤4.
解不等式②，得
x>0.
在同一条数轴上表示①②的解集，如图，
从而不等式组得解集为0<x≤4.
【点评】解决稍复杂的不等式组的时候，先分别解不等式组中包含的各个不等式的解，最后求它们的公共部分，即为不等式组的解集.
巩固2解不等式组：
【分析】分别解出两个不等式，它们的公共部分即为不等式组的解集.
【解答】解：
解不等式①，得x>-1.
解不等式②，得x<1.
因此，不等式组的解集为-1<x<1.
【点评】不等式组的解集是使不等式组中的不等式同时成立的未知数的取值范围.
题型5：不等式的同解
例下列不等式中，与同解的不等式是
A：3-2x≥5；B：2x-3≥5；C：3-2x≤5；D：x≤4
【分析】先解不等式，然后求出下面四个选项的解集，比较对照一下，选出解集相同的一项.
不等式的解集为x≥4；而不等式3-2x≥5的解集为x≤-1，故A不可选.
不等式的解集为x≥4；不等式2x-3≥5的解集为x≥4，故选B.
不等式的解集为x≥4；而不等式3-2x≤5的解集为x≥-1，故C不可选.
不等式的解集为x≥4，这与不等式x≤4是不同的，故D不可选.
【解答】1、不等式的解集为x≥4；而不等式3-2x≥5的解集为x≤-1，故A不可选.
2、不等式的解集为x≥4；不等式2x-3≥5的解集为x≥4，故选B.
3、不等式的解集为x≥4；而不等式3-2x≤5的解集为x≥-1，故C不可选.
4、不等式的解集为x≥4，这与不等式x≤4是不同的，故D不可选.
【点评】本题实质上是让我们解不等式，找出与题设给出的不等式同解的不等式，按照解不等式的步骤解题，去分母，合并同类项，解得最终的结果(当然有时有的步骤可以省略).
巩固已知不等式与ax-6>5x同解，试求a的值.
【分析】已知两不等式同解，则分别解出两不等式，利用解相同可得关于a的方程，解之.
【解答】1、∵，
∴，
即x<-2.
又ax-6>5x，
整理，得(5-a)x<-6，
因为不等式与ax-6>5x同解，
所以
解得
故a=2.
【点评】两个不等式同解，一个未知(含参数)，一个已知（不含参数），则我们先解出已知的那个不等式的解集，然后对含参数的那个不等式进行变形，为使得两个不等式同解，得到限制参数的条件，从而得解.
一、专题精讲
专题一：不等式性质的应用
例一次习题课上，老师在黑板上出了一道关于7a与6a的大小比较问题，小文不加思索地回答：“7a ＞6a。

”小明反驳道，：“不对，应是7a＜6a."小芳说：你们两人答得都不完全，把你们两个人的答案和在一起就对了。

”你认为他们三人的观点谁正确？谈谈你的看法并写出正确结果。

解：如果求6a和7a的大小可用作差法
7a-6a=a
讨论：1.如果a>0 则7a-6a>0 可得7a>6a
2.如果a=0 则7a-6a=0 可得7a=6a
3.如果a<0 则7a-6a<0 可得7a<6a
综上所述，三人说法都不正确
巩固已知关于x，y的方程组其中-3≤a≤1，给出下列结论：
①是方程组的解；
②当a=-2时，x，y的值互为相反数；
③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解；
④若x≤1，则1≤y≤4．
其中正确的是
A①②；B②③；C②③④；D①③④
【分析】解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断．
【解答】解方程组得
∵-3≤a≤1，
∴-5≤x≤3，0≤y≤4.
①不符合-5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；
②当a=-2时，x=1+2a=-3，y=1-a=3，x，y的值互为相反数，结论正确；
③当a=1时，x+y=2+a=3，4-a=3，方程x+y=4-a两边相等，结论正确；
④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，y=1-a≥1，已知0≤y≤4，
故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确，
故选C．
【点评】在遇到含有未知系数的二元一次方程组时，要将未知系数看作常数，解出关于x、y的方程，然后按题目要求处理未知数.本题的关键是根据未知数的范围求得x、y的范围，注意不等式性质的应用.
专题二：不等式求解中求参数
例1已知一元一次不等式的解集为x<7，求a的值.
【分析】把a作为已知数，用a的代数式表示出不等式的解集，再将其与解集x<7比较，列出关于a 的方程，即可求出a的值.
【解答】1、去分母，得2(3x+a)>-13(3-x).
