高考中恒成立问题的解题方式研究

高考中恒成立问题的解题方式研究
恒成立问题是高中数学学习中常见的问题,学生往往感到困惑。

下面就这类问题及其求解思路作一简单介绍。

1 最值判断法
这种方法的基本思路是:
(1)不等式f(x)<k在x∈i时恒成立在i中的最小值<="" p=""></k在x∈i时恒成立在i中的最小值
(2)不等式时恒成立在I中的最小值>k。

例1:(2006年全国高考题)设函数若对所有
x≥0,都有f(x) ≥ax成立,求实数a的取值范围。

解:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax
于是不等式f(x) ≥ax成立即为g(x) ≥g(0)成立。

对于g(x)求导数得g’(x)=ln(x+1)+1-a,令g’(x)=0解得x=ea-1-1
当x>ea-1-1时,g’(x)>0,g(x)为增函数。

当-1<x<ea-1-1时,g’(x)<="" p=""></x<ea-1-1时,g’(x)
要对所有x≥0都有g(x) ≥g(0)成立的充要条件为ea-1-1≤0。

由此得a≤1即a的取值范围是(-∞,1]。

2 判别式法
对于一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)有:
;;
恒成立;
例2:(2009江西文)设函数
(1)对于任意实数x,f'(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且仅有一实根,求a的取值范围。

解:(1)f’(x)=3x2-9x+6
∵x∈(-∞,+∞);∴f’(x)≥m即3x2-9x+6-m≥0恒成立,所以
△=81-12(6-m)≤0,解得m≤-,即m的最大值为-。

(2)略
3 集合包含法
在解题过程中,利用集合之间的包含关系得出恒成立条件,从而使问题得以解决。

例3:(2009北京理)设函数f(x)=xekx(k≠0)
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程。

(2)求函数f(x)的单调区间。

(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围。

解:(1)(2)略
(3)对f(x),由(2)可知:若k>0,则x∈时,函数f(x)单调递增。

所以当k>0时,要使函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,只要(-1,1)是(-的子集,∴恒成立,即k≤1时,函数f(x)区间(-1,1)内单调递增,∴k∈(0,1]。

当k<0时,要使函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,只要(-1, 1)是(-∞,)的子集,∴≥1恒成立,即k≥-1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,∴k∈[-1,0)。

综上可知,函数f(x)在(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1]。

4 参数分离法
在解题过程中,常常把所考察的某个变量a从不等式分离出来,变形为形如a>f(x)或a<="" p="">
例4:若数列{an}通项an满足an=anlgan(a>0且a≠1),且an+1>an,对于一切n∈N*恒成立,求取实数a的取值范围。

解:∵an+1>an, ∴an+1lgan+1>anlgan,
∴(n+1)alga>nlga
当a>1时,a(n+1)>n,a>;
当0<a<1时,a(n+1)<n,a<; <="" p=""></a<1时,a(n+1)<n,a<;>
∵n∈N*,∴∈[
∴a>1或0<a< <="" p=""></a<>
5 变换主元法
處理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时地把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次,简化。

例5:对任意a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,求x的取值范围。

解:令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则问题转化为对一切的a∈[-1,1]有f(a)>0恒成立,当x=2时,f(a)=0,不合题意,
当x≠2时,有解得x<1或x>3
故x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞)。

6 单调性法
在解题中,将所给的问题与单调性的有关知识联系起来,可提高解题速度。

例6:已知对一切大于1的正整数n恒成立,求实数a的取值范围。

解:令
②-①得
=>0
∴, ∴Sn为单调递增数列。

∵n>1,∴Sn的最小值为S2=>a,故a的取值范围为(-∞,)。

7 特殊值法
在解题中,根据条件与结论的因果关系,运用特例可简化解题过程。

例7:(2009 安徽)首项为正数的数列{an}满足
an+1=(。

(1)证明:若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数。

(2)若对一切,都有an+1>an,求a1的取值范围。

解:(1)略
(2)因为对于一切,都有an+1>an,所以不妨取n=1,则
于是有0<a13</a1
∵
∵a1>0,因此an+1-an与an-an-1同号,
∴当n∈N*,an+1-an与a2-a1同号
8 数形结合法
函数的图象和不等式有着密切的联系:
在区间I上,f(x)>g(x)f(x)图象在函数g(x)的图象的上方。

例8:若函数时f(x)<0恒成立,求a的取值范围。

解:f(x)<0可以等价为时恒成立。

设g(x)=ax,h(x)=,
则g(x)得图象是过原点的直线,h(x)=可化为x2-4x+y2=0得图象是以(2,0)为圆心,2为半径的上半圆,要保证在(0,4]上g(x)的图象永远在h(x)的下方,由图可知a<0即a的取值范围为(-∞,0)
因此,对于一切n∈N*都有an+1>an的充要条件是0<a13。

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恒成立问题是高考中的一个新热点问题,解决此类问题的方法多种多样,因此要具体问题具体分析,只要我们善于总结,找出解决这这类问题的规律,才能达到较好的效果。