去括号，得6x+2a>-39+13x.
移项、合并同类项，得-7x>-39-2a.
系数化为1，得.
又因为原不等式的解集是x<7，
所以.
解得a=5.
【点评】此类题的不等式中含有未知字母，解题时先把不等式的解集求出(含有字母的表达式)，再与题中已经给出的不等式的解集相比较，得出关于字母的方程或不等式，进而求出字母的值.
巩固设不等式2x-a≤0只有3个正整数解，求正整数a的值.
【分析】先解不等式2x-a≤0得.这样由不等式的解集中只有3个正整数，可知的取值范围而确定a的正整数值.
【解答】1、解：由不等式2x-a≤0得.
∵不等式2x-a≤0只有3个正整数解，
∴正整数解只能是1，2，3.
∴.
∴6≤a<8.
∵a是正整数，
∴a=6或7.
【点评】此类问题一般先求不等式的解集，再根据特殊条件确定待定字母的取值范围和特殊值.
专题四：不等式的特殊解
例1 求不等式3(x-1)<4(x-2)+9的最小整数解.
【分析】先解不等式，求出此不等式的解集，再从中求出符合条件的最小整数解.
【解答】1、3(x-1)<4(x-2)+9，
去括号，得3x-3<4x-8+9，
移项，得3x-4x<-8+9+3，
合并同类项，得-x<4，
系数化为1，得x>-4，
这时不等式的最小整数解为-3，即x=-3.
【点评】不等式的所有解，全部包括在不等式的解集中，所以要求其中的一些特殊解，如整数解，
负数解等，一般都是先求不等式的解集.
例2 x取哪些非负整数时，的值不小于与1的差
【分析】先列出满足x的不等式，求出解集，然后由x是非负整数这个条件再确定x的值.
【解答】1、根据题意知，x是不等式的解，
去分母，得3(3x-2)>=5(2x+1)-15，
去括号，得9x-6>=10x+5-15，
移项，得9x-10x>=5-15+6，
合并同类项，得-x>=-4，
系数化为1，得x≤4，
因为x是非负整数，
所以x=0、1、2、3、4.
【点评】不等式的解和解集是两个不同的概念，它们反映了同一事物“个体”与“整体”的关系.本题求出不等式的解集x≤4后，容易出现的两种错误：一是漏掉x=4，二是漏掉x=0.
巩固1求不等式10-4(x-3)>=2(x-1)的非负整数解
【分析】先解不等式，再求非负整数解.
【解答】1、去括号，得10-4x+12>=2x-2，
移项，得-4x-2x>=-2-10-12.
合并，得-6x>=-24，
系数化为1，得x≤4.
将x≤4表示在数轴上，如下图所示.
所以不等式的非负整数解为0，1，2，3，4.
【点评】本题易漏掉0这个非负整数解，将不等式的解集在数轴上表示出来是防止漏解的好方法.
巩固2求不等式的最小整数解
【分析】先解不等式，再求最小整数解.
【解答】1、解不等式，得x>=2.
所以不等式的最小整数解为x=2.
【点评】求不等式的最小整数解首先要求不等式的解集.
巩固3能使不等式成立的x的最大整数值是（）。

【分析】先解不等式，再求特征解.
【解答】1、解不等式，得.
所以使不等式成立的最大整数值是0.
【点评】本题可将不等式的解集在数轴上表示出来，如图所示，这样可以直观看出最大的整数解是0.
专题五：不等式组的特殊解
例1求不等式组的负整数解.
【分析】先解不等式组，再根据不等式组的解集求其负整数解.
【解答】1、解：由5x+2>=3(x-1)得5x+2>=3x-3，所以.
由x-2≤14-3x，得4x≤16，所以x≤4.
所以不等式组的解集是.
而在与4之间的负整数只有-2，-1.
所以此不等式组的负整数解是-2，-1.
【点评】求不等式(组)的特殊解，先要求不等式组的解集，再在不等式(组)解集里寻找特殊解.
巩固不等式组的正整数解是
【分析】求不等式组的正整数解时，可以先求出这个不等式组的所有解，即不等式的解集，再从中找出正整数.
【解答】1、由2x-1<x+1，得x<2，
由x+8>4x-1，得x<3，
所以不等式组的解集为x<2.
所以不等式组的正整数解是x=1.
【点评】求不等式组的特殊解时首先要解不等式组，然后在解集中找出符合条件的解，特别要注意分界点.
专题六：不等式组中求参数
例1已知不等式组的整数解仅为1，2，3，求适合这个不等式组的整数a的值
【分析】先解出这个不等式组，再根据其整数解仅为1，2，3，又可列出不等式组，从而可求出a的取值范围.
1、由原不等式组，可得.
又该不等式组的整数解仅为1，2，3，
则在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如图所示.
不难看出a的取值必须满足
由①，得0<a≤30；
由②，得24<a≤32.
故a的取值范围是24<a≤30.
所以适合原不等式组的整数a的值为25，26，27，28，29，30.
【点评】理解题意运用转化思想找到关于a的不等式组.解答这类题目常常借助数形结合的思想来解决，同时要注意等号成立的条件.
例2已知x=1是不等式组的解，求a的取值范围.
【分析】可先求出不等式组的解集，再由x=1是不等式组的解，利用不等式组的解的定义，列出关于a的不等式组求解.
【解答】1、原不等式组变形为
即
因为x=1是原不等式组的解，
所以-3a-3<1≤5-4a，
即
解得.
【点评】本题还可以根据不等式组的解的意义，直接将x=1代入不等式组中，这样解题过程更简单一些.
巩固1 试确定实数a的取值范围，使不等式组恰有两个整数解．【分析】先解关于x的不等式组，再根据不等式组的解集中恰有两个整数确定a的取值范围.
1、解：由两边同乘以6，得3x+2(x+1)>0，解得.
由两边同乘以3，得3x+5a+4>4(x+1)+3a，解得x<2a.
∴原不等式组的解为．
∴
不等式组
不等式组
，解不等式组即可.
与不等式和【解答】1、解：(1)当a=3
解不等式得
解原不等式组的两个不等式，得
的解满足
【解答】解：
由②-①得4y=k-1，则.
再将代入①得：.
因为x>0，y<0，
所以，且.
解得.
的取值范围是.
方程组
【解答】解：(1)
所以.
把代入，得.
所以原方程组的解为
由题意可得不等式组
，则
的所有非负实数
，②解不等式.
(2)①可设<x>=n，n为非负整数，再由和不等式的性质得
，即可证明.
②可举特殊值，如x=0.6，y=0.7等.
【解答】1、解：(1)①π≈3.14，所以<π>=3.
②因为<2x-1>=3，所以.
所以，所以.
(2)①设<x>=n，n为非负整数，则.
因为m为非负整数，
所以，且n+m为非负整数，
所以<x+m>=m+n=m+<x>.
②如当x=0.6，y=0.7时，
<x+y>=<0.6+0.7>=<1.3>=1.
<x>+<y>=<0.6>+<0.7>=1+1=2.
所以<x+y>≠<x>+<y>，即<x+y>=<x>+<y>不恒成立.
综合题2：解不等式.
【分析】为去绝对值符号需分情况讨论：(1)；(2)，且x+2<0；(3)x+2>0. 【解答】1、(1)当时，即时，原不等式恒成立；
(2)当时，原不等式可化为
.
解得x<-3，
∴.
(3)当x>=-2，原不等式为.
解得x>2.
综上所述，原不等式的解集为x<-3或x>2.
【点评】这道题目的原型为|x|>a，解不等式|x|>a.
a>0时，不等式的解集为x>a或x<-a；
a=0时，不等式的解集为x>0或x<0；
a<0时，不等式的解集为全体实数.
出这个不等式组中各个不等式的解集；
.
两边同除以-2，不等号的方向改变，
所以不等式可化为.
(4)不等式的两边都加2得，
两边同除以，不等号的方向改变，
所以不等式可化为.
【点评】解答此类问题，就是要求灵活选择运用不等式的性质，按顺序进行变化.
2、求不等式的最小整数解
【分析】先解不等式，再求最小整数解.
【解答】1、解不等式，得x>=2.
所以不等式的最小整数解为x=2.
【点评】求不等式的最小整数解首先要求不等式的解集.
3、已知方程组的解是负数，试化简|a+3|-|5a-3|.
【分析】解方程组可得含有a的解，由于方程组的解是负数，所以可得关于a的不等式组，解出a 的范围，从而可以对绝对值化简.
【解答】解：由
4、在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a-b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图所示，则k的值是
【分析】根据新运算法则得到不等式2x-k≥1，通过解不等式即可得到用x表示k的取值范围，结合图象中x的取值范围可以求得k的取值范围.
【解答】∵由题意可知：x△k=2x-k≥1，
∴2x≥k+1，
∴,
又由图示知，不等式x△k≥1的解集是：x≥-1，
∴=-1,。